1. Diện tích hình thang cong
p N Kí hiệu T lă hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y = 2 x + \ , trục hoănh vă hai đường thẳng x = 1, X = t (1 < / < 5) (H.45).
1. Tính diện tích cị của hình T khi t = 5 (H.46).2. Tính diện tích 5(0 của hình T khi t e [1 ; 5]. 2. Tính diện tích 5(0 của hình T khi t e [1 ; 5].
y
Hình 45
3. Chứng minh rằng sự) lă một nguyín
S = S(5)-S(l).
của Ịựị = 2t + 1, t 6 [1 ; 5| vă diện tích
Cho hăm số y = / (x) liín tục, không đổi dấu trín đoạn [a; b]. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hăm số y = / ( ; c ), trục hoănh vă hai đường thẳng X =
a , x = b được gọi lă hình thang cong (H. 47a).
ở lớp dưới, ta đê biết câch tính diện tích hình chữ nhật, hình tam giâc. Bđy giờ, ta xĩt băi toân tính diện tích hình phẳng D giới hạn bởi một đường cong kín bất kì (H. 47b).
Bằng câch kẻ câc đường thẳng song song với câc trục toạ độ, ta chia D
thănh những hình nhỏ lă những hình thang cong (H.47a). Băi toân trín được đưa về tính diện tích của hình thang cong.
Ví dụ 1. Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đường congy = X 2 ,
trục hoănh vă câc đường thẳng X = 0, X = 1.
Giảị Với mỗi X e [0 ; 1] gọi S(x) lă diện tích của phần hình thang cong đê cho nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoănh độ 0 vă X
(H. 48).
Ta chứng minh
S'(x) = x 2, x e [0; 1].
Thật vậy, với h > 0, kí hiệu S M N P Q vă S M N E E lần lượt lă diện tích câc hình chữ nhật M N P Q vă M N E F (H.49), ta có $ M N P Q - S(x + h ) ~ S(x) < SMNEE hay Vậy hx2 < S(x + h ) - S(x) < h(x + h)2. 0 < í ũ i t M - , 2 < + h1 . h
Với h <0, tính toân tưofng tự, ta được
+ 0.
Tóm lại với mọi h * 0, ta có
S(x + h) - 5(x) 2
< 2x\h\ + h 2 .
Suy ra
s \ x ) = lim S(x + h) - s ự ) = x2
n 0 h
Mặt khâc trín đoạn đó, F(x) = — cũng lă nguyín hăm của f ( x) = X 2 nín
*3
S(jc) = — + C , C e R . 3
Từ giả thiết 5(0) = 0, suy ra c = 0. Vậy *3 S<Jr) 3 '
Thay X = 1 văo đảng thức trín, ta có diện tích của hình cần tìm lă 5(1) = —. Bđy giờ, ta xĩt băi toân tìm diện tích hình thang cong bất kì.
Cho hình thang cong giới hạn bởi câc đường thẳng X = a , X = b ( a < b ) ,
trục hoănh vă đường cong y =f(x), trong đó/(jc) lă hăm số liín tục, không đm trín đoạn [a ; b ] .
Với mỗi X e [a ; b] kí hiệu 5(x) lă diện tích của phần hình thang cong đó nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với Ox lần lượt tại a
vă X (H.50).
Ta cũng chứng minh được S(x) lă nguyín hăm của f(x) trín đoạn [a -, b ] .
Giả sử F(x) cũng lă một nguyín hăm của Jịx) thì có một hằng số c sao cho 5(x) = F(x) + c.
Vì S(a) = 0 nín F(a) + c = 0 hay c = -F{a).
V ậy5(x) = F{x) - F ( a ) .
Thay X = b văo đẳng thức trín, ta có diện tích của hình thang cần tìm lă
S(b) = F(b) - F(a).
2. Định nghĩa tích phđn
Ằ 2 -.
p \ Giả sử/(x) lă hăm số liín tục trín đoạn Ia ; h\, Fự) vă G(x) lă hai nguyín hăm của /(x). Chứng minh rằng F{b) - F(a) = G(h) - G(a), (tức lă hiệu số F(h) - F(a) không /(x). Chứng minh rằng F{b) - F(a) = G(h) - G(a), (tức lă hiệu số F(h) - F(a) không
phụ thuộc việc chọn nguyín hăm).
Cho f ( x) lă hăm số liín tục trín đoạn [a ; b]. Giả sử F(x) lă một nguyín hăm c ủ a/(x ) trín đoạn [ a \ b ] .
Hiệu số F(b) - F(a) được gọi lă tích phđn từ a đến b (hay tích phđn xâc định trín đoạn [a ; b]) của hăm số f{x), kí hiệu lă
b
| / W d * .
a
Ta còn dùng kí hiệu F(jt) | /7 để chỉ hiệu số F{b) - F(a).
Vậy ị f { x ) ú x = F{ x)\ha = F { b ) - F { a ) .
b
Ta gọi [ lă dấu tích phđn, u lă cận dưới, b lă cận trín, f(x)dx
a
lă biểu thức dưới dấu tích phđn vă f{x) lă hăm s ố dưới dấu tích phản.
CHÚ Ý
Trong trường hợp a = b hoặc ti > b, ta quy ước
J/(*)dv = 0 ; j/(.x )ck = - ị f { x ) ủ x . a a b Ví dụ 2 2 1) ị 2 x d x = X* 1 e 1 2) í-d r = lnt ì ' ? = 2 2 - ! 2 = 4 — 1 = 3; = ln e — ln l = 1 — 0 = 1 . NHẬN XĨT b
a) Tích phđn của hăm / t ừ a đến b có thể kí hiệu bởi j/( x ) d X
a
b
hay | / ( 0 d í . Tích phđn đó chỉ phụ thuộc văo / v ă câc cận a, b
a
b) Ý nghĩa hình học của tích phđn. Nếu hăm số/(x) liín tục vă
h
không đm trín đoạn [a ; h], thì tích phđn J /( x ) d x lă diện
a
tích scủa hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của f(x), trục Ox