1. Nguyín hăm
Ặ 1
/ ^ Tìm hăm số F{x) sao cho F \x) =f{x) nếu :
a) f(x) = 3x2 với X e (-00 ; +oo) ; b) f(x) = —-ỉ— với X e I - — ; — cos2 X V 2 2
Kí hiệu K lă khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của R.
ĐỊNH NGHĨA
Cho hăm s6 f i x ) xâc định trín K.
Hăm số F(x) được gọi lă nguyín hăm của hăm sốf ( x ) trín K
nếu F '(*) =f ( x) với mọi X e K. Ví dụ 1
a) Hăm số F(x) = X 2 lă m ột nguyín hăm của hăm số / (x) = 2x trín khoảng (-0 0 ; +co) vì F '(*) = (x2y = 2x, X e (-0 0 ; +oo).
b) Hăm số F{x) = lnx lă m ột nguyín hăm của hăm số f ( x ) = — trín
X
khoảng (0 ; +co) vì F '(x) = (lnx)' = —, X e (0 ; +oo).
" V Hêy tìm thím những nguyín hăm khâc của câc hăm số níu trong Ví dụ 1.
ĐỊNH LÍ 1
Nếu F(jc) lă một nguyín hăm của hăm số/(Ă ) trín K thì với mỗi hằng số c , hăm số G(x) = F(x) + c cũng lă một nguyín hăm c ủ a/(x ) trínAT.
3
ĐỊNH LÍ 2
Nếu F(x) lă một nguyín hăm của hăm số f ( x) trín K thì mọi nguyín hăm c ủ a / 0 0 trín K đều có dạng F(x) + c , với
c lă một hằng số.
C h ứ n g minh. Giả sử G(x) cũng lă một nguyín hăm c ủ a /O ) trín K, tức lă
G'(x) = /0 0 , x e K. Khi đó
(G(x) - F(x)Ỵ = G '00 - F \ x ) = / 0 ) - / O ) = 0 , x e K .
Vậy G(x) - F(x) lă một hăm số không đổi trín K. Ta có
G(x) - F(x) = c => G(x) = F(x) + c, X e K. ■ Hai định lí trín cho thấy :
Nếu F{x) lă một nguyín hăm của hăm số f{x) trín K thì
F(x) + c , c e R
lă họ tất cả câc nguyín hăm c ủ a /O ) trín K. Kí hiệu
Ịf(x) dx = F(x) + c.
CHÚ Ý
Biểu thức f ( x ) d x chính lă vi phđn của nguyín hăm F{x) của
f { x ), vì dF O ) = F '0 0 dx =f (x) d x . V í dụ 2
a) Với X e (-0 0 ; +oo), ị 2 x d x = X 2 + c ; b) Với A’ e (0 ; +oo), [ - d í = l n í + c ;
J s
c) Với t e ( -0 0 ; +co), Jcostdt = sinr + c.
2. Tính chđ't của nguyín hăm
TÍNH CHẤT 1
( J/W dA- ’ = fix)
J / ’W d x = fix) + c.
V í dụ 3, Ta có
Ị Jcosjcdjtj' = (sin* + cy = COS.X
vă j(cosx)'ck = J(-sinjc)cLt = cosx + c.
TÍNH CHẤT 2
Tính chất năy được suy trực tiếp từ định nghĩa nguyín hăm.Ví dụ sau đđy minh hoạ cho tính chất đó. Ví dụ sau đđy minh hoạ cho tính chất đó.
ị k f{x )âx = k j/( x ) d x {k lă hằng số khâc 0).
Chứng minh. Theo Tính chất 1, ta có (*j/(*)d*) = *( J/(x)dxỊ = kf(x). Từ đó suy ra jV(jt)djt = kj/(jc)clc. TÍNH CHẤT 3 {[/(-*) ± gC*)]ck = J/(jc)dx ± JgO)ck. 4 iHêy chứng minh Tính chất 3.
Ví dụ 4. Tìm nguyín hăm của hăm số / (x) = 3 sin X + — trín khoảng (0 ; +oo).
X
Giảị Với * e (0; +00), ta có
cf 2 ^ 1
J 3sinjc + — dv = 3 ísinxdx + 2 J—dx = -3cosx + 21n x + c .
X J X
3. Sự tồn tại nguyín hăm
Ta thừa nhận định lí dưới đđỵ ĐỊNH LÍ 3
V í du 5
a) Hăm s ố f ( x ) = X3 có nguyín hăm trín khoảng (0 ; +oo) vă
2 5
f x 3dx = —X3 + c.
J 5
b) Hăm số g(x) = — Ịr— có nguyín hăm trín từng khoảng (kn ; (k + l)ĩĩ) sin2 X
(k e Z) vă
[— —— dx = - c o t X + c.
J sin2 X
4. Bảng nguyín hăm của một số hăm số sơ cđ'p
^
P \ Lập bảng theo mđu dưới đđy rồi dùng bảng đạo hăm trang 80 vă trong SGK Đại số vă Giải tích 11 để điền câc hăm số thích hợp văo cột bín phảị
2ỉ ' ự ) A x ) + c ỉ ' ự ) A x ) + c 0 a x ữ ~x 1 X e x a x \ n a ( a > 0 , a * 1 ) COSJC — s i r ư 1 c o s 2 X 1 s i n 2 X 98 7.GIẢITÍCH 12-B
Từ bảng câc đạo hăm, ta có bảng nguyín hăm sau đđỵịodx = c ịodx = c X \axdx =---h c (a > 0, a ^ 1) J ln a Jdx — X + c ịcosxdx = s in x + c ị x a ă x = 1 Xa + 1 + C ( a * 1) J a + 1 Jsin xdx = - cos X + c [— dx = lnlxl + c J x J—ỉ-— dx = tanx + c cos2X Ị e xdx = ex + c J;—^— dx ũn2 X = — cot X.+ c Ví dụ 6. Tính : a) ịf 2x2 + - j — J V 3 / 2S x ) dx trín khoảng (0 ; +00) ; b) j(3 c o sx - 3A ^ d x trí n khoảng (-00 ; +oo). Giải a) Với X e (0 ; +oo) ta có Ị 2x2 + —Ị-— dx = 2 | x 2dx + ị x 3dx l V x 2 , = - X 3 + 3 X3 + c = - X 3 + - 3 Ẵ Ỉ X + C. 3 3 b) Với X e (-00 ; +oo) ta có
J(3cosx - 3X -I)dx = 3 Ịcosxdx - — j3 Adx
1 7>x 3X~^
=3sinx - — —— + c =3s in x ---— + c.
31n3 ln3
CHÚ Ý
Từ đđy, yíu cầu tìm nguyín hăm của một hăm số được hiểu lă tìm nguyín hăm trín từng khoảng xâc định của nó.