I QUY TẮC TÍNH LÔGART
3. Lôgarit của một luỹ thừa
ĐỊNH LÍ 3
Cho hai số dương a, b ; a * 1. Với mọi a, ta có loga ba = a logtí b .
Lôgarit của m ột luỹ thừa bằng tích của s ố m ũ với lôgarit của cơ số.
Đặc biệt l o g „ ^ = - l o g a b.
C hứng m inh. Đặt ß = loga h thì b = .
Do đó ba = a a0 .
Suy ra a ß = logứ ba hay a loga b = logứ ba . ■
V í dụ 5. Tính giâ trị của câc biểu thức :
ị
a ) l o g 2 4 7 ; b) log5 \JĨ - — log5 15.
Giải
I 2
a) log2 4 7 = log2 2 7 = ệ l o g 2 2 = ệ ;
b) log5 V3 - - l o g 5 15 = log5 V3 - log5 VĨ5
= log5 ^ = log5- L = log5 5 Ï = - i .
I l l - Đ Ổ I C ơ SỐ
Ầ 8Cho a = 4, h = 64, c = 2. Tính loga b, logf. a, logr b.Tìm một hệ thức liín hệ giữa ba kết quả thu được. Tìm một hệ thức liín hệ giữa ba kết quả thu được.
ĐỊNH LÍ 4
Cho ba sô' dưcmg a , b , c \ ớ i a ^ 1, c 1, ta có loga b = loge- b
loge a Đặc biệt lnư 10gtf ° - ,h ^ log b a log a b = — loga b a a ( b * 1) (a ^ 0). 66 5.GIẢITÍCH 12-B
C hứng m inh. Theo tính chất của lôgarit vă Định lí 3, ta có logc./? = log c { a ũỉ“h ) = \oga b.ỉogc ạ 'Vi a * 1 nín logc. a * 0. Do đó logr b log« b = logt. a IV - V Í DỤ ÂP D Ụ N G V í dụ 6. Tính : a) 2 log4 15; Giải logj_2 b)3 27 . a) Ta có lo g 4 15 = log 2 15 = - l o g 2 15 = log2 VĨ5 . ¿ 2 Do đó 2 log4 15 = 2 log2 ^ = VĨ5 .
b) Vì logj^ 2 = log 3 2 = - ^ l o g 3 2 = log3 2 2 = log3 -Ặr
27 J 3 . V 2
- ,logẩ2. , IOí3ỉ - _ L
nín 3 27 = 3 = —— .
V2
Vỉ í/ụ 7. Cho a = log2 20. Hêy tính log20 5 theo ạ Giảị Ta có
a = log2 20 = log2(22.5) = 21og2 2 + log2 5 log2 5 - a - 2.
suy ra
Vậy , log2o5 = - p ^ — = --- .c _ log2 5 a - 2
log2 20 a
V í dụ 8. Rút gọn biểu thức
A = logj.7 + 21og9 49 - l o g ^ Ặ .
Giảị Ta có
A = log 1 7 + 2 log 2 ơ 2 ) - log X (7_1)
3 3 32
= - l o g 3 7 + 21og3 7 + 21og3 7 = 31og3 7 . Vỉ dụ 9. So sânh câc số log2 3 vă log6 5 .
Giảị Đ ặ t« = log2 3 , ß = logg 5.
Ta có 2a = 3 > 2 1 nín a > 1 ; 6 ^ = 5 < 6 1 nín/? < 1. Suy ra a > ß .
V ậylog2 3 > logg 5.
V - L Ô G A R IT TH Ậ P PH Đ N . L Ô G A R IT T ự N H I Í N