Phu.o.ng ph´ ap th´ u hai Lyapunov

3 L´ y thuyˆ e´t d ¯i.nh t´ınh

3.1.3.Phu.o.ng ph´ ap th´ u hai Lyapunov

Mˆo.t phu.o.ng ph´ap kh´ac nghiˆen c´u.u ˆo’n d¯i.nh khˆong k´em phˆa`n l´y th´u xuˆa´t ph´at t`u. nh˜u.ng b`ai to´an thu.. c tˆe´ cu’a co. ho.c, vˆa.t l´y v`a sinh ho.c,.... Phu.o.ng ph´ap n`ay c`on d¯u.o..c go.i l`a phu.o.ng ph´ap h`am Lyapunov. Ch´ung ta s˜e d¯i.nh ngh˜ıa kh´ai niˆe.m n`ay nhu. sau. Cho phu.o.ng tr`ınh

˙

trong d¯´o W l`a tˆa.p mo’ n`. ao d¯´o cu’a Rn c`on f kha’ vi liˆen tu.c trˆen miˆ` n n`e ay. Gia’ su.’ cho tru.´o.c h`am V : W → R kha’ vi trˆen W. Ta d¯i.nh ngh˜ıa h`am ˙V :W →R b˘a`ng cˆong th´u.c

˙

V(x) =DV(x)f(x), ∀x∈W. (3.13) ˙

V d¯u.o.. c go.i l`a d¯a. o h`am cu’a V do. c theo hu.´o.ng cu’a tru.`o.ng v´ec to.

f(x). ´Y tu.o.’ ng ch´ınh cu’a phu.o.ng ph´ap th´u. hai Lyapunov d¯u.o.. c thˆe’ hiˆe.n trong d¯i.nh l´y sau:

D- i.nh l´y 3.5 Gia’ su.’ x0 ∈ W l`a mˆo. t d¯iˆe’m cˆan b˘a`ng cu’a tru.`o.ng v´ec to.f(x), t´u.c l`a f(x0) = 0. Gia’ su.’ tiˆe´p theo V :W →R l`a h`am liˆen tu. c trˆen lˆan cˆa. n U cu’a x0 v`a kha’ vi trˆen U\{x0} sao cho:

1. V(x0) = 0, v`a V(x)>0 v´o.i x=x0 ∈U; 2. V˙(x)≤0 v´o.i x∈U\{x0}.

Khi d¯´o x(t)≡x0 l`a nghiˆe.m ˆo’n d¯i.nh. Ngo`ai ra nˆe´u 3. V˙(x)<0 v´o.i mo. i x∈U\{x0}

th`ıx(t)≡x0 l`a d¯iˆe’m cˆan b˘a`ng ˆo’n d¯i.nh tiˆe.m cˆa.n.

Ch´u.ng minh. Ta gia’ su.’ c´o h`amV tho’a m˜an c´ac d¯iˆ` u kiˆe.n 1., 2.,e ta s˜e ch´u.ng minhx0 l`a d¯iˆe’m cˆan b˘a`ng ˆo’n d¯i.nh. Gia’ su.’δ l`a mˆo.t sˆo´ du.o.ng d¯u’ b´e sao cho h`ınh cˆ` u d¯´a ong ¯B(x0, δ)⊂ U. R˜o r`ang m˘a.t cˆa` u

S(x0, δ) := {x∈ U :x =δ} l`a tˆa.p compact. Ta go.i α l`a gi´a tri. cu.. c tiˆe’u cu’aV trˆen S(x0, δ). Do d¯iˆ` u kiˆe.n 1. ta c´oe α >0. Ta d¯i.nh ngh˜ıa U1 := {x ∈ B(x0, δ) : V(x) < α}. Khi d¯´o khˆong c´o nghiˆe.m n`ao xuˆa´t ph´at t`u. mˆo.t d¯iˆe’m trong U1 la.i c´o thˆe’ g˘a.pS(x0, δ) v`ı h`am

V khˆong t˘ang trˆen c´ac d¯u.`o.ng cong nghiˆe.m. Thˆa.t vˆa.y, nˆe´u x(t) l`a mˆo.t nghiˆe.m th`ı dV(x(t)) dt = DV(x(t)) dx(t) dt = DV(x(t))f(x(t) = V˙(x(t))≤0.

Vˆa.y mˆo˜i nghiˆe.m xuˆa´t ph´at t`u. mˆo.t d¯iˆe’m trong U1 pha’i th´ac triˆe’n d¯u.o.. c lˆen to`an nu.’ a tru.c theo D- i.nh l´y Th´ac triˆe’n nghiˆe.m. D- iˆe` u trˆen c`on ch´u.ng to’ mo.i nghiˆe.m xuˆa´t ph´at trong U1 khˆong bao gi`o. r`o.i kho’iB(x0, δ), t´u.c l`a tra.ng th´ai cˆan b˘a`ng l`a ˆo’n d¯i.nh.

Gia’ su.’ tiˆe´p theo h`am V tho’a m˜an thˆem d¯iˆ` u kiˆe.n 3. ta s˜e ch´u.nge minh x(t) ≡ x0 l`a tra.ng th´ai cˆan b˘a`ng ˆo’n d¯i.nh tiˆe.m cˆa.n. X´et

mˆo.t nghiˆe.m bˆa´t k`y x(t) xuˆa´t ph´at t`u.U1\{x0}. Ta s˜e ch´u.ng minh limt→∞x(t) =x0. Gia’ su.’ tr´ai la.i, khi d¯´o s˜e tˆo`n ta.i d˜aytn→ ∞sao cho x(tn) →z0 =x0. Go.i z(t) l`a nghiˆe.m xuˆa´t ph´at t`u.z0. Khi d¯´o

V(z(t)) < V(z0) v´o.i mo.i t > 0. Cˆo´ d¯i.nh mˆo.t ¯t > 0. T`u. t´ınh phu. thuˆo.c liˆen tu.c theo d¯iˆe` u kiˆe.n ban d¯ˆa` u, nˆe´uy0 kh´a gˆ` na z0 th`ı nghiˆe.m

y(t) xuˆa´t ph´at t`u. y0 c´o t´ınh chˆa´t V(y(¯t))< V(z0). Nˆe´u cho.n n d¯u’ l´o.n th`ıx(tn) :=y0 s˜e d¯u’ gˆ` na z0 v`a khi d¯´o nghiˆe.m y(t) xuˆa´t ph´at t`u.x(tn) s˜e c´o t´ınh chˆa´t nˆeu trˆen. Bˆay gi`o. su.’ du.ng t´ınh ˆotˆonˆom cu’a phu.o.ng tr`ınh v`a t´ınh duy nhˆa´t nghiˆe.m ta c´oy(t) = x(tn+t),∀t >0. Vˆa.y th`ıV(x(tn+ ¯t))< V(z0). Do t´ınh gia’m thu.. c su. cu’a h`. am V do.c c´ac qu˜y d¯a.o mˆo˜i nghiˆe.m d¯iˆe` u n`ay mˆau thuˆa˜n v`ıV(z0)< V(x(t)). Vˆa.y limt→∞x(t) =x0.

D- i.nh ngh˜ıa 3.3 C´ac h`am sˆo´ tho’a m˜an c´ac d¯iˆ` u kiˆe.n 1., 2., v`a 3.,e trong d¯i.nh l´y trˆen d¯u.o..c go.i l`a c´ac h`am Lyapunov.

V´ı du. 3.2 X´et mˆo h`ınh to´an ho. c cu’a con l˘a´c dao d¯ˆo.ng du.´o.i t´ac du. ng cu’a tro. ng lu. c v´. o.i ma s´at:

θ=−k

lθ

− 1

lsinθ (3.14)

Ta go.i E l`a n˘ang lu.o.. ng to`an phˆ` n cu’a hˆe.. Khi d¯´oa

E= d¯ˆo.ng n˘ang + thˆe´ n˘ang = ml(1 2lω

2+ 1−cosθ),

trong d¯´o ω := θ. T´ınh d¯a.o h`am cu’a E do.c theo tru.`o.ng v´ec to. ta c´o ˙E =−kl2ω2. Vˆa.y ˙E ≤0 v`a ˙E = 0 ta.i gˆo´c to.a d¯ˆo. cu’a m˘a.t ph˘a’ng pha {(θ, ω)} nˆen d¯ˆay l`a h`am Lyapunov cu’a hˆe. ´u.ng v´o.i d¯iˆe’m cˆan b˘a`ng l`a gˆo´c to.a d¯ˆo.. Ho.n n˜u.a d¯iˆe’m gˆo´c to.a d¯ˆo. l`a ˆo’n d¯i.nh tiˆe.m cˆa.n.