3 L´ y thuyˆ e´t d ¯i.nh t´ınh
3.2.2. T´ınh bˆ a´t biˆ e´n cu’a c´ ac d¯a ta.p
V´o.i c´ac gia’ thiˆe´t nˆeu trˆen d¯ˆo´i v´o.i phu.o.ng tr`ınh (3.21) c´ac d¯iˆ` ue kiˆe.n cu’a D- i.nh l´y tˆo`n ta.i nghiˆe.m trˆen to`an cu.c d¯u.o..c tho’a m˜an. D- ˘a.t
S(t)xl`a nghiˆe.m b`ai to´an Cauchy
˙
x(t) = Ax(t) +r(x(t))
x(0) =x, x ∈Rn. (3.30)
Khi d¯´o do c´ac hˆe. sˆo´A, r cu’a phu.o.ng tr`ınh khˆong phu. thuˆo.c v`ao
t, ta c´o thˆe’ ch´u.ng minh dˆe˜ d`ang t´ınh chˆa´t nh´om sau d¯ˆay cu’a ho. (S(t))t∈R,S(t)S(s) =S(t+s), ∀t, s∈R. Ho.n n˜u.a, t`u. d¯i.nh l´y tˆo`n ta.i duy nhˆa´t nghiˆe.m v`a su. phu. thuˆ. o.c liˆen tu.c theo d¯iˆe` u kiˆe.n ban d¯ˆ` u suy ra v´a o.i mo.i t ∈ R ´anh xa. S(t) : Rn → Rn l`a d¯ˆ`ng phˆo oi (t´u.c l`a S(t) v`a ´anh xa. ngu.o..c S−1(t) liˆen tu.c). T´om la.i ta c´o mˆo.t nh´om mˆo.t tham sˆo´ c´ac d¯ˆo`ng phˆoi (S(t))t∈R. Nˆe´u r thuˆo.c l´o.p Ck, theo D- i.nh l´y vˆe` su.. thuˆo.c kha’ vi theo d¯iˆe`u kiˆe.n ban d¯ˆa`u, (S(t))t∈R s˜e l`a nh´om mˆo.t tham sˆo´ c´ac vi phˆoi l´o.p Ck. Theo truyˆ` n thˆe o´ng, mˆo˜i nh´om mˆo.t tham sˆo´ c´ac vi phˆoi l´o.pCk d¯u.o.. c go.i l`a mˆo.t hˆe. d¯ˆo.ng lu.. c l´o.p Ck.
D- i.nh ngh˜ıa 3.7 D- a ta.p M d¯u.o.. c go. i l`a bˆa´t biˆe´n d¯ˆo´i v´o.i hˆe. d¯ˆo.ng lu.. c (S(t))t∈R nˆe´u S(t)M =M, ∀t∈R.
D- i.nh l´y 3.7 D- a ta.p khˆong ˆo’n d¯i.nh Wu bˆa´t biˆe´n d¯ˆo´i v´o.i hˆe. d¯ˆo.ng lu.. c (S(t))t∈R.
Ch´u.ng minh. V´o.i c´ac k´y hiˆe.u trˆen r˜o r`ang wφ l`a nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh (3.21) trˆen (−∞,0]. T`u. Bˆo’ D- ˆe` 3.1 c´o thˆe’ chı’ ra r˘a`ng mˆo.t nghiˆe.m bˆa´t k`yx(t) cu’a (3.21) gi´o.i nˆo.i trˆen (−∞,0] tu.o.ng ´u.ng v´oi wψ, trong d¯´o
ψ =etA(I−P)x(0) + 0
−∞
e−ηAP r(x(η))dη. (3.31) Do d¯´o c´o thˆe’ d¯i.nh ngh˜ıa Wu nhu. l`a tˆa.p ho. p c´. ac gi´a tri. ban d¯ˆa` u
x(0) cu’a c´ac nghiˆe.m gi´o.i nˆo.i trˆen (−∞,0]. Gia’ su.’ τ ∈Rcho tru.´o.c bˆa´t k`y. Ch´u ´y r˘a`ng v´o.i gia’ thiˆe´t cu’a d¯i.nh l´y D- i.nh l´y Tˆo`n Ta.i To`an Cu.c c´o thˆe’ ´ap du.ng d¯u.o..c cho phu.o.ng tr`ınh d¯ang x´et. Do d¯´o c´o thˆe’ coi Wu nhu. l`a tˆa.p ho. p c´. ac gi´a tri. ban d¯ˆa` ux(0) cu’a tˆa´t ca’ c´ac nghiˆe.mx(·) gi´o.i nˆo.i trˆen (−∞,2|τ|]. Gia’ su.’ x0 ∈ Wu v`ax0 =x(0), trong d¯´o x(·) l`a nghiˆe.m (duy nhˆa´t) gi´o.i nˆo.i trˆen (−∞,2|τ|]. Do phu.o.ng tr`ınh d¯ang x´et l`a ˆotˆonˆom, dˆ˜ thˆa´ye y(·) := x(τ +·) c˜ung
l`a nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh d¯ang x´et gi´o.i nˆo.i trˆen (−∞,0]. Theo d¯i.nh ngh˜ıa ta c´o S(τ)x0 = x(τ) = y(0), do d¯´o c˜ung l`a mˆo.t d¯iˆe’m trˆen Wu. T`u. d¯´o suy ra S(τ)Wu ⊂ Wu. Tu.o.ng tu.. d¯ˆo´i v´o.iτ =−τ
ta c´oS(−τ)Wu ⊂ Wu. Vˆa.y th`ıS(τ)Wu =Wu, ∀τ ∈R.
Tu.o.ng tu.. ta c´o thˆe’ ch´u.ng minh su.. tˆ`n ta.i cu’a d¯a ta.p ˆo’n d¯i.nho v`a t´ınh bˆa´t biˆe´n cu’a n´o. Chi tiˆe´t d`anh cho d¯ˆo.c gia’. Ngo`ai ra, ch´ung tˆoi c˜ung d`anh cho d¯ˆo.c gia’ tu. ph´. at biˆe’u da.ng d¯i.a phu.o.ng cu’a d¯a ta.p bˆa´t biˆe´n, d`ung k˜y thuˆa.t c˘a´t d´an tru.`o.ng v´ec to. ta.i lˆan cˆa.n mˆo.t d¯iˆe’m k`y di. nhu. ch´ung ta d¯˜a l`am trong mu.c ˆo’n d¯i.nh theo Lyapunov.