D a ta.p không ô’n d¯i.nh và su mâ´t ô’n d¯i.- 123docz.net

3 L´ y thuyˆ e´t d ¯i.nh t´ınh

3.2.3. D a ta.p không ô’n d¯i.nh và su mâ´t ô’n d¯i.nh

D- a ta.p bâ´t biêń có râ´t nhiêù ú.ng du.ng trong viê.c nghiên cú. các hê. phi tuyêń. Du.ó.i d¯ây chúng ta s˜e làm quen vó.i mô.t ú.ng du.ng d¯o.n gia’n cu’a d¯a ta.p không ô’n d¯i.nh.

D- i.nh lý 3.8 Vó.i các gia’ thiê´t nhu. mu. c tru.ó.c d¯ôí vó.i phu.o.ng tr`ınh (3.21). Ho.n n˜u.a gia’ su.’ KerP = {0} và ε khá bé. Khi d¯ó d¯iê’m cân b˘a`ng 0 là không ô’n d¯i.nh theo Lyapunov.

Chú.ng minh. Rõ ràng Wu tˆ`n ta.i và khác trôńg. Khio ε > 0 d¯u’ bé th`ı Wu d¯u.o.. c biê’u diˆñ nhu. là d¯ôe ` thi. cu’a mô.t hàm h :

KerP → I mP liên tu.c Lipschitz vó.i hê. sô´ Lipschitz δ d¯u’ nho’. Gia’ su.’ Wu x0 = (φ, h(φ) và x(t) là nghiê.m cu’a (3.21) sao cho

x(0) = x0. Do t´ınh bâ´t biêń cu’a Wu, ta có x(t) = (I −P)x(t) +

h((I −P)x(t)), ∀t∈R.

D- ˘a.t y(t) = (I−P)x(t) ta c´o phu.o.ng tr`ınh theoy nhu. sau: ˙

y(t) = Ay+ (I−P)r(y+h(y)). (3.32) Vó.iε >0 d¯u’ bé th`ı hê. sô´ Lipschitz cu’a hàm (I−P)r(y+h(y)) d¯u’ bé theo y. Vâ.y theo tiêu chuâ’n d¯ã biê´t nghiê.my s˜e tiêń ra vô ha.n khi t →+∞. Do d¯ó x(t) không thê’ tiêń tó.i 0 khi t→+∞.

3.2.4. Nguyên lý ô’n d¯i.nh thu go.n

Ta xét phu.o.ng tr`ınh (3.21) trong tru.ò.ng ho.. p tô’ng quát khi phˆ` na tuyêń t´ınh không hyperbolic. Khi d¯ó tâ.p các giá tri. riêngσ(A) có thê’ tách thành ho.. p rò.i nhau cu’a hai tâ.p ho. p. σ1 vàσ2 nhu. sau:

σ1 :={λ ∈σ(A) : %λ <0}, σ2 :={λ ∈σ(A) :%λ≥0}.

Go.iQlà phép chiêúRn →Rngiao hoán vó.iAsao choσ(A|ImQ) =

σ1, σ(A|KerQ =σ2.V`ı d¯ây là các tâ.p ho. p h˜. u.u ha.n nên max{%λ, λ∈

D- i.nh lý 3.9 (D- a ta.p tâm-không ô’n d¯i.nh). Vó.i các ký hiê.u và gia’ thiê´t trên, nêú ε d¯u’ bé , vó.i mo. i φ ∈ KerQ tˆ`n ta.i duy nhâ´to

wφ∈BCη(R−,Rn) sao cho

G(wφ, φ) =wφ. (3.33)

Ho.n n˜u.a wφ liˆen tu. c Lipschitz theo φ.

Phu.o.ng pháp chú.ng minh nhu. phu.o.ng pháp chú.ng minh D- i.nh lý 3.6.

D- i.nh ngh˜ıa 3.8 Tâ. p ho. p. Wcu := {wφ(0), φ ∈ KerQ} d¯u.o.. c go. i là d¯a ta. p tâm-không ô’n d¯i.nh cu’a phu.o.ng tr`ınh (3.21).

D- iê` u khác nhau duy nhâ´t là ta thu d¯u.o.. c d¯a ta.pWcugˆ`m có ac d¯iê’m ban d¯ˆ` u cu’a tâ a´t ca’ nghiê.m x(t) sao cho sup

t∈Re

−ηtx(t). Nhu. vâ.y, mô.t nghiê.m xuâ´t phát trênWcu khi t→ −∞có thê’ ra vô cùng và c˜ung có thê’ gió.i nô.i. Nguyên lý thu go.n ô’n d¯i.nh phát biê’u r˘a`ng t´ınh ô’n d¯i.nh cu’a phu.o.ng tr`ınh d¯u.o..c quyê´t d¯i.nh bo.’i t´ınh ô’n d¯i.nh cu’a các nghiê.m trên d¯a ta.p Wcu. Cu. thê’ ta có d¯i.nh lý sau:

D- i.nh lý 3.10 Vó.i các gia’ thiê´t nhu. trong D- i.nh lý 3.9, d¯iê’m 0 là d¯iê’m cân b˘a`ng ô’n d¯i.nh tiê.m câ.n cu’a hê. (3.21) khi và chı’ khi d¯iê’m

0 là d¯iê’m cân b˘a`ng ô’n d¯i.nh tiê.m câ.n cu’a hê.

y=Ay+ (I−Q)r(y+g(y)), y∈KerQ, (3.34)

trong d¯ó Wcu =gr(g), g : KerQ→ I mQ là ánh xa. liên tu. c Lips- chitz.

Chú.ng minh. Thu.. c ra chı’ cˆ` n chá u.ng minh d¯iˆ` u kiê.n d¯u’. Tiê´pe theo ta s˜e chı’ chú.ng minh limt→+∞x(t) = 0. Do t´ınh bâ´t biêń cu’a

Wcu, nêú d¯˘a.tz =Qx, y= (I−Q)xvà d¯a ta.p ô’n d¯i.nh Ws=gr(h), trong d¯ó h : I mQ → KerQ có hê. sô´ Lipschitz d¯u’ nho’ ta có thê’ chú.ng minh r˘a`ng lim t→+∞x(t)= 0 ⇐⇒    lim t→+∞[Qx(t) +h(Qx(t))] = 0 lim t→+∞[(I−Q)x(t) +g((I−Q)x(t))] = 0. D- ˘a.t y(t) = (I−Q)x(t) vàz(t) =Qx(t). Rõ ràng ˙z =Az+Qr(z+

h(z)) vày tho’a mãn phu.o.ng tr`ınh (3.34). Do hê. sô´ Lipschitz cu’ar

d¯u’ nho’ vàσ(A|ImQ) =σ1 nênz(t) ô’n d¯i.nh m˜u. Tù. d¯ó suy ra t´ınh ˆ

PHU. LU. C

Bˆa´t d¯˘a’ ng th´u.c Gronwall

D- i.nh lý 4.1 Cho hàm sô´ liên tu. c không âm u : [a, b] → R tho’a mãn

u(t)≤C+ t

Ku(ξ)dξ, ∀t∈[a, b],

trong d¯´o C, K ≥0. Ch´u.ng minh r˘a`ng

u(t)≤CeK(t−a), ∀t∈[a, b], (bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c Gronwall)

Ch´u.ng minh. Gia’ su.’ C > 0. D- ˘a.t

V(t) :=C+ t a Ku(ξ)dξ, t∈[a, b]. Khi d¯´o ta ta c´o u(t)≤V(t), 0< C ≤V(t) ∀t∈[a, b].

Tiˆe´p theo ta c´o

V(t) =Ku(t)≤KV(t) ∀t∈[a, b].

Do d¯´o, v`ıV(t)>0, V(t)/V(t)≤K v`a V(a) = 0,

V(t)≤CeatKdξ =CeK(t−a), ∀t∈[a, b].

Su.’ du.ng u(t)≤V(t) ta thu d¯u.o.. c bâ´t d¯˘a’ng thú.c Gronwall. Nêú C = 0 th`ı du.. a vào chú.ng minh trên ta có thê’ chı’ ra

0≤u(t)≤CeK(t−a), ∀t∈[a, b],

trong d¯ó C >0 bâ´t k`y. ChoC dˆ` n d¯êń 0 ta suy ra d¯u.o..ca u(t)≡0 vó.i mo.i t∈[a, b].

D- i.nh lý Banach vê` d¯iê’m bâ´t d¯ô.ng

Không gian mê-tric d¯ˆ` y d¯u’ và a ánh xa. co.

D- i.nh ngh˜ıa 4.1 Mô. t c˘a. p (X, d) gˆ`m mô o. t tâ. p ho. p. X và mô. t ánh xa. d:X×X →[0,+∞) tho’a mãn các d¯iˆ` u kiê.n sau:e

1. d(x, y) = 0 nêú và chı’ nêú x=y, 2. d(x, y) =d(y, x), ∀x, y∈X,

3. d(x, z)≤d(x, y) +d(y, z), ∀x, y, z∈X, d¯u.o.. c go. i là mô. t không gian mê tric.

Các c˘a.p sau d¯ây là các không gian mê tric thu.ò.ng g˘a.p 1. (Rn, d1) vó.i d1(x, y) := n

k=1(xk−yk)2, trong d¯´o x = (x1, . . . , xn), y= (y1, . . . , yn);

2. (C([a, b],Rn), d2), v´o.i d2(f, g) := supt∈[a,b]f(t)−g(t);

D- i.nh ngh˜ıa 4.2 Không gian mê tric (X, d) d¯u.o.. c go. i là d¯ˆ` y d¯u’a nêú mô. t dãy Cauchy {xn} ⊂X luôn chú.a mô. t dãy con hô. i tu. tó.i mô. t phˆ` n tu.a ’ x¯∈X.

Các không gian mê tric nêu trên d¯ˆ` u lè a các không gian mê tric d¯ˆ` ya d¯u’ vó.i các chuâ’n tu.o.ng ú.ng.

D- i.nh ngh˜ıa 4.3 Anh xa´ . T :X →X, trong d¯ó(X, d) là mô. t không gian mê tric cho tru.ó.c, d¯u.o.. c go. i là ánh xa. co, nêú tˆ`n ta.i h˘a`ng sôó

q∈(0,1) sao d(T x, T y)≤d(x, y), ∀x, y∈X.

D- i.nh lý 4.2 (D- i.nh lý Banach vê` D- ıê’m bâ´t d¯ô.ng cu’a Ánh xa. co)

Mô˜i ánh xa. co T trong mô. t không gian mê tric d¯ˆ` y d¯u’a (X, d) có d¯úng mô. t d¯iê’m bâ´t d¯ô. ng, tú.c là tˆ`n ta.i duy nhâ´to x0 ∈ X sao cho

T x0=x0.

D- i.nh l´y Arcela-Ascoli

Ho. các hàm sô´fα ∈C([a, b],Rn), α∈I d¯u.o.. c go.i là gió.i nô.i d¯ê` u nêú tˆ`n ta.i sô´ 0o < M < +∞ sao cho fα(t) ≤ M, ∀α ∈ I , t∈ [a, b]. Ho. {fα, α ∈ I} d¯u.o.. c go.i là liên tu.c d¯ê` u d¯ˆ`ng bô a.c nêú mo.i ε > 0 d¯ˆ` u tê `n ta.io δ > 0 (chı’ phu. thuô.c vào ε) sao cho nêú |t−t| < δ,

t, t∈[a, b], th`ıfα(t)−fα(t)< ε, ∀α∈I.

D- i.nh lý 4.3 (D- i.nh lý Arcela-Ascoli) D- iê` u kiê.n câ` n và d¯u’ d¯ê’ ho. các hàm {fα, α ∈I} là compact tu.o.ng d¯ôí trong (C([a, b],Rn), d2)

B`ai to´an Routh-Hurwitz

Nhu. d¯ã biê´t mô.t phu.o.ng tr`ınh vi phân tuyêń t´ınh bâ.c n

a0x(n)+a1x(n−1) +· · ·+anx= 0, (4.1)

ho˘a.c mô.t hê. tuyêń t´ınh

x=Ax, (4.2)

o’n d¯i.nh tiê.m câ.n khi và chı’ khi tâ´t ca’ các nghiê.m cu’a d¯a thú.c d¯˘a.c tru.ng

f(z) =a0zn+a1zn−1+· · ·+an, (4.3)

hay

f(z) = det(A−zI), (4.4) có các phˆ` n thu.a . c âm. Nhu. vâ.y d¯˘a.t ra mô.t bài toán là xác d¯i.nh xem có bao nhiêu không d¯iê’m cu’a mô.t d¯a thú.c cho tru.ó.c có các phˆ` n thu.a . c âm.

Du.ó.i d¯ây chúng ta s˜e xét mô.t phu.o.ng pháp do Routh và Hurwitz phát triê’n.

Chı’ sô´ cu’a mô.t hàm h˜u.u ty’

Gia’ su.’ R(x) là hàm thu.. c h˜u.u ty’. Chı’ sô´ cu’a hàm R(x) trên mô.t khoa’ng mo.’ (a, b), d¯u.o.. c ký hiê.u b˘a`ng IabR(x), là hiê.u cu’a sô´ lâ` n

R(x) nha’y tù.−∞lên +∞vó.i sô´ lˆ` n ná o nha’y tù. +∞d¯êń −∞khi

x t˘ang tù.a d¯êń b.

Ch˘a’ng ha.n, nêú P(x) là mô.t d¯a thú.c thu..c và P(x) là d¯a.o hàm cu’a nó, khi d¯ó Ib

a[P(x)/P(x)] b˘a`ng sô´ các không d¯iê’m phân biê.t cu’a d¯a thú.c P(x) gi˜u.a a vàb bo.’ i v`ı ta.i mô.t không d¯iê’m thu..c bâ´t k`y cu’aP(x), thu.o.ng P(x)/P(x) nha’y tù.−∞ lên +∞.

Rõ ràng nêú a < c < b th`ı IabR(x) =IacR(x) +IcbR(x) +µc, (4.5) trong d¯ó µc =    1, nêú R(x) nha’y tù. − ∞lên +∞ −1, nêú R(x) nha’y tù. +∞ xuôńg − ∞

0, trong các tru.ò.ng ho.. p còn la.i.

Nêú hàm h˜u.u ty’ S(x) không có không d¯iê’m và c˜ung ch˘a’ng có cu.. c d¯iê’m trong khoa’ng (a, b), th`ı

IabR(x)S(x) =sgna<x<bS(x).IabR(x). (4.6) Ngo`ai ra ta c´o

IabR(x) +Iab[1/R(x)] = 1

2[sgnR(b−0)−sgnR(a+ 0)]. (4.7) Chı’ sô´ cu’a mô.t hàm h˜u.u ty’ trên mô.t khoa’ng bâ´t k`y có thê’ d¯u.o..c t´ınh toán b˘a`ng mô.t sô´ h˜u.u ha.n các phép toán h˜u.u ty’ nhò. D- i.nh lý Sturm. Mô.t dãy P0,· · ·, Ps các d¯a thú.c thu.. c d¯u.o..c go.i là mô.t dãy

Sturmtrên d¯oa.n d¯óng [a, b] nêú

1. Pi(ξ) = 0 kéo theo Pi−1(ξ)Pi+1(ξ) ≤ 0 và Pi−1(ξ)Pi(ξ) = 0 kéo theoPi+1(ξ) = 0 vó.ia ≤ξ≤b,

2. Ps khác không trên [a, b].

D- i.nh lý 4.4 (D- i.nh lý Sturm) IfP0,· · ·, Ps là mô. t dãy Sturm trên

[a, b] và nêú ca’ a lâñ b ¯ˆd` u khê ong pha’i là các không d¯iê’m cu’a P0, th`ı

Iab[P1(x)/P0(x)] =v(a)−v(b), (4.8)

trong d¯ó v(x) là sô´ lˆ` n d¯â o’i dâú trong dãy P0(x),· · ·, Ps sau khi bo’ d¯i tâ´t ca’ các sô´ ha. ng suy biêń trong dãy.

Nêú ta ký hiê.u V[λ0, λ1,· · ·, λs] là sô´ lˆ` n d¯â o’i dâú trong dãy

λ0,· · ·, λs, ta d¯u.o.. c

D- i.nh lý 4.5 Gia’ su.’ P0(x), P1(x)là các d¯a thú.c thu.. c vó.i∂(P1)≤

∂(P0) (∂(P) ký hiê.u bâ.c cu’a d¯a thú.c P) và gia’ su.’

Pk(x) =Rkxnk+· · ·(Rk = 0;k = 0,1,· · ·, s)

là các d¯a thú.c nhâ. n d¯u.o.. c b˘a`ng cách áp du.ng thuâ.t toán Euclid d¯ôí vó.i u.ó.c chung ló.n nhâ´t cu’a P0 và P1, vó.i phˆ` n du. â am. Khi d¯ó

I−∞+∞[P1(x)/P0(x)] =V[(−1)n0R0,· · ·,(−1)nsRs]−V[R0,· · ·, Rs].

Các tiêu chuâ’n ô’n d¯i.nh d¯ôí vó.i d¯a thú.c phú.c

Gia’ su.’

f(z) =a0zn+· · ·+an (a0 = 0) (4.9)

là mô.t d¯a thú.c vó.i các hê. sô´ phú.c. Ta s˜e xác d¯i.nh xem có bao nhiêu không d¯iê’m cu’a f(z) n˘a`m trong m˘a.t ph˘a’ng %z <0.

Gia’ su.’ r˘a`ng f(z) không có các nghiê.m thuâ` n a’o và

f(z) =a0(z−ζ1)(z−ζ2)· · ·(z−ζn) (4.10) là phân t´ıch thành nhân tu.’ tuyêń t´ınh cu’af(z). Khiz chuyê’n d¯ô.ng do.c tru.c a’o tù.−i∞d¯êńi∞,arg(z−ζk) t˘ang ho˘a.c gia’m mô.t lu.o..ng b˘a`ng π tùy thuô.c vào ζk n˘a`m trong m˘a.t ph˘a’ng trái hay pha’i. Do d¯ó d¯ô. t˘ang thu. c su. . ∆ cu’a. argf(z) d¯u.o.. c cho bo’ i.

∆ = (p−q)π,

trong d¯ópvàq ký hiê.u sô´ không d¯iê’m cu’a f(z) trong các nu’a m˘a.t ph˘a’ng trái và pha’i tu.o.ng ú.ng, nghiê.m bô.i d¯u.o..c t´ınh theo bô.i cu’a chúng. V`ın = p+q ta có q = (n−∆/π)/2. Do d¯ó kê´t qua’ sau d¯úng

D- i.nh lý 4.6 (Nguyên lý argument) Gia’ su.’ f(z) là mô. t d¯a thú.c bâ. c n không có nghiê.m thuâ` n a’o, và gia’ su.’ ∆ ký hiê.u d¯ô. gia t˘ang cu’a argf(z) khi z chuyê’n d¯ô. ng do. c theo tru. c a’o tù.−i∞ d¯êńi∞. Khi d¯ó sô´ không d¯iê’m cu’a f(z) trong nu.’ a m˘a. t ph˘a’ng pha’i là (n−

∆/π)/2. D- ˘a.t

inf(−z) =P0(z) +iP1(z),

trong d¯ó P0(z) và P1(z) là các d¯a thú.c thu.. c d¯u.o..c xác d¯i.nh mô.t cách duy nhâ´t. Ít nhâ´t mô.t trong hai d¯a thú.c có bâ.c b˘a`ng n.

D- i.nh lý 4.7 Gia’ su.’ f(z) là mô. t d¯a thú.c hê. sô´ phú.c bâ.c n có hê. sô´ không thuˆ` n a’o và a gia’ su.’ P0(z), P1(z) là các d¯a thú.c thu.. c d¯i.nh ngh˜ıa nhu. trên. Nêú f(z) không có nghiê.m thuâ` n a’o, khi d¯ó sô´ các nghiê.m cu’a nó trong nu’ a m˘. a. t ph˘a’ng pha’i là

2(n−I−∞+∞[P0/P1]).

Các tiêu chuâ’n ô’n d¯i.nh d¯ôí vó.i d¯a thú.c thu..c

X´et d¯a th´u.c thu.. c

f(z) =a0zn+· · ·+an (a0 = 0). (4.11)

Khi d¯´o

P0(z) = a0zn−a2zn−2+· · ·, P1(z) = a1zn−1 −a3zn−3+· · ·.

Các d¯a thú.c Pk(z) luân phiên ch˘añ rôì le’. Các hê. sô´ cu’a các d¯a thú.c Pk(z) d¯u.o.. c xác d¯i.nh bo’ i thuˆ. a.t toán sau:

Ta viê´t ra các hê. sô´ cu’a các l˜uy thù.a le’ và ch˘añ cu’axthành các hàng khác nhau:

a0 a2 a4 · · ·

a1 a3 a5 · · ·.

Lâ.p dòng thú. ba b˘a`ng cách “nhân chéo”:

a2−(a0/a1)a3, a4−(a0/a1)a5, a6−(a0/a1)a7, · · ·.

Lâ.p hàng thú. tu. b˘a`ng cách thu..c hiê.n phép t´ınh tu.o.ng tu.. d¯ôí vó.i hai dòng cuôí và cú. tiê´p tu.c nhu. thê´. Quá tr`ınh này có thê’ tiê´p tu.c chù.ng nào sô´ ha.ng cao nhâ´t trong hàng tru.ó.c khác không. Ba’ng các hê. sô´ lâ.p nhu. trên d¯u.o..c go.i là so. d¯ô` Routh. Mô.t so. d¯ô` Routh d¯ˆ` y d¯u’ gâ `mo n+ 1 hàng. Các phˆ` n tu.a ’

R0 =a0, R1=a1, R2 =a2−(a0/a1)a3· · ·

trong cô.t d¯â` u tiên cu’a so. d¯ˆ` nò ay là các sô´ ha.ng cao nhâ´t cu’a các d¯a thú.c P0(z), P1(z), P2(z),· · ·. Do d¯ó ta có

D- i.nh lý 4.8 Tâ´t ca’ các nghiê.m cu’a f(z) có phˆ` n thu.a . c âm nêú và chı’ nêú so. d¯ˆ` Routh d¯ô ` y d¯u’ tâ `n ta.i và các phâo ` n tu.’ trên cô. t thú. nhâ´t có cùng mô. t dâú.

D- i.nh lý 4.9 Nêú so. d¯ˆ` Routh d¯ô ` y d¯u’ tâ `n ta.i, khi d¯óo f(z) không có nghiê.m thuâ` n a’o và sô´ các nghiê.m n˘a`m trong nu’ a m˘. a. t ph˘a’ng pha’i b˘a`ng sô´ lâ` n d¯ô’i dâú trong dãy các phˆ` n tu.a ’ trên cô. t thú. nhâ´t.

B `AI T ˆA. P

Phu.o.ng tr`ınh có biêń sô´ phân ly

T´ıch phân các phu.o.ng tr`ınh sau d¯ây: 1. y = 1+1√ x. 2. y =√ 1−x2. 3. y =x2ex. 4. y =xcosx. 5. y = 2excosx. 6. y = shx. 7. y = sinxcos 3x. 8. y = x21−1. 9. y = lnx x .

D a ta.p không ô’n d¯i.nh và su mâ´t ô’n d¯i.nh

Kh´ ai niˆ e.m ˆo’n d¯i.nh theo ngh˜ıa Lyapunov

Phu.o.ng ph´ ap th´ u hai Lyapunov