7. Cấu trúc của đề tài
1.3. Sự cần thiết phải phát hiện, phòng tránh và sửa chữa những sai lầm
của học sinh khi giải toán
Trong dạy học toán ở phổ thông, đã có rất nhiều quan điểm và ý kiến nêu ra về những sai lầm của học sinh. Thực tiễn cho thấy chất lượng dạy học toán ở trường phổ thông đã quan tâm đến việc phát hiện và sửa chữa sai lầm cho học sinh. Tuy nhiên, khả năng giải toán của học sinh vẫn còn hạn chế do mắc những sai lầm dẫn dến sai lầm nối tiếp sai lầm. Trình độ học toán của học sinh đến mức độ nào sẽ được thể hiện rõ nét qua chất lượng giải toán. Vai trò của bài tập trong dạy học toán là vô cùng quan trọng, đó là lí do tại sao
Hình 1.15 A C S B H A'
nhiều công trình nghiên cứu về phương pháp dạy học môn toán lại gắn với việc xây dựng hệ thống bài tập. Ngoài ra có thể tham khảo ý kiến của P.M Ecđơnnhiev trong [11]: "Bài tập được coi là một mắt xích chính của quá trình dạy học toán". Tuy nhiên, nói như vậy không có nghĩa là giáo viên tách rời việc dạy học giải toán cho học sinh với dạy học các khái niệm và định lí toán học. Bởi lẽ, một khi học sinh mắc phải khó khăn, sai lầm khi giải một bài toán cụ thể nào đó đồng nghĩa với việc học sinh đó chưa nắm vững hoặc chưa vận dụng được nội dung lý thuyết đã học vào thực hành giải toán. Do đó, khi phát hiện thấy học sinh còn mắc phải nhiều khó khăn và sai lầm trong giải toán thì người giáo viên nên nhấn mạnh lại những điểm cần chú ý trong quá trình dạy học khái niệm và định lí toán học cho học sinh.
Thực tiễn dạy học cho thấy, học sinh khi giải toán thường mắc phải nhiều kiểu sai lầm khác nhau. Từ những sai lầm bình thường về tính toán đến những sai lầm do biến đổi, do suy luận và thậm chí có những kiểu sai lầm rất khó phát hiện. Nhìn nhận một cách khách quan, các sai lầm ấy là do chính bản thân người học, nhưng trong đó cũng có một phần trách nhiệm thuộc về người giáo viên. Bởi vì, giáo viên chưa chú trọng một cách đúng mức việc phát hiện, uốn nắn và sửa chữa kịp thời các sai lầm cho học sinh trong các giờ học toán; cũng có trường hợp giáo viên phát hiện sai lầm của học sinh nhưng chưa làm rõ nguyên nhân, nguồn gốc chính dẫn đến sai lầm đó, hoặc chỉnh sửa một cách qua loa. Vì điều này mà học sinh không những không khắc phục được sai lầm mà còn tiếp tục mắc sai lầm.
Mặt khác, với đa số học sinh phổ thông, môn toán nói chung và nội dung Hình học không gian nói riêng được xem là một trong những nội dung học tập khó. Nếu người giáo viên không nghiên cứu, lường trước được những khó khăn và sai lầm mà học sinh thường gặp khi giải toán thì sau vài lần vấp phải, học sinh sẽ “sợ” hơn, sẽ mất lòng tin hơn và không còn hứng thú để học toán.
Như vậy, có thể khẳng định rằng, việc nghiên cứu những sai lầm của học sinh để từ đó chọn lựa cách giảng dạy thích hợp là một việc làm cấp thiết. Bởi vì, nếu ta hình dung tốt, lường trước được những sai lầm thì ta sẽ có cách để phòng tránh, ngăn ngừa; còn nếu không thì đôi khi rơi vào tình trạng “sai lầm nối tiếp sai lầm” và do đó hạn chế đến chất lượng giáo dục.
1.4. Một số dạng sai lầm học sinh thường mắc phải khi giải toán Hình học không gian lớp 11
1.4.1. Sai lầm do không nắm rõ bản chất của khái niệm toán học
Nội dung Hình học không gian là một trong những nội dung khó, đòi hỏi tính tưởng tượng không gian tốt ở người học nên nhiều học sinh khi học Hình học không gian thường không nắm vững các khái niệm cơ bản, chưa hiểu đúng bản chất của các kiến thức toán học này. Do chưa hiểu rõ bản chất các khái niệm này nên dẫn đến việc học sinh gặp khó khăn khi giải các bài toán về Hình học không gian và thường mắc những sai lầm khi giải các bài toán về Hình học không gian.
Ví dụ 1.14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, BC, CD. Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (MNP).
+ Một học sinh giải như sau.
Nối M với N, N với P và P với M.
Khi đó, thiết diện cần tìm là miền tam giác MNP.
+ Phân tích sai lầm. Trong lời giải bài toán trên học sinh chưa nắm rõ khái niện thiết diện, đã nhầm lẫn với tiên đề mặt phẳng (có một và chỉ
một mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng). Do đó, lời giải bài toán trên của học sinh là chưa chính xác.
+ Lời giải đúng.
Trong mặt phẳng (ABCD), kẻ đường thẳng NP cắt AB và AD lần lượt
tại E và F.
Trong mặt phẳng (SAB), kẻ đường thẳng ME cắt SB tại Q. Trong mặt phẳng (SAD), kẻ đường thẳng MF cắt SD tại R. Trong mặt phẳng (SBC) kẻ đường thẳng QN.
Trong mặt phẳng (SCD) kẻ đường thẳng PR. Vậy thiết diện cần tìm là ngũ giác MRPNQ.
*Nhận xét: Khi làm bài tập về thiết diện, học sinh cần hiểu rõ bản chất
của việc xác định thiết diện là giải bài toán xác định giao điểm giữa đường thẳng với mặt phẳng và xác định giao tuyến giữa hai mặt phẳng.
1.4.2. Sai lầm do không nắm vững nội dung các định lí, hệ quả
Sử dụng các định lí, các hệ quả của Hình học không gian một cách chủ quan, dựa trên trực giác của bản thân. Học sinh thường nhầm lẫn khi vận dụng một số kết quả tuy đúng trong hình học phẳng nhưng không đúng trong Hình học không gian, chẳng hạn:
+ Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau.
+ Hai mặt phẳng cắt nhau theo một giao tuyến, đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này mà vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.
+ Một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì song song với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
Ví dụ 1.15. Cho hai tam giác cân ABC và DBC có chung cạnh đáy BC
+ Một học sinh giải như sau: Gọi I là
trung điểm của đoạn thẳng BC. Khi đó, ta
có AI BC, DI BC.
Do DI BC nên ta có DI là hình
chiếu của AD xuống mặt phẳng (BCD). Theo định lí 3 đường vuông góc, ta có AD BC.
+ Phân tích sai lầm: Trong lời giải trên, học sinh đã nhầm tưởng rằng DI là
hình chiếu của AD xuống mặt phẳng (BCD). Do AI(BCD) nên chúng ta không thể áp dụng định lí 3 đường vuông góc. Do đó, lời giải bài toán trên của học sinh là chưa chính xác.
+ Lời giải đúng. Do AI BC, DI BC nên ta có (ADI) BC. Suy ra, ta có AD BC.
1.4.3. Sai lầm do vẽ hình chưa chính xác
Trong Hình học không gian, hình vẽ chính xác đóng vai trò quan trọng tới kết quả lời giải bài toán. Thực tế cho thấy, nhiều học sinh mắc sai lầm trong việc vẽ hình Hình học không gian như: Chưa xác định đúng nét đứt, nét liền trong hình vẽ, chưa xác định đúng các giao điểm của một đường thẳng với một đường thẳng, mặt phẳng... Một nhược điểm nữa học sinh thường mắc phải khi vẽ hình Hình học không gian là: mặc dù hình vẽ của học sinh đúng nhưng góc quan sát của hình chưa phù hợp làm cho học sinh gặp khó khăn khi quan sát hình vẽ, do đó gặp “bế tắc” trong việc giải bài toán.
Ví dụ 1.16. Cho một elip là hình biểu diễn của một đường tròn có tâm
O. Vẽ hình biểu diễn của một tam giác đều nội tiếp trong đường tròn (O). + Một học sinh giải như sau. Học sinh vẽ một tam giác bất kì để biểu
diễn yêu cầu của bài toán (Hình 1.18).
+ Phân tích sai lầm. Học sinh vẽ một tam giác bất kì để biểu diễn yêu cầu của bài toán mà không có một ràng buộc nào biểu thị dữ kiện bài toán đã cho. Do đó, lời giải bài toán trên của học sinh là chưa chính các.
+ Lời giải đúng.
- Vẽ cung M"N" và lấy I” là trung điểm của
đoạn thẳng M"N".
- Nối O"I" cắt đường tròn (O") tại hai điểm A” và D”.
- Lấy H” là trung điểm của đoạn thẳng O”D”. Từ H” kẻ B”C” song song với M”N”.
Khi đó, tam giác A”B”C” là hình biểu diễn của tam giác đều ABC.
1.4.4. Sai lầm khi khai thác các giả thiết của bài toán không chính xác Ví dụ 1.17. Cho hình chóp S.ABCD, SA có độ dài bằng x, các cạnh còn Ví dụ 1.17. Cho hình chóp S.ABCD, SA có độ dài bằng x, các cạnh còn
lại bằng a. Tính độ dài đường cao SH của hình chóp S.ABCD theo a và x.
+ Một học sinh giải như sau: Gọi H
là giao của hai đường chéo AC và BD. Do
SBD là tam giác cân nên ta có SH BD. Vậy, SH là đường cao của hình chóp. Do đó, ta có SH = 2
2
a
.
+ Phân tích sai lầm. Do SH không
vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SH
được xác định như trên không phải là đường cao của hình chóp S.ABCD (Nếu
SH là đường cao sẽ dẫn đến mâu thuẫn SAC là tam giác cân nên SA = SC
mà theo giả thiết x a). Do đó, lời giải bài toán là chưa chính xác.
Hình 1.18
Hình 1.19
+ Lời giải đúng. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Do AC BD và SO BD nên ta có BD (SAC). Do đó, ta có (SAC) (SBD).
Trong mặt phẳng (SAC), qua S kẻ đường thẳng vuông góc với AC, cắt AC tại H. Khi đó, ta có SH AC.
Suy ra, ta có SH (SBD). Do đó, ta có SH BD.
Vậy SH (ABCD) hay SH là đường cao của hình chóp S.ABCD. Ta có SO2 = SD2 - OD2 = a2 - OD2,
OC2 = CB2 - OD2 = a2 - OD2, OA2 = AB2 - OB2 = a2 - OD2,
Do đó, ta có OS = OA = OC.
Suy ra, ta có O là tâm đường tròn ngoại tiếp của SAC.
Do đó, ta có SAC là tam giác vuông tại S.
Suy ra, ta có 2 2 2 2 2 1 1 1 ax SH SH SA SC a x .
1.5. Thực trạng dạy học Hình học không gian cho học sinh ở trường Trung học phổ thông
1.5.1. Nội dung chương trình Hình học không gian lớp 11 ở trường Trung học phổ thông
Chủ đề Hình học không gian lớp 11 (ban cơ bản) ở trường phổ thông được trình bày trong 2 chương với 34 tiết.
- Chủ đề Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song
song được trình bày trong 16 tiết với các nội dung chính là:
+ Giới thiệu qua về môn học, nêu ra các tính chất thừa nhận của Hình học không gian và các định lí về mối quan hệ giữa điểm, đường thẳng, mặt phẳng, giới thiệu khái niệm hình chóp, hình tứ diện đều...
+ Định nghĩa quan hệ song song giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng và các tính chất của các quan hệ đó. Giới thiệu khái niệm hình lăng trụ, hình hộp, hình chóp cụt. Định nghĩa phép chiếu song song và vấn đề biểu diễn của các hình trong không gian.
- Chủ đề Vectơ trong không gian.Quan hệ vuông góc được trình bày trong 18 tiết với các nội dung chính là:
+ Định nghĩa vectơ trong không gian và các phép toán về vectơ trong không gian, quy tắc hình hộp, khái niệm và điều kiện đồng phẳng của ba vectơ trong không gian.
+ Định nghĩa quan hệ vuông góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng và các tính chất của các quan hệ đó, mặt phẳng trung trực, định lí ba đường vuông góc, khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, từ đường thẳng đến mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng song song và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
1.5.2. Mục đích dạy học Hình học không gian lớp 11 ở trường Trung học phổ thông
Về kiến thức
Sau khi học xong nội dung Hình học không gian lớp 11, học sinh cần nằm vững các kiến thức sau:
- Hệ tiên đề của Hình học không gian (gọi là các tính chất thừa nhận). - Cách xác định mặt phẳng, vị trí tương đối của hai đường thẳng, của đường thẳng và mặt phẳng, của hai mặt phẳng trong không gian.
- Định nghĩa và tính chất của hai đường thẳng song song, hai đường thẳng chéo nhau, đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song trong không gian.
- Định nghĩa hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc.
- Khoảng cách: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa đường thẳng và đường thẳng, khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
- Góc: Góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng.
- Định nghĩa và tính chất của hình chóp, hình lăng trụ, hình đa diện. - Định nghĩa véctơ, các phép toán trên véctơ, điều kiện để hai véctơ cùng phương, điều kiện để ba véctơ đồng phẳng…
Về kỹ năng
Sau khi học xong nội dung này, học sinh cần có được các kỹ năng sau: - Kỹ năng biểu diễn các hình không gian lên mặt phẳng theo phép chiếu song song, phép chiếu vuông góc.
- Kỹ năng xác định giao điểm của hai đường thẳng, của đường thẳng và mặt phẳng; xác định giao tuyến của hai mặt phẳng; kỹ năng xác định thiết diện…
- Kỹ năng chứng minh hình học nói riêng, chứng minh toán học nói chung bằng những lập luận có căn cứ, trình bày lời giải mạch lạc.
- Kỹ năng xác định, tính toán về góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng.
- Kỹ năng phát biểu bài toán hình học xuất phát từ thực tiễn, giải được một số bài toán thực tiễn có liên quan đến Hình học không gian.
Về phương pháp
- Cần bồi dưỡng cho học sinh năng lực thiết lập mối quan hệ giữa các kiến thức Hình học không gian và hình học phẳng.
- Tạo cho học sinh có năng lực tách các bộ phận phẳng cần nghiên cứu khỏi Hình học không gian để chuyển về các bài toán quen thuộc.
- Tạo cho học sinh năng lực chuyển các bài toán không gian về bài toán phẳng nhờ tương tự hóa, nhờ sử dụng các tính chất bất biến qua phép chiếu song song, đặc biệt là phép chiếu vuông góc.
- Bồi dưỡng cho học sinh có khả năng chuyển các tính chất hình học từ hình không gian này sang hình không gian khác đơn giản hơn nhờ xét mối quan hệ giữa các hình hình học.
1.5.3. Thực trạng dạy học giải bài tập Hình học không gian ở trường Trung học phổ thông cho học sinh
Để bước đầu tìm hiểu thực trạng dạy học giải bài tập nội dung Hình học không gian ở trường phổ thông, chúng tôi đã tiến hành tìm hiểu thực trạng dạy học Hình học không gian ở trường Trung học phổ thông Trùng Khánh tỉnh Cao Bằng. Qua trao đổi với một số giáo viên giảng dạy môn toán nói chung và giáo viên trực tiếp dạy toán lớp 11 và thăm dò ý kiến học sinh lớp 11 và nghiên cứu một số tài liệu liên quan đến vấn đề dạy học nội dung này, chúng tôi nhận thấy:
a) Đối với giáo viên
Chúng tôi đã tiến hành trao đổi, phỏng vấn trực tiếp với 5 giáo viên dạy toán tại trường Trung học phổ thông Trùng Khánh tỉnh Cao Bằng. Qua điều