C´o thˆe’ d¯˘a.c tru.ng t´ınh hyperbolic cu’a hˆe. tuyˆe´n t´ınh thuˆa`n nhˆa´t qua su.. tˆ`n ta.i (khˆong duy nhˆa´t) nghiˆe.m gi´o.i nˆo.i trˆen nu.’a tru.co du.o.ng v´o.i mˆo˜i h`am cu.˜o.ng b´ach (forcing term) f cho tru.´o.c trˆen nu.’ a tru.c. Tuy nhiˆen, viˆe.c ch´u.ng minh d¯˘a.c tru.ng n`ay kh´a ph´u.c ta.p so v´o.i ch´u.ng minh d¯i.nh l´y Perron o’ trˆen. Gia’ su.. ’ σ(A)∩iR = .
σ(A|ImP) = {λ∈σ(A) :Reλ < 0}, σ(A|KerP = {λ∈σ(A) :Reλ > 0}.
Ta nh˘a´c la.i r˘a`ngBC(R+,Rn) :={g : [0,+∞)→Rnliˆen tu.c v`a gi´o.i nˆo.i}.
D- i.nh l´y 1.17 V´o.i gia’ thiˆe´t v`a k´y hiˆe.u trˆen, v´o.i mo.if ∈BC(R+,Rn)
c´ac kh˘a’ng d¯i.nh sau d¯ˆay l`a d¯´ung:
1. Phu.o.ng tr`ınh (1.49) c´o ´ıt nhˆa´t mˆo. t nghiˆe.m gi´o.i nˆo.i trˆen nu.’a tru. c, cho bo’ i cˆ. ong th´u.c:
xf(t) = t 0 e(t−ξ)AP f(ξ)dξ− +∞ t e(t−ξ)A(I−P)f(ξ)dξ, ∀t∈R+, (1.54)
2. Mo. i nghiˆe.m y(t), t∈R+, gi´o.i nˆo. i trˆen nu.’ a tru.c R+, d¯ˆ` u c´e o da. ng
y(t) =etAy0+xf(t), y0 ∈I mP, ∀t∈R+. (1.55)
Ch´u.ng minh. (1) Du.. a v`ao d¯´anh gi´a
etAP x ≤N e−αt, ∀t≥0, esA(I−P) ≤N e−αs, ∀s≤0 v´o.i hai sˆo´ du.o.ng N, α n`ao d¯´o x´ac d¯i.nh t`u.A, ta c´o thˆe’ chı’ ra ngay
xf l`a h`am gi´o.i nˆo.i. Thu’ tru.. . c tiˆe´p suy ra ngay xf l`a nghiˆe.m cu’a (1.49).
(2) D`ung nguyˆen l´y chˆ`ng chˆo a´t nghiˆe.m suy ra hiˆe.u y(t)−xf(t) =
z(t) l`a mˆo.t nghiˆe.m gi´o.i nˆo.i cu’a phu.o.ng tr`ınh thuˆa`n nhˆa´t tu.o.ng ´
u.ng. Vˆa.y th`ız(t) pha’i c´o da.ng z(t) = etA(P z(0) + (I −P)z(0)).
Nˆe´u (I−P)z(0)= 0 th`ı nghiˆe.mz(t) khˆong thˆe’ gi´o.i nˆo.i d¯u.o..c. Vˆa.y ta d¯u.o.. c d¯iˆ` u cˆe ` n ch´a u.ng minh.
1.5. B `AI TO ´AN BIˆEN
1.5.1. B`ai to´an biˆen thuˆ` n nhˆa a´t
X´et phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh ˙
x=P(t)x, (1.56)
trong d¯´o P : (a, b)→Cn×n l`a h`am gi´a tri. ma trˆa.n liˆen tu.c. Ta x´et b`ai to´an sau: T`ım nghiˆe.m x(t) cu’a phu.o.ng tr`ınh (1.56) tho’a m˜an d¯iˆ` u kiˆe.n biˆen sau d¯ˆay:e
Ax(α) +Bx(β) = 0, (1.57) trong d¯´oA, B∈Rn×n l`a hai ma trˆa.n, v`aα, β ∈(a, b) l`a hai sˆo´ thu.. c cho tru.´o.c.
Gia’ su.’ Φ(t) l`a ma trˆa.n co. ba’n chuˆa’n h´oa (t´u.c l`a Φ(0) =I, ma trˆa.n d¯o.n vi.) cu’a phu.o.ng tr`ınh (1.56). Ta s˜e t`ım nghiˆe.m trong da.ng sau
x(t) = Φ(t)C, C ∈Cn. (1.58) T`u. d¯iˆ` u kiˆe.n biˆen suy rae
[A+BΦ(β)]C= 0.
Do d¯´o b`ai to´an biˆen (1.56) v`a (1.57) c´o nghiˆe.m khˆong tˆa` m thu.`o.ng khi v`a chı’ khi
∆ := det[A+BΦ(β)] = 0.
Gia’ su.’
Q={(t, s) :α≤t ≤β;α≤s≤β, s=t}.
D- i.nh ngh˜ıa 1.5 Anh xa´ . G : Q → Cn×n d¯u.o.. c go. i l`a h`am Green cu’a b`ai to´an biˆen (1.56) v`a (1.57) nˆe´u n´o tho’a m˜an c´ac d¯iˆ` u kiˆe.ne sau:
1.
dG
dt =P(t)G, ∀t ∈[α, s), t∈(s, β]
2. AG(α, s) +BG(β, s) = 0,
3. G(s+ 0, s)−G(s−0, s) =I , (I l`a to´an tu.’ d¯o.n vi.).
T`u. l´y thuyˆe´t hˆe. phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh ta c´o thˆe’ biˆe’u diˆe˜nG(t, s) du.´o.i da.ng sau:
G(t, s) =
Φ(t)S(s), α ≤t < s,
Φ(t)T(s), s < t≤β.
Theo c´ac d¯iˆ` u kiˆe.n cu’a h`am Green ta c´oe
AS+BΦ(β)T = 0, Φ(S−T) =I .
Do d¯´o
S−T = −Φ−1
S(s) = −[A+BΦ(β)]−1BΦ(β)Φ−1(s), T(s) = {I−[A+BΦ(β)]−1BΦ(β)}Φ−1(s).
Vˆa.y th`ıG(t, s) x´ac d¯i.nh mˆo.t c´ach d¯o.n tri. t`u. cˆong th´u.c G(t, s) = −Φ(t)[A+BΦ(β)]−1BΦ(β)Φ−1(s), α≤t < s, Φ(t){I−[A+BΦ(β)]−1BΦ(β)}Φ−1(s), s < t≤β. (1.59) T`u. (1.59) v`a d¯˘a’ng th´u.c dΦ−1 dt =−Φ−1P ta c´o dG ds =−GP(s), G(t, t−0)−G(t, t+ 0) =I .
1.5.2. Phu.o.ng tr`ınh khˆong thuˆ` n nhˆa a´t
X´et b`ai to´an biˆen khˆong thuˆ` n nhˆa a´t sau: ˙
x = P(t)x+q(t), t∈(a, b) (1.60)
0 = Ax(α) +Bx(β), (1.61)
trong d¯´o q: (a, b)→Cn l`a h`am liˆen tu.c cho tru.´o.c.
D- i.nh l´y 1.18 Nˆe´u ∆ = 0 th`ı b`ai to´an biˆen khˆong thuˆ` n nhˆa a´t (1.60) v`a (1.61) c´o nghiˆe.m duy nhˆa´t x´ac d¯i.nh b˘a`ng cˆong th´u.c
x(t) = β
α
G(t, s)q(s)ds, (1.62)
trong d¯´oG(t, s)l`a h`am Green cu’a phu.o.ng tr`ınh thuˆ` n nhˆa a´t (1.56) v`a (1.57).
Ch´u.ng minh. D- ˆe’ chı’ ra h`am x(t) l`a nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh (1.60) ta biˆe’u diˆe˜n h`am n`ay du.´o.i da.ng
x(t) = t α G(t, s)q(s)ds+ β t G(t, s)q(s)ds, t`u. d¯´o suy ra ˙ x(t) = G(t, t−0)q(t) + t α P(t)G(t, s)q(s)ds−G(t, t−0)q(t) + β t P(t)G(t, s)q(s)ds = P(t)x(t) +q(t).
Tiˆe´p theo ta c´o Ax(α) +Bx(β) = β α AG(α, s)q(s)ds+ β α BG(β, s)q(s)ds = β α [AG(α, s) +BG(β, s)]q(s)ds = 0.
Thˆe´ th`ı ta d¯˜a ch´u.ng minh d¯u.o.. c (1.62) l`a nghiˆe.m cu’a (1.60). Bˆay gi`o. ta ch´u.ng minh t´ınh duy nhˆa´t. Gia’ su.’ ta c´o hai nghiˆe.m
x1(t) v`a x2(t) cu’a phu.o.ng tr`ınh (1.60) v`a (1.61). Khi d¯´o ϕ(t) :=
x1(t)− x2(t) l`a nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh thuˆa`n nhˆa´t (1.56) v`a (1.57). Theo d¯iˆ` u kiˆe.n ∆e = 0 ta c´oϕ(t) = 0, ∀t∈(a, b).
Nhˆa.n x´et 1.4 D- i.nh l´y trˆen cho d¯iˆe` u kiˆe.n d¯u’ tˆo’ng qu´at ho.n d¯iˆe` u kiˆe.n d¯u’ cho su. tˆ. `n ta.i nghiˆe.m tuˆao ` n ho`an trong D- i.nh l´y 1.15 d¯˜a biˆe´t trong mu. c tru.´o.c.
1.6. PHU.O.NG TR`INH TUYˆE´N T´INH B ˆA. C CAO
X´et phu.o.ng tr`ınh vi phˆan
x(n)+p1(t)x(n−1)+· · ·+pn(t)x=q(t), (1.63) trong d¯´o x=x(t) l`a h`am vˆo hu.´o.ng, pk(t), q(t) l`a h`am liˆen tu.c trˆen khoa’ng (a, b)⊂R. Phu.o.ng tr`ınh trˆen d¯u.o.. c go.i l`aphu.o.ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe´n t´ınh cˆa´p n.
D- ˘a.t z1(t) =x(t), z2(t) = ˙x2(t),· · ·, zn(t) =x(n−1)(t) ta c´o ˙ z(t) =A(t)z(t) +Q(t), t∈ (a, b), (1.64) trong d¯´o A:= 0 1 0 · · · 0 0 0 0 1 · · · 0 0 .. . ... ... ... ... ... 0 0 0 · · · 0 1 p1 p2 p3 · · · pn−1 pn , Q := 0 0 .. . 0 q , (1.65)
Ma trˆa.n da.ng trˆen cu’a Ad¯u.o.. c go.i l`a ma trˆa.n Sylvester. B˘a`ng c´ach d¯u.a phu.o.ng tr`ınh cˆa´p cao vˆ` hˆe. phu.o.ng tr`ınh bˆa.c nhˆa´t, vˆee ` nguyˆen t˘a´c th`ı r˜o r`ang viˆe.c gia’i phu.o.ng tr`ınh bˆa.c cao ho`an to`an thu..c hiˆe.n d¯u.o.. c. Tuy vˆa.y d¯ˆo´i v´o.i hˆe. phu.o.ng tr`ınh bˆa.c nhˆa´t c´o ma trˆa.n hˆe. sˆo´ da.ng Sylvester, viˆe.c t`ım hˆe. nghiˆe.m co. ba’n c´o thuˆa.n lo..i ho.n. D-´o c˜ung ch´ınh l`a mu.c d¯´ıch cu’a mu.c n`ay.
Bˆo’ d¯ˆ`e 1.3 Hˆe. c´ac h`am {tkjeλjt, j = 1,2,· · ·, N}, trong d¯´o kj ∈
N, λj ∈ C l`a hˆe. c´ac h`am d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh trˆen R khi v`a chı’ khi
(kj, λj)= (km, λm) v´o.i mo. i j =m.
Ch´u.ng minh. Tru.´o.c hˆe´t ta ch´u.ng minh kh˘a’ng d¯i.nh: nˆe´u
N
j=1
Pj(t)eλjt= 0, ∀t,
trong d¯´o Pj(t) l`a c´ac d¯a th´u.c theo t, th`ıPj(t) = 0, ∀t,∀j. Ta s˜e ch´u.ng minh b˘a`ng quy na.p. gia’ su.’ v´o.i N −1 cˆong th´u.c trˆen d¯´ung. Ta chia hai vˆe´ cho eλNt v`a d¯u.o.. c
N−1
j=1
Pj(t)e(λj−λN)t+PN(t)≡0.
D- a.o h`am theo t mˆo.t sˆo´ lˆa` n th´ıch ho.. p (b˘a`ng bˆa.c cu’aPN) ta c´o
N−1
j=1
Qj(t)e(λj−λN)t≡0
trong d¯´o Qj c´o bˆa.c b˘a`ng bˆa.c cu’a Pj. Theo gia’ thiˆe´t quy na.p th`ı
Qj(t)≡0. Do d¯´o Pj(t)≡0.
´
Ap du.ng kh˘a’ng d¯i.nh n`ay v`ao ch´u.ng minh bˆo’ d¯ˆe` th`ı ta d¯u.o.. c ngay d¯iˆ` u cˆe ` n ch´a u.ng minh.
Bˆay gi`o. ta x´et tru.`o.ng ho.. p phu.o.ng tr`ınh c´o hˆe. sˆo´ h˘a`ng sˆo´ t´u.c l`apj(t)≡const. D- ˘a.t
f(λ) =λn+p1λn−1 +· · ·+pn−1λ+pn.
D- a th´u.c f(λ) d¯u.o.. c go.i l`a d¯a th´u.c d¯˘a.c tru.ng, c`on phu.o.ng tr`ınh
f(λ) = 0 d¯u.o.. c go.i l`a phu.o.ng tr`ınh d¯˘a.c tru.ng. C´ac nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh d¯˘a.c tru.ng d¯u.o..c go.i l`a nghiˆe.m d¯˘a.c tru.ng.
Bˆo’ d¯ˆ`e 1.4 Gia’ su.’ λ1 l`a mˆo. t nghiˆe.m d¯˘a.c tru.ng bˆo.ik cu’a phu.o.ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe´n t´ınh bˆa. c n c´o hˆe. sˆo´ h˘a`ng sˆo´ (1.63). Khi d¯´o hˆe. {eλ1t, teλ1t,· · ·, tk−1eλ1t} l`a hˆe. k nghiˆe.m d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh cu’a phu.o.ng tr`ınh (1.63).
Ch´u.ng minh. D- ˘a.t Lu:=u(n)+p
1u(n−1)+· · ·+pnu. Khi d¯´o dˆe˜ d`ang ch´u.ng minh d¯u.o.. c
L(tmeλ1t) =
m
ν=1
Cmνf(ν)(λ1)tm−νeλ1t, 0≤m ≤k−1.
V`ıλ1 l`a nghiˆe.m bˆo.i k nˆenf(λ) =f(λ) =· · ·=f(k−1)(λ1) = 0. Do 0≤m≤k−1 nˆenL(tmeλ1t)≡0. ´Ap du.ng bˆo’ d¯ˆe` trˆen ta thu d¯u.o..c t´ınh d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh cu’a hˆe. n`ay.
Hˆe. qua’ tru. c tiˆ. e´p cu’a hai bˆo’ d¯ˆ` trˆen l`e a d¯i.nh l´y sau d¯ˆay:
D- i.nh l´y 1.19 Gia’ su.’ phu.o.ng tr`ınh d¯˘a. c tru.ng c´o c´ac nghiˆe.m
λ1,· · ·, λl v´o.i c´ac bˆo. i tu.o.ng ´u.ng l`a m1,· · ·, ml. Khi d¯´o hˆe. c´ac h`am {eλjt, teλjt,· · ·, tmj−1eλjt, j = 1,· · ·, l} l`a hˆe. nghiˆe.m co. ba’n cu’a phu.o.ng tr`ınh (1.63).
Nhˆa.n x´et 1.5 Tru.`o.ng ho.. p c´ac hˆe. sˆo´ thu. c ta c´. o thˆe’ t`ım hˆe. nghiˆe.m co. ba’n thu.. c nhu. sau: trong d¯i.nh l´y trˆen thay v`ı cho.n c´ac h`am ph´u.c
tkeλt, tke¯λt ta lˆa´y c˘a. p h`am thu.. c sau tkeReλtcos(λt), tkeReλtsin(λt).
1.7. SU. PHU. . THUOˆ. C LIEN TUˆ . C THEO D- Iˆ` U KIˆE E. N BAN D- ˆ` U V `A A THEO THAM S ˆO´
Trong mu.c n`ay ta gia’ su’ b`. ai to´an Cauchy ´u.ng v´o.i phu.o.ng tr`ınh
dx
dt =f(t, x, µ), µ∈Λ,
trong d¯´o Λ l`a mˆo.t tˆa.p con mo’ cu’a khˆ. ong gianRm n`ao d¯´o, gia’i d¯u.o.. c trˆen to`an khoa’ng (a, b) v´o.i mˆo˜iµ∈Λ. D- ˆe’ c´o d¯iˆe` u n`ay ta gia’ thiˆe´t nhu. trong D- i.nh l´y Tˆo`n ta.i To`an cu.c, t´u.c l`a :
1. f : (a, b)×Rn→Rn liˆen tu.c theot, x, µv`a Dxf,Dµf tˆ`n ta.io v`a liˆen tu.c;
2. C´o c´ac h˘a`ng sˆo´M0, M1, M2 sao cho:
f(t, x, µ) ≤ M1+M0x, ∀t∈(a, b);x∈Rn;µ∈Λ
f(t, x, µ)−f(t, y, µ) ≤ M2x−y, ∀t∈(a, b);x, y∈Rn;µ∈Λ.
Ta s˜e k´y hiˆe.u x=x(t, t0, x0, µ) l`a nghiˆe.m cu’a b`ai to´an Cauchy
˙
x(t) =f(t, x, µ), t∈(a, b)
x(t0) =x0. (1.66)
B`ai to´an d¯˘a.t ra o’ d¯ˆ. ay l`a v´o.i c´ac d¯iˆ` u kiˆe.n g`ı nghiˆe.me x(t, t0, x0, µ) s˜e phu. thuˆo.c liˆen tu.c v`a kha’ vi theo x0, µ.
Bˆo’ d¯ˆ`e 1.5 Gia’ su.’ X v`aY l`a hai khˆong gian Banach, U l`a tˆa. p con mo.’ trong X v`a J l`a khoa’ng comp˘a´c trong R. Nˆe´u F :J ×U →Y
l`a ´anh xa. liˆen tu. c, ´anh xa. ho. p th`. anh x → F(·, x(·)) : C(J, U) →
C(J, U)l`a liˆen tu. c. Nˆe´u (t, x)→ ∂
∂xkF(t, x)liˆen tu. c trˆenJ×U v´o.i
k = 0,1, . . . , r, th`ı ´anh xa. ho. p th`. anh thuˆo. c l´o.p Ck.
Ch´u.ng minh. Nˆe´u xn, x∈ C(J, U) v`a xn(t)→ x(t) d¯ˆ` u trˆene J
khi n → ∞ nhu.ng F(·, xn(·))−F(·, x(·))C(J,U) ≥ ε > 0, s˜e tˆ`no ta.i tn ∈ J v´o.i F(tn, xn(tn))−F(tn, x(tn)) ≥ ε/2 v´o.i n d¯u’ l´o.n. Do J comp˘a´c, tˆo`n ta.i d˜ay con tnk hˆo.i tu. t´o.i t∗∈ J. D- iˆe` u n`ay mˆau thuˆa˜n v´o.i gia’ thiˆe´t vˆe` t´ınh liˆen tu.c cu’a F.
D- ˆo´i v´o.i 1 ≤k≤ r, h`am ∂x∂kkF tho’a m˜an c´ac d¯iˆ` u kiˆe.n cu’a tru.`o.nge ho.. pr= 0, v`a liˆen tu.c d¯ˆe` u trˆen tˆa.p{(t, x(t)), t∈J nˆe´ux∈C(J, U). D`ung khai triˆe’n Taylor cu’aF c´o thˆe’ chı’ ra h`am ho.. p thuˆo.c l´o.pCr.
D- i.nh l´y 1.20 V´o.i nh˜u.ng gia’ thiˆe´t liˆe.t kˆe trˆen d¯ˆo´i v´o.i h`amf, nˆe´u k´y hiˆe.u x(t, τ, ξ, µ) l`a nghiˆe.m cu’a b`ai to´an Cauchy
˙
x=f(t, x, µ)
x(τ) =ξ, (1.67)
th`ı v´o.i mˆo˜i t ∈J ⊂(a, b) ´anh xa.
Rm×Λ(ξ, µ)→x(t, τ, ξ, µ)∈Rn (1.68)
kha’ vi liˆen tu. c. C´ac d¯a. o h`am u(t) = Dξx(t) v`a v(t) = Dµx(t) l`a c´ac nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh
˙ u(t) =Dxf(t, x(t), µ)u(t), u(τ) =I , (1.69) ˙ v(t) =Dxf(t, x(t), µ)v(t) +Dµf(t, x(t), µ), v(τ) = 0. (1.70)
Ch´u.ng minh. Theo ch´u.ng minh cu’a D- i.nh l´y Tˆo`n ta.i To`an cu.c, nghiˆe.mx(t, τ, ξ, µ) l`a d¯iˆe’m bˆa´t d¯ˆo.ng cu’a to´an tu’.
G(x, ξ, µ)(t) =ξ+ t
τ
f(s, x(s), µ)ds, t∈J. (1.71)
G l`a ´anh xa. co d¯ˆe` u. ´Anh xa. (x, µ)→f(·, x(·), µ) kha’ vi liˆen tu.c, v`ı vˆa.y Gthuˆo.c l´o.p C1. Do d¯´o d¯iˆe’m bˆa´t d¯ˆo.ng c˜ung thuˆo.c l´o.p C1.
C ´AC PHU.O.NG PH ´AP D- I.NH LU.O. NG.
2.1. M ˆO. T SOˆ´ PHU.O.NG PH ´AP T´ICH PH ˆAN C ´AC PHU.O.NG TR`INH VI PH ˆAN
2.1.1. C´ac phu.o.ng ph´ap t´ıch phˆan c´ac l´o.p phu.o.ng tr`ınh thu.`o.ng g˘a.p
Mˆo.t sˆo´ kh´ai niˆe.m co. ba’n
X´et phu.o.ng tr`ınh vi phˆan da.ng
y =f(x, y), (2.1)
trong d¯´o f :G⊂R2 →Rl`a h`am liˆen tu.c cho tru.´o.c.
D- i.nh ngh˜ıa 2.1 V´o.i c´ac k´y hiˆe.u trˆen ta c´o c´ac d¯i.nh ngh˜ıa sau d¯ˆay:
1. Gia’ su.’ trong mˆo. t miˆ` ne G cu’a m˘a. t ph˘a’ng (x, y) nghiˆe.m cu’a b`ai to´an Cauchy d¯ˆo´i v´o.i phu.o.ng tr`ınh (2.1) tˆ`n ta.i v`a duyo nhˆa´t. H`am sˆo´y=φ(x, C)d¯u.o.. c go. i l`a nghiˆe.m tˆo’ng qu´at cu’a (2.1) trong Gnˆe´u trong miˆ` n biˆe´n thiˆen cu’ae x, C h`am sˆo´ n`ay c´o d¯a. o h`am riˆeng liˆen tu. c theo x v`a tho’a m˜an c´ac d¯iˆ` u kiˆe.ne sau:
(a) ∂φ
∂C = 0.
(b) H`am φ(x, C) tho’a m˜an (2.1).
2. Nghiˆe.m riˆeng l`a mˆo.t nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh ta.i mˆo˜i d¯iˆe’m cu’a n´o D- i.nh l´y Tˆo`n ta.i v`a Duy nhˆa´t Nghiˆe.m tho’a m˜an. 3. Nghiˆe.m k`y di. l`a nghiˆe.m m`a ta.i mˆo˜i d¯iˆe’m cu’a n´o mˆa´t t´ınh
duy nhˆa´t nghiˆe.m.
Phu.o.ng tr`ınh c´o biˆe´n sˆo´ phˆan ly
Phu.o.ng tr`ınh khˆong ch´u.a h`am pha’i t`ım. D- ´o l`a phu.o.ng tr`ınh da.ng
dy
dx =f(x),
trong d¯´of l`a h`am liˆen tu.c trong mˆo.t khoa’ng (a, b) n`ao d¯´o. R˜o r`ang trong tru.`o.ng ho.. p n`ay
y(x) =
f(ξ)dξ
l`a nghiˆe.m tˆo’ng qu´at cu’a phu.o.ng tr`ınh d¯ang x´et. Nˆe´u (x0, y0) ∈
G:={a < x < b;−∞< y < ∞}th`ı nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh trˆen qua d¯iˆe’m (x0, y0) l`a
y= x x0 f(τ)dτ +y0. V´ı du. 2.1 X´et phu.o.ng tr`ınh: dy dx = 3x 2. (2.2) H`am sˆo´ y= 3x2dx+C =x3+C
l`a nghiˆe.m tˆo’ng qu´at cu’a phu.o.ng tr`ınh d¯ang x´et trong miˆe` n
−∞< x <∞,−∞< y <∞.
Phu.o.ng tr`ınh khˆong c´o nghiˆe.m k`y di. v`a nghiˆe.m tho’a m˜an d¯iˆe` u kiˆe.n ban d¯ˆa` u y(x0) =y0 l`a
y=y0+x3−x30.
Phu.o.ng tr`ınh khˆong ch´u.a biˆe´n d¯ˆo. c lˆa. p. D- ´o l`a phu.o.ng tr`ınh c´o da.ng
dy
dx =f(y).
Nghiˆe.m tˆo’ng qu´at cu’a phu.o.ng tr`ınh n`ay c´o da.ng
x= 1 f(y)dy. V´ı du. 2.2 X´et phu.o.ng tr`ınh dy dx = 1 +y 2, (2.3)
trong d¯´of(y) x´ac d¯i.nh v`a liˆen tu.c v´o.i mo.iyv`a luˆon du.o.ng. Nghiˆe.m tho’a m˜an d¯iˆ` u kiˆe.n ban d¯ˆae ` u y(x0) =y0 l`a
x−x0 = y y0 du 1 +u2. Hay l`a arctgy−arctgy0 =x−x0.
trong tru.`o.ng ho.. p riˆeng, nˆe´u x0 = y0 = 0 th`ı nghiˆe.m riˆeng tu.o.ng ´ u.ng s˜e l`a arctgy =x⇐⇒y= tgx, −π 2 < x < π 2.
Phu.o.ng tr`ınh v´o.i biˆe´n sˆo´ phˆan ly. D- ´o l`a phu.o.ng tr`ınh c´o da.ng
X(x)dx+Y(y)dy= 0.
Phu.o.ng tr`ınh n`ay c´o t´ıch phˆan tˆo’ng qu´at da.ng
X(x)dx+
Y(y)dy=C.
V´ı du. 2.3 T`ım t´ıch phˆan tˆo’ng qu´at v`a t`u. d¯´o t`ım d¯u.`o.ng cong