Một số biện pháp sư phạm giúp học sinh phát hiện v- 123docz.net

7. Cấu trúc của đề tài

2.2. Một số biện pháp sư phạm giúp học sinh phát hiện và sửa chữa những

những sai lầm thường gặp khi giải toán Hình học không gian lớp 11

2.2.1. Biện pháp 1. Hạn chế và khắc phục những sai lầm thường mắc phải cho học sinh thông qua việc phân tích bài toán có chứa sai lầm

Nhiệm vụ của giáo viên là dự đoán được những sai lầm mà học sinh thường mắc phải khi giải toán, phân tích để giúp cho học sinh thấy được nguyên nhân các sai lầm đó, học sinh biết cách hạn chế và khắc phục được những sai lầm mà bản thân thường mắc phải. Biện pháp này nhằm mục đích hạn chế và khắc phục những sai lầm mà học sinh thường xuyên mắc phải trong giải toán Hình học không gian. Từ đó, giáo viên giúp học sinh cảm thấy tự tin khi giải các bài toán liên quan đến chủ đề này. Hoạt động này cần cho học sinh thực hiện thường xuyên và khi tìm ra sai lầm đó cần phải nhấn mạnh giúp học sinh tránh được những sai lầm để lần sau không lặp lại. Có như vậy mới giúp học sinh hiểu một cách sâu sắc bản chất của từng tri thức đã lĩnh hội, cũng như việc kiểm tra lại từng bước suy luận trong quá trình tìm lời giải của mình.

Để giúp học sinh có thể phát hiện được những sai lầm trong lời giải, giáo viên có thể hướng dẫn học sinh tự trả lời những câu hỏi như:

+ Kết quả của bài toán có mâu thuẫn với kết quả trong trường hợp riêng hay không?

+ Trường hợp riêng của kết quả có thỏa mãn bài toán hay không? + Kết quả lời giải có chứa kết quả trong trường hợp riêng hay không? + Kết quả của lời giải này có khác kết quả của lời giải khác hay không? Khi biết mình mắc phải những sai lầm đó, học sinh mới thực sự cảm thấy “thấm thía” việc cần thiết phải hiểu sâu sắc bản chất của từng tri thức đã lĩnh hội, cũng như việc kiểm tra lại từng bước suy luận trong quá trình tìm lời giải của mình.

Ví dụ 2.1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a, 0 60 BAD   , SA = SB = SD = 3 2 a .

a) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD) và độ dài đoạn thẳng SC. b) Chứng minh SB vuông góc với BC.

Giáo viên có thể tổ chức các hoạt động dạy học cho học sinh như sau:

a) Giáo viên: Hãy cho biết lời giải bài toán sau đúng hay sai? Nếu sai hãy sửa lại cho đúng:

Do SBD cân tại S nên ta có SO  BD.

Mặt khác, ta có BD  AC. Suy ra BD  (SAC). Do BD  (ABCD) nên (SAC)  (ABCD). Suy ra SO  (ABCD) (Hình 2.1).

Vậy d(S, (ABCD)) = SO.

Học sinh: Lời giải trên là chưa chính xác

là do đã ngộ nhận SO  (ABCD).

Giáo viên: Lời giải đúng bài toán trên như

thế nào?

Học sinh: Do BAD600 nên ABD

là tam giác đều cạnh a (Hình 2.2).

Do SA = SB = SD nên ta có SABD là tứ

diện đều. Do đó, ta có SH  (ABD), với H là

tâm của ABD. Suy ra, ta có SH  (ABCD). Vậy d(S, (ABCD)) = SH.

Ta cóSH2= SA2– AH2. Do H là tâm của tam giác đều ABD cạnh a nên ta có AH = 3

Hình 2.1

Do đó, ta có 2 2 2 2 3 5 4 3 12 a a a SH    Suy ra,ta có 15 6 a SH  . Giáo viên: Tính SC?

Học sinh: Do SHC vuông tại H nên ta có SC2= SH2+ HC2. Do HC = HO + OC = 2 3 3 a nên ta có 2 2 2 2 5 4 7 . 12 3 4 a a a SC    Suy ra, ta có SC = 7 2 a .

b) Giáo viên: Chứng minh SB vuông góc với BC?

Học sinh: Trong SBC có SB = 3 2 a , BC = a, SC = 7 2 a . Ta có SC2= SB2+ BC2 suy ra SBC vuông tại B hay SB  BC.

Ví dụ 2.2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA

vuông góc với (ABCD).

a) Chứng minh mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SAD). b) Chứng minh AB vuông góc với SD.

Giáo viên có thể tổ chức các hoạt động học tập cho học sinh như sau: a) Giáo viên: Hãy cho biết lời giải bài

toán sau đúng hay sai? Nếu sai hãy sửa lại cho đúng:

Ta có AB  AD, AB  (SAB), AD 

(SAD) (Hình 2.3).

Suy ra, ta có (SAB)  (SAD).

Học sinh: Lời giải bài toán trên là chưa chính xác do trong lời giải bài toán đó đã vận

Giáo viên: Hãy nhắc lại điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau?

Học sinh: Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

Giáo viên: Lời giải đúng bài toán trên như thế nào?

Học sinh: Từ giả thiết, ta có SA  AB, AB  AD. Do đó, ta có AB  (SAD).

Mặt khác, ta có AB  (SAB). Suy ra (SAB)  (SAD).

b) Giáo viên: Một học sinh giải như sau:

Vì (SAD)  (SAB), AB  (SAB) và SD  (SAD) nên ta có AB  SD. Các em hãy cho biết lời giải của bạn học sinh trên đã chính xác chưa, có mắc sai lầm ở đâu không? Nếu có sai lầm thì hãy đưa ra lời giải đúng.

Học sinh: Lời giải bài toán trên của bạn học sinh đó là chưa chính xác vì bạn học sinh đó đã áp dụng sai kiến thức: Từ hai mặt phẳng vuông góc không thể suy ra hai đường thẳng trong hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.

Giáo viên: Lời giải đúng bài toán trên như thế nào?

Học sinh: Vì AB  SA và AB  AD nên AB  (SAD). Do đó, ta có AB  SD.

Ví dụ 2.3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Qua C dựng mặt phẳng

vuông góc với SA cắt các cạnh SA, SB, SD lần lượt tại M, N, P. Chứng minh

rằng NP // BD.

Giáo viên có thể tổ chức các hoạt động dạy học cho học sinh như sau:

Giáo viên: Hãy cho biết lời giải bài toán sau đúng hay sai? Nếu sai hãy sửa lại cho chính xác:

Gọi SH là đường cao của hình chóp S.ABCD (Hình 2.4). Do SH  (ABCD) nên ta có SH  BD. Do ABCD là hình vuông nên ta có

AC  BD. Do đó, ta có BD  (SAC). Suy ra, ta có BD  SA.

Theo giả thiết, do SA  (CPMN) nên ta có NP  SA. Do BD và NP cùng vuông góc với

SA nên ta có BD // NP.

Học sinh: Lời giải trên là chưa chính xác vì trong lời giải đó đã dựa trên định lí “Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau” để chứng minh. Tuy nhiên, định lí này chỉ đúng trong mặt phẳng còn trong không gian thì kết quả đó chưa chắc đã đúng.

Giáo viên: Vậy lời giải đúng là gì?

Học sinh: Vì BD  SA và SA  (CPMN) nên theo định lí “Một đường thẳng và một mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau”, ta có: BD // (CPMN) mà BD  (SBD).

Do (CPMN)  (SBD) = NP nên ta có BD // NP.

Ví dụ 2.4. Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’. Dựng thiết diện của

hình lập phương tạo bởi một mặt phẳng đi qua trung điểm M của cạnh DD’,

trung điểm N của cạnh D’C’ và đỉnh A. Xác định góc giữa thiết diện với mặt

đáy (ABCD).

Giáo viên có thể tổ chức các hoạt động dạy học cho học sinh như sau:

Giáo viên: Hãy cho biết lời giải bài toán sau đúng hay sai? Nếu sai hãy sửa lại cho chính xác:

Do hai mặt bên (BB’A’A) và (CC’D’D) song song với nhau nên giao tuyến của hai mặt này với mặt phẳng (AMN) cũng phải song song với nhau.

Vậy thiết diện chính là hình AMNB’. Gọi góc giữa

thiết diện với mặt đáy (ABCD) là góc B AB bằng .

Khi đó, ta có: sin 1 2 2 BB BB AB BB         .

Học sinh: Trong lời giải bài toán trên, cách xác định góc giữa hai mặt phẳng là chưa chính xác.

Ta biết rằng góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa

hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó (theo định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng).

Mặt khác, theo cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau, thì góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại một điểm. Như vậy, cách xác định góc giữa thiết diện với mặt đáy (ABCD) là góc B AB bằng  ở trên, đều không thỏa mãn định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng cũng như cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau.

Giáo viên: Hãy giải lại cho đúng.

Học sinh: Lời giải đúng:

a a  N M C' B' D' A' D A C B Q P H Hình 2.5

Do hai mặt bên (BB’A’A) và (CC’D’D) song song với nhau nên giao tuyến của hai mặt này với mặt phẳng (AMN) cũng phải song song với nhau. Vậy thiết diện chính là hình AMNB’.

Trong (CC’DD’), ta có MN // DC’ và DC  DC’ = D. Do đó, ta có MN  DC = P.

Suy ra, ta có (AMNB')(ABCD)PA

Trong (ABCD), ta có PACBQ.

Trong tam giác ABQ kẻ BH  AQ (1)

Do B B' (ABCD) nên BH là hình chiếu vuông góc của B’H trên mặt

phẳng (ABCD) (2)

Từ (1) và (2) và theo định lí ba đường vuông góc thì AQB H' (3). Từ (1) và (3) suy ra, ta có  BHB'(AMNB'),(ABCD).

Giả sử hình lập phương có cạnh là a. Do tứ giác PNC’D là hình bình

hành nên ta có ' 2 a PDNC  . Suy ra, ta có 3 . 2 a PC 

Trong tam giác QCP do AB // PC nên theo định lí Talet ta có:

  AB QB CP QC  2 1 3 3 QB BC QC QC Do đó, ta có QB2BC2a. Trong tam giác vuông ABQ, ta có:

 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 5 4 2 BH  AB  BQ  a  a  a Suy ra, ta có 2 5 a BH 

Trong tam giác vuông BB’H, ta có tan 'tan  ' 5

BB BHB

Vậy góc giữa thiết diện với mặt đáy (ABCD) là góc , trong đó   '  5

tan

BH .

2.2.2. Biện pháp 2. Trang bị đầy đủ, chính xác kiến thức cơ bản cho học sinh sinh

Toán học là kết quả của sự trừu tượng hóa từ những đặc trưng cho số lượng và hình dạng của đối tượng. Có những khái niệm toán học là kết quả của sự trừu tượng những đối tượng vật chất cụ thể, nhưng cũng có những khái niệm được nảy sinh từ sự trừu tượng những cái đã trừu tượng trước đó. Điều này làm cho học sinh gặp những khó khăn nhất định trong việc hình dung khái niệm một cách trực giác và có thể dẫn đến hiểu sai bản chất của các khái niệm đó. Do vậy, mặc dù học sinh có thể trả lời chính xác các câu hỏi, nêu đúng các định lý, công thức… nhưng các em học sinh vẫn có thể nhầm lẫn trong việc vận dụng sự hiểu biết đó vào giải những bài toán cụ thể.

Kiến thức cơ bản là những tri thức nền tảng, làm “bàn đạp” để học sinh có thể tiếp thu được những tri thức khoa học khác. Nội dung kiến thức cơ bản phải đáp ứng được những yêu cầu chung nhất, có thể vận dụng linh hoạt trong các bài toán cụ thể và trong các hoạt động thực tiễn. Trong các bài học, kiến thức cơ bản là những khái niệm, định lí, hệ quả, công thức liên quan trực tiếp đến bài học.

Dạy học là một công việc vừa có tính khoa học lại vừa có tính nghệ thuật, nó đòi hỏi ở người giáo viên sự sáng tạo trong quá trình dạy học. Việc chuẩn bị tốt trước khi lên lớp không những là điều cần thiết mà còn là điều

bắt buộc đối với giáo viên. Để làm tốt việc trang bị kiến thức cơ bản cho học sinh, giáo viên cần lưu ý một số điểm sau:

- Cần phải căn cứ vào trình độ, tri thức, kỹ năng, kỹ xảo của các học sinh tại thời điểm xuất phát của quá trình dạy học. Việc này có thể thực hiện bằng biện pháp theo dõi từ trước hoặc bằng kiểm tra. Ngoài ra, người giáo viên cũng cần quan tâm đến thái độ, hành vi, thói quen, niềm tin… của học sinh.

- Những khái niệm cơ bản với những dấu hiệu đặc trưng của chúng cần được lặp lại trong các bài học khi có cơ hội; giáo viên cần xác định những khái niệm nào cần đào sâu, mở rộng, những khái niệm nào chỉ mang tính chất thông báo cho học sinh; thường xuyên nhấn mạnh những khái niệm then chốt cho học sinh; sử dụng các hoạt động trên lớp để củng cố kiến thức mới học cho học sinh.

Ví dụ 2.5. Sau khi dạy học khái niệm hai đường thẳng vuông góc trong

không gian giáo viên có thể cho học sinh làm bài toán nhỏ sau. Các phát biểu sau đúng hay sai, nếu sai sửa lại cho đúng. a) Hai đường thẳng vuông góc trong không gian thì cắt nhau. b) Hai đường thẳng vuông góc trong không gian thì chéo nhau.

Phát biểu a) và b) đều chưa chính xác. Vì trong không gian, hai đường thẳng vuông góc có thể hoặc chéo nhau hoặc cắt nhau (trong mặt phẳng, hai đường thẳng vuông góc thì sẽ cắt nhau).

- Giáo viên cần giúp học sinh nắm vững bản chất của các khái niệm, tính chất và vận dụng chính xác kiến thức đã học.

Ví dụ 2.6. Cho tứ diện ABCD có cạnh đều bằng a. Gọi M và N lần lượt

là trung điểm của AB và CD. Lấy các điểm I, J, K lần lượt thuộc các đường

thẳng BC, AC, AD sao cho IBk IC. ; JAk JC. ; KAk KD. trong đó k là

một số khác 0. Chứng minh rằng:

b) MN có vuông góc với (ABC) và (ACD) không?

Lời giải của học sinh: Do ABCD là tứ

diện đều nên MN  AB, MN  CD (Hình 2.7). Do IBk IC. ; JAk JC. nên IJ // AB. Do đó, ta có MN  IJ. Chứng minh tương tự, ta có MN  JK. Do MN  CD và MN  (ANB) nên ta có CD  (ANB). Suy ra, ta có AB  CD. Do MN  CD, MN  JK nên ta có MN  (ACD). Chứng minh tương tự, ta có MN  (ABC).

Phân tích sai lầm: Lời giải trên là chưa chính xác vì bạn học sinh đó đã

dựa vào các định lí: “Đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng song

song nằm trong mặt phẳng () thì a vuông góc với mặt phẳng ()” để chứng minh MN  (ABC), MN  (ACD); “Đường thẳng a vuông góc với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng () thì a vuông góc với mặt phẳng ()” để chứng minh CD  (ANB).

Ta có lấy một phản ví dụ chứng tỏ sai lầm trong hai định lí trên như sau: (Hình 2.8)

Trong hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’

ta có: BD  A’C’ và A’C’  (A’B’C’D’) nhưng

BD // (A’B’C’D’); BB’  AC và BB’  A’C’ nhưng

BB’// (ACC’A’).

Do đó, việc học sinh vận dụng các định lí trên trong trường hợp này là không chính xác.

Lời giải đúng:

Hình 2.7

a) Do ABCD là tứ diện đều nên ta có MN  AB, MN  CD. Do IBk IC. ; JAk JC. nên IJ // AB.

Do đó, ta có MN  IJ.

Chứng minh tương tự ta có: JAk JC. ; KAk KD.

Suy ra, ta có IK // CD. Do đó, ta có MN  JK.

Ta có CD  AN, CD  BN (do ABCD tứ diện đều) nên CD  (ABN). Do đó, ta có CD  AB.

b) Ta có MN (ABC) do MN  AB, MN  IJ nhưngABIJ  . Tương tự như trên, ta có MN ACD do MN  CD, MN  IK,

nhưng JKCD .

Biện pháp khắc phục sai lầm: Nhấn mạnh điều kiện cần và đủ để

đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng () là:

, , ( ) ( ) a b a c b c a b c               

Bên cạnh đó, giáo viên nên đưa ra các câu hỏi trắc nghiệm đúng sai cho học sinh để giúp học sinh khắc sâu kiến thức cho bản thân như sau:

1. a  b, b  ()  a  ()?

2. a  b, a  c, b, c  ()  a  ()?

Một số biện pháp sư phạm giúp học sinh phát hiện và sửa chữa những

Nội dung thực nghiệm sư phạm