7. Cấu trúc của đề tài
1.4.4. Sai lầm khi khai thác các giả thiết của bài toán không chính xác
Ví dụ 1.17. Cho hình chóp S.ABCD, SA có độ dài bằng x, các cạnh còn
lại bằng a. Tính độ dài đường cao SH của hình chóp S.ABCD theo a và x.
+ Một học sinh giải như sau: Gọi H
là giao của hai đường chéo AC và BD. Do
SBD là tam giác cân nên ta có SH BD. Vậy, SH là đường cao của hình chóp. Do đó, ta có SH = 2
2
a
.
+ Phân tích sai lầm. Do SH không
vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SH
được xác định như trên không phải là đường cao của hình chóp S.ABCD (Nếu
SH là đường cao sẽ dẫn đến mâu thuẫn SAC là tam giác cân nên SA = SC
mà theo giả thiết x a). Do đó, lời giải bài toán là chưa chính xác.
Hình 1.18
Hình 1.19
+ Lời giải đúng. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Do AC BD và SO BD nên ta có BD (SAC). Do đó, ta có (SAC) (SBD).
Trong mặt phẳng (SAC), qua S kẻ đường thẳng vuông góc với AC, cắt AC tại H. Khi đó, ta có SH AC.
Suy ra, ta có SH (SBD). Do đó, ta có SH BD.
Vậy SH (ABCD) hay SH là đường cao của hình chóp S.ABCD. Ta có SO2 = SD2 - OD2 = a2 - OD2,
OC2 = CB2 - OD2 = a2 - OD2, OA2 = AB2 - OB2 = a2 - OD2,
Do đó, ta có OS = OA = OC.
Suy ra, ta có O là tâm đường tròn ngoại tiếp của SAC.
Do đó, ta có SAC là tam giác vuông tại S.
Suy ra, ta có 2 2 2 2 2 1 1 1 ax SH SH SA SC a x .
1.5. Thực trạng dạy học Hình học không gian cho học sinh ở trường Trung học phổ thông
1.5.1. Nội dung chương trình Hình học không gian lớp 11 ở trường Trung học phổ thông
Chủ đề Hình học không gian lớp 11 (ban cơ bản) ở trường phổ thông được trình bày trong 2 chương với 34 tiết.
- Chủ đề Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song
song được trình bày trong 16 tiết với các nội dung chính là:
+ Giới thiệu qua về môn học, nêu ra các tính chất thừa nhận của Hình học không gian và các định lí về mối quan hệ giữa điểm, đường thẳng, mặt phẳng, giới thiệu khái niệm hình chóp, hình tứ diện đều...
+ Định nghĩa quan hệ song song giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng và các tính chất của các quan hệ đó. Giới thiệu khái niệm hình lăng trụ, hình hộp, hình chóp cụt. Định nghĩa phép chiếu song song và vấn đề biểu diễn của các hình trong không gian.
- Chủ đề Vectơ trong không gian.Quan hệ vuông góc được trình bày trong 18 tiết với các nội dung chính là:
+ Định nghĩa vectơ trong không gian và các phép toán về vectơ trong không gian, quy tắc hình hộp, khái niệm và điều kiện đồng phẳng của ba vectơ trong không gian.
+ Định nghĩa quan hệ vuông góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng và các tính chất của các quan hệ đó, mặt phẳng trung trực, định lí ba đường vuông góc, khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, từ đường thẳng đến mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng song song và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
1.5.2. Mục đích dạy học Hình học không gian lớp 11 ở trường Trung học phổ thông
Về kiến thức
Sau khi học xong nội dung Hình học không gian lớp 11, học sinh cần nằm vững các kiến thức sau:
- Hệ tiên đề của Hình học không gian (gọi là các tính chất thừa nhận). - Cách xác định mặt phẳng, vị trí tương đối của hai đường thẳng, của đường thẳng và mặt phẳng, của hai mặt phẳng trong không gian.
- Định nghĩa và tính chất của hai đường thẳng song song, hai đường thẳng chéo nhau, đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song trong không gian.
- Định nghĩa hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc.
- Khoảng cách: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa đường thẳng và đường thẳng, khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
- Góc: Góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng.
- Định nghĩa và tính chất của hình chóp, hình lăng trụ, hình đa diện. - Định nghĩa véctơ, các phép toán trên véctơ, điều kiện để hai véctơ cùng phương, điều kiện để ba véctơ đồng phẳng…
Về kỹ năng
Sau khi học xong nội dung này, học sinh cần có được các kỹ năng sau: - Kỹ năng biểu diễn các hình không gian lên mặt phẳng theo phép chiếu song song, phép chiếu vuông góc.
- Kỹ năng xác định giao điểm của hai đường thẳng, của đường thẳng và mặt phẳng; xác định giao tuyến của hai mặt phẳng; kỹ năng xác định thiết diện…
- Kỹ năng chứng minh hình học nói riêng, chứng minh toán học nói chung bằng những lập luận có căn cứ, trình bày lời giải mạch lạc.
- Kỹ năng xác định, tính toán về góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng.
- Kỹ năng phát biểu bài toán hình học xuất phát từ thực tiễn, giải được một số bài toán thực tiễn có liên quan đến Hình học không gian.
Về phương pháp
- Cần bồi dưỡng cho học sinh năng lực thiết lập mối quan hệ giữa các kiến thức Hình học không gian và hình học phẳng.
- Tạo cho học sinh có năng lực tách các bộ phận phẳng cần nghiên cứu khỏi Hình học không gian để chuyển về các bài toán quen thuộc.
- Tạo cho học sinh năng lực chuyển các bài toán không gian về bài toán phẳng nhờ tương tự hóa, nhờ sử dụng các tính chất bất biến qua phép chiếu song song, đặc biệt là phép chiếu vuông góc.
- Bồi dưỡng cho học sinh có khả năng chuyển các tính chất hình học từ hình không gian này sang hình không gian khác đơn giản hơn nhờ xét mối quan hệ giữa các hình hình học.
1.5.3. Thực trạng dạy học giải bài tập Hình học không gian ở trường Trung học phổ thông cho học sinh
Để bước đầu tìm hiểu thực trạng dạy học giải bài tập nội dung Hình học không gian ở trường phổ thông, chúng tôi đã tiến hành tìm hiểu thực trạng dạy học Hình học không gian ở trường Trung học phổ thông Trùng Khánh tỉnh Cao Bằng. Qua trao đổi với một số giáo viên giảng dạy môn toán nói chung và giáo viên trực tiếp dạy toán lớp 11 và thăm dò ý kiến học sinh lớp 11 và nghiên cứu một số tài liệu liên quan đến vấn đề dạy học nội dung này, chúng tôi nhận thấy:
a) Đối với giáo viên
Chúng tôi đã tiến hành trao đổi, phỏng vấn trực tiếp với 5 giáo viên dạy toán tại trường Trung học phổ thông Trùng Khánh tỉnh Cao Bằng. Qua điều tra, các giáo viên đều cho rằng nhiều học sinh còn phải sai lầm khi giải toán Hình học không gian. Hỏi về những nguyên nhân dẫn đến sai lầm của học sinh khi giải toán Hình học không gian, kết quả thu được ở bảng dưới đây (Bảng 1.1):
Bảng 1.1. Nguyên nhân sai lầm của học sinh khi giải toán Hình học không gian
Nguyên nhân sai lầm của học sinh Ý kiến đồng ý
Sai lầm trong vẽ hình 60%
Sai lầm của học sinh khi vận dụng định lí, hệ quả 40% Sai lầm do không nắm vững khái niệm thiết diện 80% Sai lầm do sử dụng mặt phẳng phụ không phù hợp 40%
Một số sai lầm khác khi giải toán 40%
Chúng tôi xin trích dẫn một đoạn phỏng vấn cô giáo Lương Thị Lệ, giáo viên dạy toán của trường Trung học phổ thông Trùng Khánh tỉnh Cao Bằng:
- Hỏi: Cô vui lòng cho biết, khi học nội dung Hình học không gian lớp 11, học sinh có hay mắc phải những sai lầm trong giải toán hay không và đó là những sai lầm gì?
- Trả lời: Thực tế dạy học, tôi thấy khi học nội dung này học sinh thường mắc sai lầm. Một số sai lầm thường mắc phải như: Sai lầm trong vẽ hình biểu diễn; sai lầm do không nắm vững khái niệm thiết diện; sai lầm trong vận dụng kiến thức…
- Hỏi: Theo cô, nguyên nhân dẫn đến những sai lầm đó là gì?
- Trả lời: Theo tôi, đó là do học sinh không hiểu bản chất, không nắm chắc phần kiến thức đó.
- Hỏi: Theo cô, việc tạo ra các tình huống dễ dẫn đến sai lầm để thử thách học sinh có tác dụng giúp học sinh phòng tránh và hạn chế được sai lầm hay không, cô có hay sử dụng biện pháp này trong quá trình dạy học không?
- Trả lời: Tôi thỉnh thoảng sử dụng biện pháp này trong bài giảng và đúng là có tác dụng tích cực. Nhưng chủ yếu chỉ thực hiện được với những đối tượng học sinh khá giỏi vì mất khá nhiều thời gian, còn những học sinh
trung bình và kém hơn tôi thường chú trọng cho các em nắm vững các kiến thức cơ bản, biết cách vận dụng các kiến thức đó để giải dạng toán cơ bản. Hơn nữa, tôi chỉ áp dụng trong các tiết chữa bài tập, các tiết học lý thuyết thì không sử dụng do không có đủ thời gian.
Qua trao đổi với các giáo viên, chúng tôi rút ra một số nhận xét như sau: Các giáo viên đều có nhận thức đúng về tầm quan trọng của nội dung Hình học không gian trong chương trình môn toán. Các giáo viên đều cho rằng, các kiến thức của nội dung Hình học không gian được trình bày trong sách giáo khoa đảm bảo tính lôgic, có liên quan chặt chẽ với nhau do đó thuận lợi cho giáo viên trong quá trình dạy học theo hướng phát huy tính tích cực học tập của học sinh. Tuy nhiên, quá trình học tập và nghiên cứu nội dung Hình học không gian liên quan đến kiểu tư duy mới đối với học sinh, đó là tư duy trừu tượng, cách suy luận hợp lí còn mới lạ đối với học sinh. Do vậy, giáo viên gặp nhiều khó khăn trong việc hình thành năng lực này cho học sinh trong quá trình dạy học. Các bài tập trong nội dung này thường không có thuật giải chung cho từng dạng bài do đó khi dạy học giải bài tập giáo viên gặp khó khăn trong việc hình thành tư duy thuật giải cho học sinh. Nội dung kiến thức còn tương đối nhiều trong một tiết dạy do vậy giáo viên gặp nhiều khó khăn trong việc vận dụng các phương pháp dạy học tích cực trong giảng dạy.
b) Đối với học sinh
Song song với việc trao đổi, phỏng vấn với các giáo viên, chúng tôi đã tiến hành phát phiếu phỏng vấn đối với 80 học sinh hai lớp 11A1, 11A2 tại trường Trung học phổ thông Trùng Khánh tỉnh Cao Bằng. Chúng tôi rút ra một số nhận xét như sau:
- Học sinh đều cho rằng Hình học không gian là một trong những nội dung khó trong chương trình phổ thông;
- Học sinh thường gặp những khó khăn nhất định khi giải bài tập Hình học không gian: Khó khăn bộc lộ trong việc định hướng tìm thuật giải, sai lầm trong vẽ hình, sai lầm trong suy luận… Khó khăn gây nên do năng lực tưởng tượng không gian, khả năng tư duy lôgic còn yếu.
- Học sinh học những giờ học Hình học không gian còn mang tính thụ động, chưa có cơ hội tham gia các hoạt động nhằm phát huy được tính tích cực, chủ động, sáng tạo, không khí học tập những giờ học đó chưa sôi nổi.
- Kỹ năng trình bày lời giải và vẽ hình của đa số học sinh rất hạn chế. Một số học sinh thường lúng túng khi yêu cầu giải một bài toán Hình học không gian. Khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề của học sinh còn ít.
- Ở các lớp dưới học sinh đang quen nghiên cứu với các hình trong mặt phẳng - mỗi hình có thể biểu diễn một cách tường minh phản ánh đúng hình dạng và có thể cả về kích thước bằng hình vẽ trên mặt giấy. Mọi quan hệ như quan hệ liên thuộc, quan hệ thứ tự, quan hệ song song, quan hệ vuông góc giữa các đối tượng và quan hệ bằng nhau giữa hai đoạn thẳng hay hai góc... đều được biểu diễn một cách trực quan. Nay các em bắt đầu tìm hiểu Hình học không gian, hình vẽ là những hình biểu diễn trên mặt phẳng không thể phản ánh một cách tuyệt đối các quan hệ như quan hệ bằng nhau giữa hai đoạn thẳng hay hai góc, quan hệ vuông góc... Do đó tư duy trực quan của học sinh bị giảm bớt, phải được thay thế bởi tư duy lôgic trừu tượng kết hợp với trí tưởng tượng không gian.
- Hệ thống bài tập sách giáo khoa chưa thật sự phù hợp để giúp cho học sinh trong quá trình tự học của học sinh. Trong quá trình giải toán, học sinh còn phạm nhiều sai lầm.
Qua kết quả điều tra đối với giáo viên và học sinh cho thấy đa số học sinh còn mắc nhiều sai lầm. Vì vậy, việc nghiên cứu những sai lầm của học sinh khi giải Toán và đề xuất các biện pháp khắc phục các sai lầm đó cho học sinh là rất cần thiết.
1.6. Kết luận chương 1
Trong chương 1, chúng tôi đã trình bày một số vấn đề mang tính lý luận có liên quan bài tập toán; đã nêu lên ý nghĩa, sự cần thiết phải phát hiện và sửa chữa những sai lầm của học sinh khi giải toán; Đã làm sáng tỏ những kiểu sai lầm rất phổ biến của học sinh phổ thông khi giải toán Hình học không gian, đồng thời phân tích các nguyên nhân chính dẫn đến các sai lầm đó và nêu sơ bộ thực trạng giải bài tập Hình học không gian ở trường Trung học phổ thông.
Chương 2
MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM NHẰM GIÚP HỌC SINH
PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11
2.1. Một số định hướng xây dựng biện pháp
- Định hướng 1. Các biện pháp sư phạm phải thể hiện rõ ý tưởng khắc phục khó khăn sai lầm cho học sinh đồng thời giúp cho học sinh không những nắm vững tri thức mà còn rèn luyện kỹ năng giải toán Hình học không gian lớp 11 ở trường phổ thông.
Để giúp học sinh khắc phục được một số sai lầm thường gặp khi giải Toán Hình học không gian, giáo viên cần chú trọng rèn luyện kỹ năng giải toán Hình học không gian cho học sinh. Đồng thời trong quá trình dạy học, giáo viên không những cung cấp cho học sinh những tri thức về phương pháp để học sinh có thể tìm tòi, tự mình phát hiện và phát biểu vấn đề, dự đoán được kết quả, tìm được hướng chứng minh bài toán mà còn giúp học sinh hiểu được sâu sắc các kiến thức thuộc nội dung Hình học không gian.
- Định hướng 2. Trong quá trình triển khai thực hiện các biện pháp sư
phạm, giáo viên cần quan tâm đúng mức tới việc tăng cường hoạt động cho học sinh, phát huy tối đa tính tích cực, độc lập cho học sinh.
Các hoạt động cần được tăng cường cho học sinh như: Hoạt động nhận dạng và thể hiện, hoạt động ngôn ngữ, hoạt động trí tuệ... Tính độc lập của học sinh được thể hiện ở khả năng tự mình phát hiện ra vấn đề, tự mình phát hiện ra phương hướng, tìm cách giải quyết, tự mình kiểm tra và hoàn thiện kết quả đạt được.
- Định hướng 3. Các biện pháp sư phạm phải đảm bảo tính khả thi, có
Tính khả thi của các biện pháp sư phạm được hiểu là khả năng thực