D a ta.p bˆa´t biˆe´n v`a su mˆa´t ˆo’n d¯i.nh

3 L´ y thuyˆ e´t d ¯i.nh t´ınh

3.2. D a ta.p bˆa´t biˆe´n v`a su mˆa´t ˆo’n d¯i.nh

Ch´ung ta la.i x´et phu.o.ng tr`ınh ˙

x=f(x), f :W →Rn (3.15) v´o.i gia’ thiˆe´t f kha’ vi liˆen tu.c. Nhu. d¯˜a x´et o.’ mu.c tru.´o.c t´ınh ˆo’n d¯i.nh cu’a hˆe. ta.i lˆan cˆa.n cu’a x0 d¯u.o.. c x´ac d¯i.nh bo’ i c´. ac t´ınh chˆa´t cu’a phˆ` n tuyˆe´n t´ınh ta.i d¯iˆe’m n`ay. Trong mu.c n`ay ta s˜e xem x´eta tru.`o.ng ho.. p khi c´ac d¯iˆ` u kiˆe.n vˆee ` t´ınh ˆam cu’a c´ac sˆo´ m˜u d¯˘a.c tru.ng Lyapunov cu’a hˆe. tuyˆe´n t´ınh ta.i mˆo.t d¯iˆe’m cˆan b˘a`ng x0 bi. ph´a v˜o.. D- ˆe’ nghiˆen c´u.u chi tiˆe´t d´ang d¯iˆe.u cu’a hˆe. trong tru.`o.ng ho..p n`ay, tru.´o.c hˆe´t ta cˆ` n d¯u.a v`a ao mˆo.t loa.t c´ac kh´ai niˆe.m m´o.i. Ch´ung ta s˜e chı’ x´et kh´ai niˆe.m c´ac d¯a ta.p l´o.p Ck trongRn v´o.i mˆo.t sˆo´ t´ınh chˆa´t nhˆa´t d¯i.nh m`a khˆong nghiˆen c´u.u tru.`o.ng ho..p tˆo’ng qu´at. Vˆa.y th`ı ta c´o d¯i.nh ngh˜ıa sau d¯ˆay:

D- i.nh ngh˜ıa 3.4 Mˆo. t tˆa. p ho. p. M ⊂Rn d¯u.o.. c go. i l`a mˆo. t d¯a ta. p m

chiˆ` u l´e o.p Ck nˆe´u ta. i mˆo˜i d¯iˆe’m x0 ∈ M tˆ`n ta.i mˆo.t lˆan cˆa.n mo.’o

U(x0) trong Rn v`a mˆo. t vi phˆoi φ ∈ Ck t`u. U(x0) lˆen Rm ×Rn−m

sao cho φ(U(x0)∩M) = Rm × {0}. (Ch´ınh x´ac ho.n ta n´oi M l`a d¯a ta. p con m chiˆ` u cu’ae Rn)

V´ı du.n3.3 - M˘a. t cˆ` ua Sn−1 := {x = (x1,· · ·, xn) ∈ Rn :

k=1x2k= 1} l`a mˆo. t d¯a ta. p n−1 chiˆ` u l´e o.p C∞. - Gia’ su.’ ψ: Rm→Rn−m l`a ´anh xa. l´o.p Ck. X´et

Γ(ψ) :={(x, y)∈Rn:y=ψ(x)}.

Thˆa. t vˆa. y ta x´et ´anh xa. φ : Rn → Rn d¯i.nh ngh˜ıa nhu. sau:

(x, y) → φ(x, y) = (x, ψ(x)−y). Dˆe˜ thˆa´y φ l`a song ´anh v`a

φ ∈ Ck. ´Ap du. ng d¯i.nh l´y h`am ngu.o..c cho ´anh xa. l´o.p Ck ta d¯u.o.. c t´ınh tro.n l´o.p Ck cu’a ´anh xa. ngu.o..c φ−1, t´u.c l`a φ l`a vi phˆoi l´o.p Ck. D- ˘a.c biˆe.t φ−1(Γ(ψ)) =Rm× {0}.

3.2.1. Su.. tˆ` n ta.i cu’a d¯a ta.p bˆa´t biˆe´no

Trong mu.c n`ay ch´ung ta s˜e ch´u.ng minh su.. tˆo`n ta.i d¯a ta.p bˆa´t biˆe´n, c´o thˆe’ biˆe’u diˆe˜n du.´o.i da.ng d¯ˆo` thi. cu’a c´ac h`am sˆo´ tho’a m˜an d¯iˆ` u kiˆe.n Lipschitz.e

D- ˆe’ cho tiˆe.n ta gia’ su.’f(0) = 0 v`a Df(0) :=A c´o c´ac sˆo´ riˆeng c´o phˆ` n thu.a . c kh´ac khˆong, ch˘a’ng ha.nm sˆo´ riˆeng c´o phˆ` n thu.a . c du.o.ng

(t´ınh ca’ bˆo.i) v`a n−m sˆo´ riˆeng c´o phˆ` n thu.a . c ˆam. Khi d¯´o c´o mˆo.t ph´ep chiˆe´u (thu.. c)P :Rn→Rn sao cho AP =P A v`aσ(A|ImP) =

σ(A)∩ {z ∈C:Rez <0}, σ(A|KerP) =σ(A)∩ {z ∈C:Rez >0}. Ho.n n˜u.a tˆ`n ta.i c´ac sˆo´ du.o.ngo K, α sao cho

etAP x ≤ Ke−αtP x, ∀t≥0, x∈Rn, (3.16)

etA(I −P)x ≤ Keαt(I −P)x, ∀t≤0, x∈Rn. (3.17)

D- i.nh ngh˜ıa 3.5 V´o.i η ∈ R ta d¯i.nh ngh˜ıa c´ac khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n sau d¯ˆay

BC(R+,Rn) = {f ∈C(R+,Rn)|sup t∈R+ f(t)<∞}, f= sup t∈R+ f(t), BC(R−,Rn) = {f ∈C(R−,Rn)|sup t∈R− f(t)<∞}, f= sup t∈R− f(t), BCη(R+,Rn) = {f ∈C(R+,Rn)|sup t∈R+ e−ηtf(t)<∞}, fη = sup t∈R+ e−ηtf(t), BCη(R−,Rn) = {f ∈C(R−,Rn)|sup t∈R− e−ηtf(t)<∞}, fη = sup t∈R− e−ηtf(t).

C´o thˆe’ dˆe˜ d`ang kiˆe’m tra d¯u.o..c c´ac khˆong gian trˆen l`a c´ac khˆong gian d¯ˆ` y d¯u’, hay n´a oi c´ach kh´ac d¯´o l`a c´ac khˆong gian Banach.

Ta s˜e x´et c´ac to´an tu.’ sau d¯ˆay t´ac d¯ˆo.ng trong c´ac khˆong gian nˆeu trˆen. (Ksf)(t) = t 0 e(t−ξ)AP f(ξ)dξ− +∞ t e(t−ξ)A(I−P)f(ξ)dξ,(3.18) (Kuf)(t) = t 0 e(t−ξ)A(I−P)f(ξ)dξ+ t −∞ e(t−ξ)AP f(ξ)dξ. (3.19) Ta c´o bˆo’ d¯ˆ` saue

Bˆo’ d¯ˆ`e 3.1 V´o.i c´ac gia’ thiˆe´t v`a k´y hiˆe.u trˆen, c´ac kh˘a’ng d¯i.nh sau l`a d¯´ung:

1. V´o.i mo. i η∈(−α, α) (3.18) x´ac d¯i.nh mˆo.t to´an tu’ tuyˆ. e´n t´ınh gi´o.i nˆo. i trong BCη(R+,Rn), f → Ksf. Ksf l`a nghiˆe.m duy nhˆa´t cu’a phu.o.ng tr`ınh (1.49) v´o.i d¯iˆ` u kiˆe.ne P((Ksf)(0)) = 0.

2. V´o.i mo. i η∈(−α, α) (3.19) x´ac d¯i.nh mˆo.t to´an tu’ tuyˆ. e´n t´ınh gi´o.i nˆo. i trong BCη(R−,Rn), f → Kuf. Kuf l`a nghiˆe.m duy nhˆa´t cu’a phu.o.ng tr`ınh (1.49) v´o.i d¯iˆ` u kiˆe.ne (I−P)((Kuf)(0)) = 0.

Ch´u.ng minh. Ch´ung ta s˜e ch´u.ng minh kh˘a’ng d¯i.nh th´u. hai. Kh˘a’ng d¯i.nh th´u. nhˆa´t d¯u.o..c ch´u.ng minh tu.o.ng tu... Ta c´o

e−ηt(Kuf)(t) ≤ e−ηt( t 0 e(t−ξ)A(I−P)f(ξ)dξ + t −∞ e(t−ξ)AP f(ξ)dξ) ≤ Kfη(− t 0 e(−α−η)(t−ξ)dξ+ t −∞ e(α−η)(t−ξ)dξ ≤ Kfη( 1 α+η + 1 α−η).

T`u. d¯ˆay suy ra Ku l`a to´an tu.’ tuyˆe´n t´ınh gi´o.i nˆo.i, v`a d¯˘a.c biˆe.t

Kuη ≤ K α+η + K α−η. (3.20) X´et phu.o.ng tr`ınh vi phˆan sau ˙ x=Ax+r(x), (3.21)

trong d¯´o ngo`ai gia’ thiˆe´t vˆ`e A nhu. trˆen, ta gia’ su.’ r tho’a m˜an: sup

x∈Rnr(x) < ε

Lip(r)< ε,

trong d¯´o Lip(r) l`a hˆe. sˆo´ Lipschitz cu’a r, d¯i.nh ngh˜ıa nhu. sau:

Lip(r) = inf{L≥0|r(x)−r(y) ≤Lx−y, ∀x, y∈Rn}.

Ta d¯i.nh ngh˜ıa to´an tu’ (thu.`. o.ng d¯u.o.. c go.i l`a to´an tu.’ Nemystky)

R : BC(R−,Rn) → BC(R−,Rn), w → Rw sao cho R(w)(t) =

r(w(t)), ∀t ∈R−. Tiˆe´p theo ta d¯u.a v`ao to´an tu.’ G:BC(R−,Rn)×

KerP →BC(R−,Rn

) d¯i.nh ngh˜ıa nhu. sau:

G(w, φ)(t) =etAφ+Ku(R(w))(t), (3.22) v´o.i mo.i t∈R−, w ∈BC(R−,Rn), φ ∈KerP.

D- i.nh l´y 3.6 (D- a ta.p khˆong ˆo’n d¯i.nh liˆen tu.c Lipschitz). V´o.i c´ac k´y hiˆe.u v`a gia’ thiˆe´t trˆen, nˆe´u ε d¯u’ b´e (xem (3.26)), v´o.i mo. i φ ∈

KerP tˆ`n ta.i duy nhˆa´to wφ ∈BC(R−,Rn) sao cho

G(wφ, φ) =wφ. (3.23)

Ch´u.ng minh. Thˆa.t vˆa.y, ta chı’ cˆa` n kiˆe’m tra d¯iˆe` u kiˆe.n ´anh xa. co d¯ˆo´i v´o.i to´an tu.’ G(·, φ). Ta c´o

sup t∈R− G(v, φ)(t)− G(w, φ)(t) ≤ Ku(R(v)−R(w)(3.24) ≤ ε(K α + K α)v−w, (3.25) v´o.i mo.i v, w∈BC(R−,Rn). Do d¯´o nˆe´u

q := 2ε(K

α)<1, (3.26)

th`ıG(·, φ) l`a ´anh xa. co trong BC(R−,Rn). Theo D- i.nh l´y D- iˆe’m Bˆa´t D- ˆo.ng Banach, tˆo`n ta.i duy nhˆa´twφ sao choG(wφ, φ) =wφ. Bˆay gi`o. ta d¯i ch´u.ng minh su.. liˆen tu.c Lipschitz cu’a wφ theo φ. Thˆa.t vˆa.y

wφ−wψ = G(wφ, φ)− G(wψ, ψ)

≤ εKuwφ−wψ+Kφ−ψ.

Vˆa.y th`ı

wφ−wψ ≤ K

1−qφ−ψ, ∀φ, ψ∈KerP, (3.27) t´u.c l`awφ liˆen tu.c Lipschitz theoφ.

D- i.nh ngh˜ıa 3.6 D- ˆo` thi. cu’a ´anh xa. U : KerP → I mP, φ →

P(wφ(0)) d¯u.o.. c go. i l`a d¯a ta. p khˆong ˆo’n d¯i.nh cu’a phu.o.ng tr`ınh (3.21), v`a d¯u.o.. c k´y hiˆe.u l`a Wu.

V`ı ´anh xa. φ → wφ liˆen tu.c Lipschitz, r˜o r`ang U c˜ung liˆen tu.c Lipschitz. T`u. biˆe’u th´u.c d¯i.nh ngh˜ıa wφ ta thˆa´y ngay

wφ(0) =φ+ 0 −∞ eξAP R(wφ)(ξ)dξ. (3.28) Vˆa.y nˆen P wφ(0) = 0 −∞ eξAP R(wφ)(ξ)dξ.

Do d¯´o d¯a ta.p ˆo’n d¯i.nh thu. c chˆ. a´t l`a

3.2.2. T´ınh bˆa´t biˆe´n cu’a c´ac d¯a ta.p

V´o.i c´ac gia’ thiˆe´t nˆeu trˆen d¯ˆo´i v´o.i phu.o.ng tr`ınh (3.21) c´ac d¯iˆ` ue kiˆe.n cu’a D- i.nh l´y tˆo`n ta.i nghiˆe.m trˆen to`an cu.c d¯u.o..c tho’a m˜an. D- ˘a.t

S(t)xl`a nghiˆe.m b`ai to´an Cauchy

˙

x(t) = Ax(t) +r(x(t))

x(0) =x, x ∈Rn. (3.30)

Khi d¯´o do c´ac hˆe. sˆo´A, r cu’a phu.o.ng tr`ınh khˆong phu. thuˆo.c v`ao

t, ta c´o thˆe’ ch´u.ng minh dˆe˜ d`ang t´ınh chˆa´t nh´om sau d¯ˆay cu’a ho. (S(t))t∈R,S(t)S(s) =S(t+s), ∀t, s∈R. Ho.n n˜u.a, t`u. d¯i.nh l´y tˆo`n ta.i duy nhˆa´t nghiˆe.m v`a su. phu. thuˆ. o.c liˆen tu.c theo d¯iˆe` u kiˆe.n ban d¯ˆ` u suy ra v´a o.i mo.i t ∈ R ´anh xa. S(t) : Rn → Rn l`a d¯ˆ`ng phˆo oi (t´u.c l`a S(t) v`a ´anh xa. ngu.o..c S−1(t) liˆen tu.c). T´om la.i ta c´o mˆo.t nh´om mˆo.t tham sˆo´ c´ac d¯ˆo`ng phˆoi (S(t))t∈R. Nˆe´u r thuˆo.c l´o.p Ck, theo D- i.nh l´y vˆe` su.. thuˆo.c kha’ vi theo d¯iˆe`u kiˆe.n ban d¯ˆa`u, (S(t))t∈R s˜e l`a nh´om mˆo.t tham sˆo´ c´ac vi phˆoi l´o.p Ck. Theo truyˆ` n thˆe o´ng, mˆo˜i nh´om mˆo.t tham sˆo´ c´ac vi phˆoi l´o.pCk d¯u.o.. c go.i l`a mˆo.t hˆe. d¯ˆo.ng lu.. c l´o.p Ck.

D- i.nh ngh˜ıa 3.7 D- a ta.p M d¯u.o.. c go. i l`a bˆa´t biˆe´n d¯ˆo´i v´o.i hˆe. d¯ˆo.ng lu.. c (S(t))t∈R nˆe´u S(t)M =M, ∀t∈R.

D- i.nh l´y 3.7 D- a ta.p khˆong ˆo’n d¯i.nh Wu bˆa´t biˆe´n d¯ˆo´i v´o.i hˆe. d¯ˆo.ng lu.. c (S(t))t∈R.

Ch´u.ng minh. V´o.i c´ac k´y hiˆe.u trˆen r˜o r`ang wφ l`a nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh (3.21) trˆen (−∞,0]. T`u. Bˆo’ D- ˆe` 3.1 c´o thˆe’ chı’ ra r˘a`ng mˆo.t nghiˆe.m bˆa´t k`yx(t) cu’a (3.21) gi´o.i nˆo.i trˆen (−∞,0] tu.o.ng ´u.ng v´oi wψ, trong d¯´o

ψ =etA(I−P)x(0) + 0

−∞

e−ηAP r(x(η))dη. (3.31) Do d¯´o c´o thˆe’ d¯i.nh ngh˜ıa Wu nhu. l`a tˆa.p ho. p c´. ac gi´a tri. ban d¯ˆa` u

x(0) cu’a c´ac nghiˆe.m gi´o.i nˆo.i trˆen (−∞,0]. Gia’ su.’ τ ∈Rcho tru.´o.c bˆa´t k`y. Ch´u ´y r˘a`ng v´o.i gia’ thiˆe´t cu’a d¯i.nh l´y D- i.nh l´y Tˆo`n Ta.i To`an Cu.c c´o thˆe’ ´ap du.ng d¯u.o..c cho phu.o.ng tr`ınh d¯ang x´et. Do d¯´o c´o thˆe’ coi Wu nhu. l`a tˆa.p ho. p c´. ac gi´a tri. ban d¯ˆa` ux(0) cu’a tˆa´t ca’ c´ac nghiˆe.mx(·) gi´o.i nˆo.i trˆen (−∞,2|τ|]. Gia’ su.’ x0 ∈ Wu v`ax0 =x(0), trong d¯´o x(·) l`a nghiˆe.m (duy nhˆa´t) gi´o.i nˆo.i trˆen (−∞,2|τ|]. Do phu.o.ng tr`ınh d¯ang x´et l`a ˆotˆonˆom, dˆ˜ thˆa´ye y(·) := x(τ +·) c˜ung

l`a nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh d¯ang x´et gi´o.i nˆo.i trˆen (−∞,0]. Theo d¯i.nh ngh˜ıa ta c´o S(τ)x0 = x(τ) = y(0), do d¯´o c˜ung l`a mˆo.t d¯iˆe’m trˆen Wu. T`u. d¯´o suy ra S(τ)Wu ⊂ Wu. Tu.o.ng tu.. d¯ˆo´i v´o.iτ =−τ

ta c´oS(−τ)Wu ⊂ Wu. Vˆa.y th`ıS(τ)Wu =Wu, ∀τ ∈R.

Tu.o.ng tu.. ta c´o thˆe’ ch´u.ng minh su.. tˆ`n ta.i cu’a d¯a ta.p ˆo’n d¯i.nho v`a t´ınh bˆa´t biˆe´n cu’a n´o. Chi tiˆe´t d`anh cho d¯ˆo.c gia’. Ngo`ai ra, ch´ung tˆoi c˜ung d`anh cho d¯ˆo.c gia’ tu. ph´. at biˆe’u da.ng d¯i.a phu.o.ng cu’a d¯a ta.p bˆa´t biˆe´n, d`ung k˜y thuˆa.t c˘a´t d´an tru.`o.ng v´ec to. ta.i lˆan cˆa.n mˆo.t d¯iˆe’m k`y di. nhu. ch´ung ta d¯˜a l`am trong mu.c ˆo’n d¯i.nh theo Lyapunov.

3.2.3. D- a ta.p khˆong ˆo’n d¯i.nh v`a su.. mˆa´t ˆo’n d¯i.nh nghiˆe.m

D- a ta.p bˆa´t biˆe´n c´o rˆa´t nhiˆe`u ´u.ng du.ng trong viˆe.c nghiˆen c´u. c´ac hˆe. phi tuyˆe´n. Du.´o.i d¯ˆay ch´ung ta s˜e l`am quen v´o.i mˆo.t ´u.ng du.ng d¯o.n gia’n cu’a d¯a ta.p khˆong ˆo’n d¯i.nh.

D- i.nh l´y 3.8 V´o.i c´ac gia’ thiˆe´t nhu. mu. c tru.´o.c d¯ˆo´i v´o.i phu.o.ng tr`ınh (3.21). Ho.n n˜u.a gia’ su.’ KerP = {0} v`a ε kh´a b´e. Khi d¯´o d¯iˆe’m cˆan b˘a`ng 0 l`a khˆong ˆo’n d¯i.nh theo Lyapunov.

Ch´u.ng minh. R˜o r`ang Wu tˆ`n ta.i v`a kh´ac trˆo´ng. Khio ε > 0 d¯u’ b´e th`ı Wu d¯u.o.. c biˆe’u diˆ˜n nhu. l`a d¯ˆoe ` thi. cu’a mˆo.t h`am h :

KerP → I mP liˆen tu.c Lipschitz v´o.i hˆe. sˆo´ Lipschitz δ d¯u’ nho’. Gia’ su.’ Wu x0 = (φ, h(φ) v`a x(t) l`a nghiˆe.m cu’a (3.21) sao cho

x(0) = x0. Do t´ınh bˆa´t biˆe´n cu’a Wu, ta c´o x(t) = (I −P)x(t) +

h((I −P)x(t)), ∀t∈R.

D- ˘a.t y(t) = (I−P)x(t) ta c´o phu.o.ng tr`ınh theoy nhu. sau: ˙

y(t) = Ay+ (I−P)r(y+h(y)). (3.32) V´o.iε >0 d¯u’ b´e th`ı hˆe. sˆo´ Lipschitz cu’a h`am (I−P)r(y+h(y)) d¯u’ b´e theo y. Vˆa.y theo tiˆeu chuˆa’n d¯˜a biˆe´t nghiˆe.my s˜e tiˆe´n ra vˆo ha.n khi t →+∞. Do d¯´o x(t) khˆong thˆe’ tiˆe´n t´o.i 0 khi t→+∞.

3.2.4. Nguyˆen l´y ˆo’n d¯i.nh thu go.n

Ta x´et phu.o.ng tr`ınh (3.21) trong tru.`o.ng ho.. p tˆo’ng qu´at khi phˆ` na tuyˆe´n t´ınh khˆong hyperbolic. Khi d¯´o tˆa.p c´ac gi´a tri. riˆengσ(A) c´o thˆe’ t´ach th`anh ho.. p r`o.i nhau cu’a hai tˆa.p ho. p. σ1 v`aσ2 nhu. sau:

σ1 :={λ ∈σ(A) : %λ <0}, σ2 :={λ ∈σ(A) :%λ≥0}.

Go.iQl`a ph´ep chiˆe´uRn →Rngiao ho´an v´o.iAsao choσ(A|ImQ) =

σ1, σ(A|KerQ =σ2.V`ı d¯ˆay l`a c´ac tˆa.p ho. p h˜. u.u ha.n nˆen max{%λ, λ∈

D- i.nh l´y 3.9 (D- a ta.p tˆam-khˆong ˆo’n d¯i.nh). V´o.i c´ac k´y hiˆe.u v`a gia’ thiˆe´t trˆen, nˆe´u ε d¯u’ b´e , v´o.i mo. i φ ∈ KerQ tˆ`n ta.i duy nhˆa´to

wφ∈BCη(R−,Rn) sao cho

G(wφ, φ) =wφ. (3.33)

Ho.n n˜u.a wφ liˆen tu. c Lipschitz theo φ.

Phu.o.ng ph´ap ch´u.ng minh nhu. phu.o.ng ph´ap ch´u.ng minh D- i.nh l´y 3.6.

D- i.nh ngh˜ıa 3.8 Tˆa. p ho. p. Wcu := {wφ(0), φ ∈ KerQ} d¯u.o.. c go. i l`a d¯a ta. p tˆam-khˆong ˆo’n d¯i.nh cu’a phu.o.ng tr`ınh (3.21).

D- iˆe` u kh´ac nhau duy nhˆa´t l`a ta thu d¯u.o.. c d¯a ta.pWcugˆ`m c´o ac d¯iˆe’m ban d¯ˆ` u cu’a tˆa a´t ca’ nghiˆe.m x(t) sao cho sup

t∈Re

−ηtx(t). Nhu. vˆa.y, mˆo.t nghiˆe.m xuˆa´t ph´at trˆenWcu khi t→ −∞c´o thˆe’ ra vˆo c`ung v`a c˜ung c´o thˆe’ gi´o.i nˆo.i. Nguyˆen l´y thu go.n ˆo’n d¯i.nh ph´at biˆe’u r˘a`ng t´ınh ˆo’n d¯i.nh cu’a phu.o.ng tr`ınh d¯u.o..c quyˆe´t d¯i.nh bo.’i t´ınh ˆo’n d¯i.nh cu’a c´ac nghiˆe.m trˆen d¯a ta.p Wcu. Cu. thˆe’ ta c´o d¯i.nh l´y sau:

D- i.nh l´y 3.10 V´o.i c´ac gia’ thiˆe´t nhu. trong D- i.nh l´y 3.9, d¯iˆe’m 0 l`a d¯iˆe’m cˆan b˘a`ng ˆo’n d¯i.nh tiˆe.m cˆa.n cu’a hˆe. (3.21) khi v`a chı’ khi d¯iˆe’m

0 l`a d¯iˆe’m cˆan b˘a`ng ˆo’n d¯i.nh tiˆe.m cˆa.n cu’a hˆe.

˙

y=Ay+ (I−Q)r(y+g(y)), y∈KerQ, (3.34)

trong d¯´o Wcu =gr(g), g : KerQ→ I mQ l`a ´anh xa. liˆen tu. c Lips- chitz.

Ch´u.ng minh. Thu.. c ra chı’ cˆ` n ch´a u.ng minh d¯iˆ` u kiˆe.n d¯u’. Tiˆe´pe theo ta s˜e chı’ ch´u.ng minh limt→+∞x(t) = 0. Do t´ınh bˆa´t biˆe´n cu’a

Wcu, nˆe´u d¯˘a.tz =Qx, y= (I−Q)xv`a d¯a ta.p ˆo’n d¯i.nh Ws=gr(h), trong d¯´o h : I mQ → KerQ c´o hˆe. sˆo´ Lipschitz d¯u’ nho’ ta c´o thˆe’ ch´u.ng minh r˘a`ng lim t→+∞x(t)= 0 ⇐⇒    lim t→+∞[Qx(t) +h(Qx(t))] = 0 lim t→+∞[(I−Q)x(t) +g((I−Q)x(t))] = 0. D- ˘a.t y(t) = (I−Q)x(t) v`az(t) =Qx(t). R˜o r`ang ˙z =Az+Qr(z+

h(z)) v`ay tho’a m˜an phu.o.ng tr`ınh (3.34). Do hˆe. sˆo´ Lipschitz cu’ar

d¯u’ nho’ v`aσ(A|ImQ) =σ1 nˆenz(t) ˆo’n d¯i.nh m˜u. T`u. d¯´o suy ra t´ınh ˆ

PHU. LU. C

Bˆa´t d¯˘a’ ng th´u.c Gronwall

D- i.nh l´y 4.1 Cho h`am sˆo´ liˆen tu. c khˆong ˆam u : [a, b] → R tho’a m˜an

u(t)≤C+ t

a

Ku(ξ)dξ, ∀t∈[a, b],

trong d¯´o C, K ≥0. Ch´u.ng minh r˘a`ng

u(t)≤CeK(t−a), ∀t∈[a, b], (bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c Gronwall)

Ch´u.ng minh. Gia’ su.’ C > 0. D- ˘a.t

V(t) :=C+ t a Ku(ξ)dξ, t∈[a, b]. Khi d¯´o ta ta c´o u(t)≤V(t), 0< C ≤V(t) ∀t∈[a, b].

Tiˆe´p theo ta c´o

V(t) =Ku(t)≤KV(t) ∀t∈[a, b].

Do d¯´o, v`ıV(t)>0, V(t)/V(t)≤K v`a V(a) = 0,

V(t)≤CeatKdξ =CeK(t−a), ∀t∈[a, b].

Su.’ du.ng u(t)≤V(t) ta thu d¯u.o.. c bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c Gronwall. Nˆe´u C = 0 th`ı du.. a v`ao ch´u.ng minh trˆen ta c´o thˆe’ chı’ ra

0≤u(t)≤CeK(t−a), ∀t∈[a, b],

trong d¯´o C >0 bˆa´t k`y. ChoC dˆ` n d¯ˆe´n 0 ta suy ra d¯u.o..ca u(t)≡0