3 L´ y thuyˆ e´t d ¯i.nh t´ınh
3.1.1.Kh´ ai niˆ e.m ˆo’n d¯i.nh theo ngh˜ıa Lyapunov
Tru.´o.c hˆe´t ta d¯i.nh ngh˜ıa t´ınh ˆo’n d¯i.nh cu’a mˆo.t nghiˆe.mx(t) x´ac d¯i.nh trˆen [t0,+∞) cu’a phu.o.ng tr`ınh
˙
x(t) =f(t, x). (3.1) N´oi chung c´ac hˆe. d¯u.o..c x´et sau n`ay chı’ d¯u.o..c gia’ thiˆe´t liˆen tu.c v`a c´o d¯a.o h`am n´oi chung khˆong gi´o.i nˆo.i. V`ı vˆa.y, su.. tˆo`n ta.i nghiˆe.m trˆen to`an cu.c l`a vˆa´n d¯ˆe` pha’i xem x´et d¯ˆo´i v´o.i t`u.ng b`ai to´an cu. thˆe’.
D- i.nh ngh˜ıa 3.1 Nghiˆe.m x(t) d¯u.o.. c go. i l`a ˆo’n d¯i.nh trˆen khoa’ng
[t0,∞) nˆe´u
1. V´o.i mˆo˜i ε > 0 tˆ`n ta.io δ = δ(ε) > 0 sao cho bˆa´t k`y nghiˆe.m
¯
x(t) cu’a (3.1) tho’a m˜an bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c x¯(t0)−x(t0) < δ
tˆ`n ta.i trˆeno [t0,∞) v`a thˆo’a m˜anx¯(t)−x(t)< ε, ∀t > t0. 2. Nˆe´u ngo`ai ra nghiˆe.mx¯(t) tho’a m˜anlimt→∞x¯(t)−x(t)= 0
th`ı ta n´oi x¯(t) ˆo’n d¯i.nh tiˆe.m cˆa.n.
V´ı du. 3.1 1. X´et phu.o.ng tr`ınh x˙ = 0. Nghiˆe.m x(t)≡0 l`a ˆo’n d¯i.nh nhu.ng khˆong ˆo’n d¯i.nh tiˆe.m cˆa.n.
2. Nghiˆe.mx(t)≡0cu’a phu.o.ng tr`ınhx˙ =−xˆo’n d¯i.nh tiˆe.m cˆa.n. Thˆa. t vˆa. y, mˆo. t nghiˆe.m bˆa´t k`y kh´ac d¯ˆe` u c´o da. ngx¯(t) = ¯x(0)e−t. Do d¯´o dˆe˜ d`ang chı’ ra d¯u.o.. c su. ˆ.o’n d¯i.nh cu’a nghiˆe.m 0.
3. Nghiˆe.m x(t) ≡ 0 cu’a phu.o.ng tr`ınh x˙ = x2 khˆong ˆo’n d¯i.nh. D- iˆe` u n`ay suy ra t`u. nhˆa. n x´et sau: v´o.i mo. i c > 0, x(t) =
c/(1−ct) l`a nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh trˆen v´o.i d¯iˆe` u kiˆe.n ban d¯ˆ` ua x(0) = c. Tuy nhiˆen nghiˆe.m trˆen khˆong thˆe’ th´ac triˆe’n qua t= 1/c d¯u.o.. c v`ı n´o tiˆe´n ra vˆo ha. n ta. i d¯ˆay.
Tru.`o.ng ho.. p phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh ta c´o d¯˘a.c tru.ng sau d¯ˆay. X´et phu.o.ng tr`ınh
˙
x=A(t)x, (3.2)
trong d¯´oA(t) l`a h`am gi´a tri. ma trˆa.n liˆen tu.c theot ∈[t0,∞). Theo d¯iˆ` u kiˆe.n tˆoe `n ta.i duy nhˆa´t nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh, mo.i nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh n`ay luˆon th´ac triˆe’n d¯u.o..c mˆo.t c´ach duy nhˆa´t lˆen to`an [t0,∞).
D- i.nh l´y 3.1 V´o.i c´ac gia’ thiˆe´t v`a k´y hiˆe.u o’ trˆ. en c´ac kh˘a’ng d¯i.nh sau d¯ˆay d¯´ung:
1. Nghiˆe.m bˆa´t k`y x(t)cu’a (3.2) ˆo’n d¯i.nh (ˆo’n d¯i.nh tiˆe.m cˆa.n) khi v`a chı’ khi nghiˆe.m x(t)≡0 ˆo’n d¯i.nh (ˆo’n d¯i.nh tiˆe.m cˆa.n); 2. Nghiˆe.mx(t)≡0cu’a (3.2) ˆo’n d¯i.nh khi v`a chı’ khi ma trˆa.n co.
ba’n X(t) bˆa´t k`y d¯ˆ` u gi´e o.i nˆo. i trˆen [t0,∞);
3. Nghiˆe.m x(t) ≡ 0 cu’a (3.2) ˆo’n d¯i.nh tiˆe.m cˆa.n khi v`a chı’ khi d¯ˆo´i v´o.i ma trˆa. n co. ba’n bˆa´t k`y X(t) th`ı
lim
t→∞X(t) = 0. (3.3)
Ch´u.ng minh. (i). R˜o r`ang nˆe´u ¯x(t), x(t) l`a hai nghiˆe.m cu’a (3.2) th`ı ¯x(t)−x(t) = y(t) c˜ung l`a nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh n`ay. Dˆe˜ thˆa´y t`u. d¯ˆay su.. tu.o.ng d¯u.o.ng cu’a c´ac kh´ai niˆe.m ˆo’n d¯i.nh cu’a nghiˆe.m bˆa´t k`y v´o.i nghiˆe.m khˆong.
(ii) Nˆe´u c´o ma trˆa.n nghiˆe.m co. ba’n gi´o.i nˆo.i th`ı suy ra ngay t´ınh ˆ
o’n d¯i.nh. V`ı vˆa.y ta chı’ ch´u.ng minh d¯iˆe` u ngu.o..c la.i. Nˆe´u nghiˆe.m khˆong ˆo’n d¯i.nh th`ı c´o mˆo.t ma trˆa.n nghiˆe.m co. ba’n ˆo’n d¯i.nh. Theo gia’ thiˆe´t tˆ`n ta.io δ >0 sao cho nˆe´ux(t0)< δ th`ıx(t) ≤1, ∀t > t0. Vˆa.y th`ı v´o.i ma trˆa.n nghiˆe.m co. ba’n X(t) sao cho X(0) =I ta c´o
X(t) = sup x≤1X(t)x = 1 δ supx≤δX(t)x ≤ 1 δ.
T`u. d¯i.nh ngh˜ıa cu’a ma trˆa.n co. ba’n suy ra ma trˆa.n co. ba’n bˆa´t k`y c˜ung gi´o.i nˆo.i.
(iii) Nˆe´u (3.3) d¯´ung th`ı dˆ˜ suy ra ngay t´ınh ˆo’n d¯i.nh tiˆe.m cˆa.n.e Ta chı’ ch´u.ng minh d¯iˆ` u ngu.o..c la.i. Gia’ su.’ ma trˆa.n co. ba’ne X(t)
lˆa.p bo’ i. nnghiˆem d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınhx1(t),· · ·, xn(t). Khi d¯´o khˆong mˆa´t tˆo’ng qu´at coi xk(t0) d¯u’ nho’ d¯ˆe’ v´o.i mo.i ε > 0 cho tru.´o.c tˆ`no ta.i T > 0 sao cho∀t > T, k= 1,· · ·, n, xk(t)< ε. T`u. d¯ˆay suy ra limt→∞X(t) = 0. Mo.i ma trˆa.n co. ba’n kh´ac c´o thˆe’ nhˆa.n d¯u.o..c t`u. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
X(t) b˘a`ng mˆo.t ph´ep nhˆan v´o.i mˆo.t ma trˆa.n h˘a`ng khˆong suy biˆe´n, nˆen c˜ung c´o t´ınh tu.o.ng tu.. .
Nhˆa.n x´et 3.1 D- ˆo´i v´o.i hˆe. tuyˆe´n t´ınh nhu. ta d¯˜a thˆa´y su.. ˆo’n d¯i.nh cu’a nghiˆe.m bˆa´t k`y tu.o.ng d¯u.o.ng su.. ˆo’n d¯i.nh cu’a nghiˆe.m khˆong. Do d¯´o d¯ˆo´i v´o.i hˆe. tuyˆe´n t´ınh d¯ˆoi khi ngu.`o.i ta n´oi d¯ˆe´n su.. ˆo’n d¯i.nh chung m`a khˆong n´oi d¯ˆe´n nghiˆe.m cu. thˆe’ n`ao.