Biện pháp 3 Hệ thống hóa các dạng toán và phương pháp giải từng

7. Cấu trúc của đề tài

2.2.3. Biện pháp 3 Hệ thống hóa các dạng toán và phương pháp giải từng

dạng toán

Việc phân dạng các dạng và phương pháp giải cho từng dạng bài tập toán sẽ góp phần hạn chế sai lầm cho học sinh, giúp học sinh tự tin, chủ động trong quá trình giải toán.

Trong nội dung Hình học không gian lớp 11, chúng ta có thể phân ra một số dạng toán cơ bản như: Bài toán xác định giao điểm, giao tuyến; Bài toán chứng minh quan hệ song song; Bài toán chứng minh quan hệ vuông góc…

Trong mỗi dạng toán đó, chúng lại có thể phân nhỏ thành từng dạng cụ thể. Chẳng hạn, đối với dạng toán quan hệ song song (vuông góc), chúng ta có thể chia thành các dạng toán như: Chứng minh hai đường thẳng song song (vuông góc); Chứng minh đường thẳng song song (vuông góc) với mặt phẳng; Chứng minh hai mặt phẳng song song (vuông góc)… Với mỗi dạng toán đó, giáo viên có thể giúp học sinh nắm được các phương pháp thường dùng để giải dạng toán đó.

Ví dụ 2.11. Để chứng minh hai đường thẳng song song trong không

gian, giáo viên có thể giúp học sinh nắm vững một số phương pháp thường dùng để chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian như:

1) Sử dụng định nghĩa: Chứng minh chúng là hai đường thẳng phân

biệt cùng thuộc một mặt phẳng và không có điểm chung.

2) Sử dụng tính chất bắc cầu: Chứng minh hai đường thẳng đó là hai

đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba.

3) Ta chứng minh hai đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng song song với một mặt phẳng khác.

4) Ta chứng minh đường thẳng này là giao tuyến của hai mặt phẳng song song với đường thẳng kia.

5) Chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng, sau đó áp dụng các phương pháp chứng minh song song trong hình học phẳng.

6) Sử dụng phương pháp chứng minh bằng phản chứng.

7) Ngoài ra, chúng ta có thể sử dụng phương pháp véctơ, phương pháp tọa độ và phương pháp sử dụng các phép biến hình.

Để giúp học sinh nắm vững cách giải dạng toán chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian, giáo viên có thể hướng dẫn học sinh làm một số bài tập minh họa, chẳng hạn như:

Bài toán. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm

trong một mặt phẳng. Trên AC lấy điểm M và trên BF lấy điểm N sao cho AM

AC = BN

BF = k. Một mặt phẳng () qua MN và song song với AB cắt AD tại

M’ và cạnh AF tại N’.

a) Chứng minh M’N’ // DF. b) Chứng minh rằng nếu k = 1

3 thì MN // DE.

Lời giải.

a) Mặt phẳng () song song với giao tuyến AB của hai mặt phẳng

(ABCD) và (ABEF) nên cắt hai mặt phẳng này theo hai giao tuyến song song (Hình 2.9). Do MM’ // NN // AB nên ta có: ' AM AD = AM AC = k và ' AN AF = BN BF = k Suy ra AM' AD = ' AN AF .

Áp dụng định lí đảo của định lí Talét

vào ADF ta có M’N’ // DF. Hình 2.16 A B F E N N’ D C M M’ I

b) Khi k = 1

3 ta có M, N lần lượt là trọng tâm của ABD, ABE. Suy ra, D, M, I thẳng hàng và E, N, I thẳng hàng (I là trung điểm AB). Vậy MN, DE

cùng nằm trong mặt phẳng (IDE). Trong mặt phẳng (IDE), ta có IM ID = IN IE = 1

3 nên ta suy ra MN // DE.

Ví dụ 2.12. Để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng trong

không gian, giáo viên có thể giúp học sinh nắm vững một số phương pháp thường dùng để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng trong không gian như:

1) Chứng minh đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau

của mặt phẳng.

2) Chứng minh đường thẳng song song với một đường thẳng vuông góc

với mặt phẳng.

3) Chứng minh đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng nào đó cùng vuông góc với mặt phẳng đã cho.

4) Chứng minh rằng đường thẳng a nằm trong một mặt phẳng nào đó và

vuông góc với giao tuyến của mặt phẳng đó với mặt phẳng cần chứng minh.

5) Sử dụng các phương pháp: véctơ, toạ độ và biến hình.

Để giúp học sinh nắm vững cách giải dạng toán hai đường thẳng song song trong không gian, giáo viên có thể hướng dẫn học sinh làm một số bài tập minh hoa, chẳng hạn như:

Bài toán. Cho ABC đều cạnh a có M là một điểm lưu động trên đường

thẳng d vuông góc với (ABC) tại A. Gọi H và H’ lần lượt là trực tâm tam giác

MBC và ABC.

b) Gọi HH’ cắt d tại N. Chứng minh tứ diện MNBC có các cạnh đối

diện vuông góc với nhau từng đôi một.

Lời giải.

a) Gọi I là trung điểm của BC (Hình 2.17). Do

ABC và MBC là các tam giác cân có chung cạnh

đáy BC nên M, H, I thẳng hàng và A, H’, I thẳng

hàng. Ta có BC  MA, BC  IA nên BC  (MAI), suy ra BC  HH’ (1). Ta có MC  BH, MC  BH’ nên MC  (BH’H) hay MC  (MBC) (2).

Từ (1) và (2) ta có H’H  (MBC).

b) Ta có MN  BC (hiển nhiên); MC  NB (MC  (BH’H)). Tương tự ta chứng minh được: MB  (CH’H), MB  NC.

Ví dụ 2.13. Để giúp học sinh nắm được cách dựng thiết diện qua ba

điểm (mặt cắt qua ba điểm cho trước không thẳng hàng), giáo viên có thể giúp học sinh nắm vững một số cách thường dùng để dựng thiết diện trong trường hợp này như sau:

a) Phương pháp kéo dài.

+ Nếu mặt phẳng () và khối đa diện (T) có hai điểm chung nằm trên cùng một mặt đa diện, ta kẻ đường thẳng d1 đi qua hai điểm chung đó (d1

được gọi là giao tuyến gốc).

+ Tìm giao điểm của d1 với các cạnh của mặt đa diện chứa d1 (hoặc phần kéo dài của nó).

+ Từ các giao điểm mới tìm được kết hợp với điểm chung khác ta tìm được giao tuyến thứ hai, thứ ba...

+ Tiếp tục quá trình này ta được thiết diện cần tìm.

Hình 2.17 Q B A N M H H’ d

Chú ý: Nếu giao tuyến gốc chưa có, ta đi tìm bằng cách: tìm giao điểm của đường thẳng nối hai trong ba điểm đó với mặt đa diện chứa điểm còn lại. Từ đó đưa về bài toán trong trường hợp đã biết giao tuyến gốc.

Nếu hình đa diện đã cho là hình chóp, ta thường tìm các giao điểm của các đường thẳng nối hai trong ba điểm đó với mặt đáy.

Bài toán. Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’. Gọi M, N, P lần lượt

là trung điểm của các đoạn thẳng AA’, B’C’, CD. Xác định thiết diện của hình lập phương cắt bởi mặt phẳng (MNP)? thiết diện là hình gì?

Hình 2.18

Thật vậy, trong mặt phẳng (DCC’D’) kẻ PP’ // DD’ (P’  D’C’).

Trong mặt phẳng (MPP’A’) kẻ MP  A’P’ = E. Khi đó, ta có E = MP  (A’B’C’D’).

Trong mặt phẳng (A’B’C’D’), kẻ EN  A’B’ = Q, EN  C’D’ = F. Trong mặt phẳng (DCC’D’), kẻ FP  DD’ = G, FP  CC’ = K. Trong mặt phẳng (ADD’A’), kẻ MG  AD = S.

Thiết diện cần tìm là lục giác đều MQNKPS cạnh 2 2

a

(Hình 2.18). b) Phương pháp sử dụng tích chất song song.

- Tìm một điểm chung A của mặt phẳng () và mặt đa diện (hoặc mặt phẳng chứa mặt đa diện đó).

- Tìm đường thẳng ’ và biết giao tuyến  song song với ’. - Giao tuyến  qua  và song song với ’.

Bài toán. Cho hình lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có các cạnh bên là AA’, BB’, CC’. Xác định thiết diện của lăng trụ đã cho và mặt phẳng (H, d)

với H là trung điểm A’B’ và d là giao tuyến của mặt phẳng (AB’C’) và mặt

phẳng (A’BC).

Thật vậy, ta có (AB’C’)  (A’BC) = MN

(trong đó M = AB’  A’B, N = AC’  A’C). Vậy (H, d) = (H, MN).

Trong mặt phẳng (ABB’A’), kẻ HM  AB =

Q. Suy ra (ABB’A’)  (HMN) = HQ.

Do MN // B’C’ nên B’C’ // (HMN). Do đó, ta có (HMN)  (A’B’C’) = HK với (HK // B’C’).

Do (ABC) // (A’B’C’) nên (HMN)  (ABC) =

PQ (PQ // HK, PQ // BC).

Ta có (ACC’A’)  (HMN) = PK.

Do đó, thiết diện cần tìm là hình bình hành PQHK (Hình 2.19).

2.2.4. Biện pháp 4. Rèn luyện cho học sinh kĩ năng tìm lời giải theo quy trình 4 bước của G.Polya

Trong chương trình môn toán ở trường phổ thông, nhiều bài tập toán chưa có hoặc không có thuật giải và cũng không có một thuật giải tổng quát nào để giải tất cả các bài toán. Chúng ta chỉ có thể thông qua việc dạy học giải một số bài toán cụ thể mà dần truyền thụ cho học sinh cách thức, kinh nghiệm trong việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải cho mỗi bài toán. Dạy học giải bài tập

toán không có nghĩa là giáo viên cung cấp cho học sinh lời giải bài toán. Biết lời giải bài toán không quan trọng bằng làm thế nào để giải được bài toán, vì vậy cần trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý các suy nghĩ tìm tòi, phát hiện cách giải bài toán là cần thiết. Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của G.Polya về cách thức giải toán, phương pháp tìm tòi lời giải cho một bài toán thường được tiến hành theo bốn bước sau [7]:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán. Để tìm hiểu nội dung của bài toán, cần chú ý các yếu tố cơ bản như:

+ Phân biệt cái đã cho, cái phải tìm và cái phải chứng minh. + Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ… để diễn tả đề bài.

+ Phân biệt các thành phần khác nhau của điều kiện. Có thể diễn tả các điều kiện đó thành công thức không?...

- Bước 2: Xây dựng chương trình giải. Yếu tố quan trọng khi giải được bài toán chính là việc xây dựng chương trình giải cho bài toán đó. Vì vậy khi thực hiện, chúng ta cần chú ý:

+ Phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơn giản quen thuộc. + Lựa chọn những kiến thức đã học (Định nghĩa, định lí, quy tắc...) gần gũi hơn cả với dữ kiện của bài toán rồi mò mẫm dự đoán kết quả.

+ Sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng minh (phản chứng, qui nạp toán học...), toán dựng hình, toán quỹ tích...

- Bước 3: Trình bày lời giải. Trình bày lại lời giải sau khi đã điều chỉnh những chỗ cần thiết.

- Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.

+ Kiểm tra lại kết quả, xem lại các lập luận trong quá trình giải.

+ Nhìn lại toàn bộ các bước giải, rút ra tri thức phương pháp để giải một bài toán nào đó.

+ Khai thác kết quả có thể có của bài toán.

+ Đề xuất bài toán tương tự, bài toán đặc biệt hoặc khái quát hoá bài toán... Giúp học sinh có được kỹ năng tìm lời giải, đây là kỹ năng quan trọng bởi nếu giáo viên chỉ chú trọng đến việc cho học sinh luyện tập giải bài tập thì việc luyện tập đó bao nhiêu cũng không đủ, khi gặp tình huống là bài toán mới học sinh vẫn có thể lúng túng, không giải được hoặc giải sai. Vì vậy biện pháp này giúp cho học sinh có được cả tri thức phương pháp về việc tìm tòi lời giải vừa có được các kỹ năng chung của việc tìm tòi lời giải và tránh được một số sai lầm trong quá trình giải toán.

- Giáo viên phải làm mẫu việc thực hiện các bước trong quá trình dạy học giải bài tập Hình học không gian cho học sinh.

- Giáo viên hướng dẫn học sinh thực hiện tuần tự các bước khi dạy học giải bài tập Hình học không gian. Giáo viên cần xây dựng hệ thống câu hỏi dẫn dắt giúp học sinh lựa chọn những kiến thức phù hợp với bài toán trong hệ thống các kiến thức đã được trang bị.

- Yêu cầu học sinh luyện tập giải các bài tập theo các bước trên.

Ví dụ 2.14. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật và AB = 2a, BC = a. Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a 2.

a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy (ABCD).

b) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD; K là điểm bất kì thuộc đường thẳng AD. Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng EF và SK không phụ thuộc vào K, hãy tính khoảng cách đó theo a.

a) Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

Giáo viên: Yêu cầu học sinh vẽ hình, xác định giả thiết, kết luận của bài toán.

Giáo viên: Trong bài này để xác

định khoảng cách từ điểm S đến một mặt

phẳng (ABCD) trước hết cần phải xác định hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABCD). Với giả thiết các cạnh bên của hình chóp bằng nhau ta có điều gì?

Học sinh: Gọi O = AC  BD. Ta có

SO  (ABCD).

Giáo viên: Vậy khoảng cách cần tìm là gì?

Học sinh: Là SO.

Giáo viên: Có thể tính SO như thế nào?

Học sinh: SO2 = SB2 - BO2

Do ABCD là hình chữ nhật nên ta có BD2 = BC2 + CD2 = 5a2.

Do BO = 2

BD

nên ta dễ dàng tính được SO.

Bước 3: Thực hiện chương trình giải bài toán

Gọi O = AC  BD. Suy ra, ta có SO  (ABCD). Do đó, ta có SO2 = SB2 - BO2. Do ABCD là hình chữ nhật nên ta có BD2 = BC2 + CD2 = 5a2. Do đó, ta có BD = a 5 . Do BO = 2 BD = 5 2 a , SB = a 2 nên ta có SO2 = 2a2 - 2 2 5 3 4 4 a  a . Suy ra, ta có SO = 3 2 a .

b) Giáo viên: Yêu cầu của phần này là gì?

Học sinh: Chứng minh khoảng cách giữa hai đường thẳng SK và EF

không phụ thuộc vào K.

Giáo viên: Có nhận xét gì về hai đường thẳng SK và EF?

Học sinh: SK và EF là hai đường thẳng chéo nhau.

Giáo viên: Khoảng cách đó được xác định như thế nào?

Học sinh: Áp dụng quy trình xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta có: SK  (SAD), EF // AD, AD  (SAD).

Suy ra d(EF, SK) = d(EF, (SAD))

Rõ ràng khoảng cách này không phụ thuộc vào K.

Giáo viên: Hãy d(EF, (SAD)) được xác định như thế nào ?

Học sinh: Gọi O là trung điểm của EF, O = AC  BD và I là trung

điểm của AD. Vậy d(EF, (SAD)) = d(O, (SAD)) = d(O, SI) = OH (H là hình chiếu vuông góc của O trên (SAD)).

Do OH  (SAD) nên OH  SI hay OH là đường cao trong tam giác

vuông SOI. Do đó, ta có 1 2 12 12 OH OI  SO Mặt khác, ta có OI = AE = a; SO = 3 2 a . Do đó, ta có 1 2 12 32 72 4 4 OH  a  a  a . Vậy, ta có OH = 21 7 a .

Ví dụ 2.15. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của

AC và BC; K là một điểm trên đoạn BD và BK khác KD. Tìm giao điểm AD

với mặt phẳng (MNK).

Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán.

Giáo viên: Yêu cầu học sinh vẽ hình, xác định giả thiết, kết luận.

Học sinh: Vẽ hình, xác định giả thiết, kết luận.

Giáo viên: Hãy xét kĩ cái chưa biết và nghĩ đến các kiến thức liên quan đến cái chưa biết này?

Học sinh: Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng nếu có là một điểm. Vậy để tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng ta phải tìm một điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng đó.

Giáo viên: Một điểm thường được xác định như thế nào?

Học sinh: Giao điểm của hai đường thẳng.

Giáo viên: Em hãy tìm một đường thẳng thuộc mặt phẳng (MNK) mà cắt AD; Đường thẳng cắt AD thì phải có tính chất gì?

Học sinh: Đồng phẳng với AD.

Giáo viên: AD thuộc những mặt

phẳng nào có sẵn?

Học sinh: AD thuộc mặt phẳng

(ADB) hoặc mặt phẳng (ADC).

Giáo viên: Xét mặt phẳng (ADC), hãy tìm trong mặt phẳng này đường thẳng nào thuộc mặt phẳng (MNK) và nhận xét về đường thẳng cần tìm?

Học sinh: Chính là giao tuyến của mặt phẳng (MNK) với mặt phẳng (ACD).

Bài toán trở về tìm giao tuyến của hai mặt phẳng mà học sinh đã quen thuộc.

Bước 3: Trình bày lời giải bài toán. Do KB ≠ KD nên K không phải là

trung điểm của BD, mà N là trung điểm của BC nên KN không song song với

CD. Do đó, ta có KN cắt CD tại một điểm, gọi là điểm P.