Biện pháp 2 Trang bị đầy đủ, chính xác kiến thức c- 123docz.net

7. Cấu trúc của đề tài

2.2.2. Biện pháp 2 Trang bị đầy đủ, chính xác kiến thức cơ bản cho học sinh

sinh

Toán học là kết quả của sự trừu tượng hóa từ những đặc trưng cho số lượng và hình dạng của đối tượng. Có những khái niệm toán học là kết quả của sự trừu tượng những đối tượng vật chất cụ thể, nhưng cũng có những khái niệm được nảy sinh từ sự trừu tượng những cái đã trừu tượng trước đó. Điều này làm cho học sinh gặp những khó khăn nhất định trong việc hình dung khái niệm một cách trực giác và có thể dẫn đến hiểu sai bản chất của các khái niệm đó. Do vậy, mặc dù học sinh có thể trả lời chính xác các câu hỏi, nêu đúng các định lý, công thức… nhưng các em học sinh vẫn có thể nhầm lẫn trong việc vận dụng sự hiểu biết đó vào giải những bài toán cụ thể.

Kiến thức cơ bản là những tri thức nền tảng, làm “bàn đạp” để học sinh có thể tiếp thu được những tri thức khoa học khác. Nội dung kiến thức cơ bản phải đáp ứng được những yêu cầu chung nhất, có thể vận dụng linh hoạt trong các bài toán cụ thể và trong các hoạt động thực tiễn. Trong các bài học, kiến thức cơ bản là những khái niệm, định lí, hệ quả, công thức liên quan trực tiếp đến bài học.

Dạy học là một công việc vừa có tính khoa học lại vừa có tính nghệ thuật, nó đòi hỏi ở người giáo viên sự sáng tạo trong quá trình dạy học. Việc chuẩn bị tốt trước khi lên lớp không những là điều cần thiết mà còn là điều

bắt buộc đối với giáo viên. Để làm tốt việc trang bị kiến thức cơ bản cho học sinh, giáo viên cần lưu ý một số điểm sau:

- Cần phải căn cứ vào trình độ, tri thức, kỹ năng, kỹ xảo của các học sinh tại thời điểm xuất phát của quá trình dạy học. Việc này có thể thực hiện bằng biện pháp theo dõi từ trước hoặc bằng kiểm tra. Ngoài ra, người giáo viên cũng cần quan tâm đến thái độ, hành vi, thói quen, niềm tin… của học sinh.

- Những khái niệm cơ bản với những dấu hiệu đặc trưng của chúng cần được lặp lại trong các bài học khi có cơ hội; giáo viên cần xác định những khái niệm nào cần đào sâu, mở rộng, những khái niệm nào chỉ mang tính chất thông báo cho học sinh; thường xuyên nhấn mạnh những khái niệm then chốt cho học sinh; sử dụng các hoạt động trên lớp để củng cố kiến thức mới học cho học sinh.

Ví dụ 2.5. Sau khi dạy học khái niệm hai đường thẳng vuông góc trong

không gian giáo viên có thể cho học sinh làm bài toán nhỏ sau. Các phát biểu sau đúng hay sai, nếu sai sửa lại cho đúng. a) Hai đường thẳng vuông góc trong không gian thì cắt nhau. b) Hai đường thẳng vuông góc trong không gian thì chéo nhau.

Phát biểu a) và b) đều chưa chính xác. Vì trong không gian, hai đường thẳng vuông góc có thể hoặc chéo nhau hoặc cắt nhau (trong mặt phẳng, hai đường thẳng vuông góc thì sẽ cắt nhau).

- Giáo viên cần giúp học sinh nắm vững bản chất của các khái niệm, tính chất và vận dụng chính xác kiến thức đã học.

Ví dụ 2.6. Cho tứ diện ABCD có cạnh đều bằng a. Gọi M và N lần lượt

là trung điểm của AB và CD. Lấy các điểm I, J, K lần lượt thuộc các đường

thẳng BC, AC, AD sao cho IBk IC. ; JAk JC. ; KAk KD. trong đó k là

một số khác 0. Chứng minh rằng:

b) MN có vuông góc với (ABC) và (ACD) không?

Lời giải của học sinh: Do ABCD là tứ

diện đều nên MN  AB, MN  CD (Hình 2.7). Do IBk IC. ; JAk JC. nên IJ // AB. Do đó, ta có MN  IJ. Chứng minh tương tự, ta có MN  JK. Do MN  CD và MN  (ANB) nên ta có CD  (ANB). Suy ra, ta có AB  CD. Do MN  CD, MN  JK nên ta có MN  (ACD). Chứng minh tương tự, ta có MN  (ABC).

Phân tích sai lầm: Lời giải trên là chưa chính xác vì bạn học sinh đó đã

dựa vào các định lí: “Đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng song

song nằm trong mặt phẳng () thì a vuông góc với mặt phẳng ()” để chứng minh MN  (ABC), MN  (ACD); “Đường thẳng a vuông góc với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng () thì a vuông góc với mặt phẳng ()” để chứng minh CD  (ANB).

Ta có lấy một phản ví dụ chứng tỏ sai lầm trong hai định lí trên như sau: (Hình 2.8)

Trong hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’

ta có: BD  A’C’ và A’C’  (A’B’C’D’) nhưng

BD // (A’B’C’D’); BB’  AC và BB’  A’C’ nhưng

BB’// (ACC’A’).

Do đó, việc học sinh vận dụng các định lí trên trong trường hợp này là không chính xác.

Lời giải đúng:

Hình 2.7

a) Do ABCD là tứ diện đều nên ta có MN  AB, MN  CD. Do IBk IC. ; JAk JC. nên IJ // AB.

Do đó, ta có MN  IJ.

Chứng minh tương tự ta có: JAk JC. ; KAk KD.

Suy ra, ta có IK // CD. Do đó, ta có MN  JK.

Ta có CD  AN, CD  BN (do ABCD tứ diện đều) nên CD  (ABN). Do đó, ta có CD  AB.

b) Ta có MN (ABC) do MN  AB, MN  IJ nhưngABIJ  . Tương tự như trên, ta có MN ACD do MN  CD, MN  IK,

nhưng JKCD .

Biện pháp khắc phục sai lầm: Nhấn mạnh điều kiện cần và đủ để

đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng () là:

, , ( ) ( ) a b a c b c a b c               

Bên cạnh đó, giáo viên nên đưa ra các câu hỏi trắc nghiệm đúng sai cho học sinh để giúp học sinh khắc sâu kiến thức cho bản thân như sau:

1. a  b, b  ()  a  ()?

2. a  b, a  c, b, c  ()  a  ()?

Giáo viên có thể đưa ra các ví dụ minh họa để học sinh thấy rõ sai lầm trong lời giải bài toán.

Ví dụ 2.7. Cho hình chóp đỉnh S, đáy hình thang ABCD với AB song

song với CD. Mặt phẳng () qua AB cắt SC và SD lần lượt tại M, N. Chứng

minh rằng MN song song với AB.

Lời giải của học sinh: Do MN // (ABCD) và AB  (ABCD) nên ta có

Phân tích sai lầm: Cách lập luận như trên là chưa chính xác vì học sinh

áp dụng tính chất: “Đường thẳng a song song với mặt phẳng () thì a sẽ song song với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng

()” để chứng minh MN // AB.

Ta có thể lấy phản ví dụ minh họa cho mệnh đề “a // ()  a // b, b  ()” mà học sinh dùng để chứng minh bài tập trên.

Trong hình hộp ABCD.A’B’C’D’ ta thấy

CC’ // (ADD’A’) nhưng CC’ không song song với AD, A’D’, AD’ (Hình 2.10).

Lời giải đúng: Ta có AB  (), CD 

(SCD) và AB // CD.

Hơn nữa, ta có ()  (SCD) = MN. Do đó, ta có MN // AB.

Biện pháp khắc phục sai lầm : Khi dạy

đến những định lí này thì nên đưa ra ví dụ như trên để nhấn mạnh cho học sinh. Ta có đường

thẳng a song song với mặt phẳng () suy ra tồn tại đường thẳng b nằm trong

(), sao cho a // b.

- Giáo viên cần giúp học sinh tạo “đường dẫn” giữa kiến thức mới với kiến thức đã học. Thực tế, một lượng không nhỏ học sinh có tâm lí “ngại” tiếp nhận kiến thức mới, đặc biệt là các kiến thức về Hình học không gian. Nếu học sinh có thể liên hệ với những kiến thức cũ thì việc học kiến thức mới sẽ diễn ra dễ dàng và thuận lợi hơn. Do đó, giáo viên nên tổ chức cho học sinh tự lực hình thành hoặc giúp đỡ họ hình thành tri thức mới, sử dụng tư duy logic khi cần thiết, giúp học sinh thấy được thông tin nào cần ghi nhớ máy móc,

Hình 2.10 Hình 2.9

Ví dụ 2.8. Khi dạy học khái niệm “thiết diện”: Hình thành khái niệm

theo con đường quy nạp, tức là xuất phát từ một số hình ảnh thực tế (mô hình) hình vẽ, ví dụ... dẫn dắt học sinh tìm ra dấu hiệu đặc trưng của khái niệm, từ đó đi đến định nghĩa khái niệm, ta có sơ đồ sau:

Khái niệm thiết diện: Cho hình (H) là một hình chóp hoặc hình lăng trụ và một mặt phẳng (α). Nếu mặt phẳng (α) cắt một mặt nào đó của hình (H) thì mặt phẳng (α) sẽ cắt mặt phẳng này theo một đoạn thẳng gọi là đoạn giao tuyến của mặt phẳng (α) với mặt phẳng đó. Các đoạn giao tuyến nối tiếp nhau nằm trên mặt phẳng (α) tạo thành một đa giác phẳng. Ta gọi đa giác phẳng đó là thiết diện của hình (H) với mặt phẳng (α).

Hình 2.11 Mô hình

Hình vẽ Phát biểu khái niệm

Lĩnh hội khái niệm Vận dụng khái niệm

Muốn lĩnh hội được khái niệm “thiết diện” học sinh cần nắm vững được khái niệm điểm chung giữa hai mặt phẳng, giao tuyến giữa hai mặt phẳng, đoạn giao tuyến. Vì thế nên:

+ Củng cố nhắc lại khái niệm cũ: Điểm chung giữa hai mặt phẳng, đoạn giao tuyến, giao tuyến giữa hai mặt phẳng.

+ Dùng mô hình đồ dùng dạy học, hình vẽ cho học sinh quan sát, nhận xét trừu tượng hóa, khái quát hóa, đa giác phẳng tạo bởi các đoạn giao tuyến nối tiếp nhau của mặt phẳng với các mặt của hình (H) để từ đó phát biểu khái niệm mới.

+ Củng cố khái niệm từ dễ đến khó.

Bài toán: Cho hình chóp A.BCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD; P là một điểm tùy ý nằm trên cạnh AD. Hãy tìm thiết diện của hình chóp A.BCD khi cắt bởi mặt phẳng (MNP).

Phân tích bài toán. Ta cần xác định

các đoạn giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với các mặt của hình chóp A.BCD. Ta có hai giao tuyến gốc MN, NP. Việc xác định các giao tuyến cũng lại được quy về việc xác định R thuộc BC.

Ta có MP = (MNP)  (ABD) và

NP = (MNP)  (ACD)

Ta cần tìm giao điểm R của cạnh BC với mặt phẳng (MNP). Điểm R

nằm trên giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với mặt phẳng (BCD). Hai mặt phẳng (MNP) và (BCD) có điểm chung thứ nhất là N, điểm chung thứ hai là

giao điểm Q giữa đường thẳng MP và đường thẳng BD (MP cắt BD tại điểm

P không trùng với trung điểm của đoạn AD). Vậy R là giao điểm của đường

thẳng BC và đường thẳng QN.

Từ đó ta có lời giải bài toán như sau: Vì P không là trung điểm của AD

nên MP cắt BD tại Q. Đường thẳng QN cắt BC tại R. Vì RMNP nên

 

Q MNP , do đó RMNP. Vậy mặt phẳng (MNP) cắt các mặt của hình chóp A.BCD theo các đoạn giao tuyến MR, RN, NP, PM. Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác MRNP.

Ví dụ 2.9. Khi dạy học về nội dung khoảng cách nhiều học sinh thường

không biết giải quyết bài toán bắt đầu từ đâu, dùng phương pháp nào, tại sao lại nghĩ đến kẻ đường này, vẽ đường kia... Có một số học sinh mày mò tìm ra cách giải bài toán theo kiểu thử đúng sai, khi được khi không. Một số học sinh khác thì không có “lối thoát” cho loại bài toán này. Học sinh thường lúng túng khi tìm hình chiếu H của điểm M trên mặt phẳng (P): Nó sẽ nằm trên

đường nào? Tại sao?

Để giải quyết vấn đề trong thực tế, ta cần hệ thống các kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt như: Quan hệ song song, quan hệ vuông góc trong không gian... Xây dựng các bước tính từng loại khoảng cách, hướng dẫn các dạng toán khoảng cách cơ bản. Sau mỗi bài toán đều có nhận xét, củng cố, chỉ ra những sai lầm dễ gặp của học sinh và phát triển mở rộng (nếu có thể) giúp học sinh ghi nhớ và phát triển tư duy năng

lực sáng tạo.

Cần lưu ý cho học sinh đối với từng dạng toán “khoảng cách” cụ thể:

a) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

Muốn tìm được độ dài của đoạn MH ta

thường xem nó là chiều cao của tam giác MAB (Hình 2.14).

Giáo viên: Nếu tam giác MAB vuông tại M thì ta sẽ tính như nào?

Học sinh: Ta sẽ nhớ lại hệ thức lượng trong tam giác vuông. Nếu tam giác MAB cân tại M thì H là trung điểm của AB.

Nếu tam giác thường thì tính diện tích tam giác và độ dài AB, từ đó suy ra độ dài MH.

b) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Sau khi đưa ra định nghĩa, giáo viên cho một ví dụ minh họa. Chắc chắn học sinh sẽ lúng túng không biết điểm H nằm trên đường nào.

Giáo viên: Hãy tìm chân đường cao kẻ từ đỉnh của hình chóp đều xuống mặt phẳng đáy?

Tương tự tìm chân đường cao kẻ từ đỉnh của hình chóp có các cạnh bên bằng nhau xuống mặt phẳng đáy?

Sau đó, giáo viên yêu cầu học sinh nhắc lại ba tính chất của hai mặt phẳng vuông góc. A M H B Hình 2.14

Giáo viên: Tính chất nào có thể sử dụng trong việc kẻ đường thẳng vuông góc xuống mặt phẳng?

Học sinh: (Học sinh sẽ phát hiện ra tính chất 2) Hai mặt phẳng vuông góc với nhau theo giao tuyến d, trong mặt này kẻ đường thẳng a vuông góc

với d thì a sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.

Từ đó, giáo viên cho học sinh ghi nhớ “các bước xác định khoảng cách từ một điểm M đến một mặt phẳng (P)” như sau:

- Tìm mặt phẳng (Q) qua M và vuông góc với mặt phẳng (P). - Tìm giao tuyến a giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

- Trong (Q), kẻ MH vuông góc với a. Khi đó d(M; (P)) = MH.

c) Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song

Bài toán. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng 2a,

cạnh đáy bằng a. Tính khoảng cách giữa AB và mặt phẳng (SCD).

Nhận xét. Trong quá trình giải toán, học sinh thường đổi khoảng cách giữa AB với mặt phẳng (SCD) thành khoảng cách từ A (hoặc B) đến mặt

phẳng (SCD). Sau đó tiến hành theo các bước tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Tuy nhiên, việc dựng mặt phẳng qua A và vuông góc với mặt phẳng (SCD) là hơi phức tạp đối với một số học sinh, một số học sinh khác có thể dựng được mặt phẳng này nhưng hình vẽ sẽ rất rối hình.

Giáo viên: Đã có sẵn một mặt phẳng vuông góc với (SCD), theo em đó là mặt nào? Vậy ta nên đổi khoảng cách cần tìm thành khoảng cách từ điểm nào đến (SCD)?

A D

N H

Học sinh: Đổi khoảng cách cần tìm thành khoảng cách giữa điểm M

đến mặt phẳng (SCD), M là trung điểm AB.

Hướng dẫn giải:

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD. Ta có MN  CD; SN  CD.

Suy ra, ta có CDSMN.

Dựng MH SN. Do MH (SMN) nên ta có CDMH . Suy ra, ta có MH SCD.

Do đó, ta có d(AB, (SCD)) = d(M, (SCD)) = MH.

Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên ta có SM = SN. Do đó SN là đường trung tuyến của tam giác SCD cân tại S. Ta có 2 2 2 2 2 2 2 15 4 2 4 4 4 SC SD CD a a SN     a   . Suy ra, ta có 15 2 a SN  . Do đó, ta có 15 2 a SM SN  .

Do tam giác SMN cân tại S nên 15

SM SN  ; MH  SN, MN = a.

Suy ra MH là đường cao của tam giác SMN.

Do ∆MNH vuông tại H nên ta có: MH2= MN2 - NH2 (*) Do ∆MSH vuông tại H nên ta có:

MH2= SM2 – (SM – NH)2 = 2.SM.NH – NH2 Do đó, ta có MN2 = 2.SM.NH. Suy ra, ta có 2 2 2. 15 15 2. 2 MN a a NH SM a    .

Từ (*) ta có MH2 = a2 - 2 15 a = 2 14 15 a 14 15 a MH   .

Qua ví dụ cụ thể trên học sinh có thể dần hình thành các bước làm để tính khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) như sau:

+ Tìm mặt phẳng (Q) vuông góc với mặt phẳng (P).

+ Tìm điểm chung M của mặt phẳng (Q) và đường thẳng a (nếu a // (Q) thì đổi mặt phẳng (Q) thành mặt phẳng (Q’) chứa đường thẳng a và song song

Biện pháp 2 Trang bị đầy đủ, chính xác kiến thức cơ bản cho học sinh

Nội dung thực nghiệm sư phạm