Xét tấm chữ nhật bằng bọt kim loại - metal foam (h = 0.1 m, E1 = 200 GPa, 1/ 3
) đặt trên nền đàn hồi, dưới tác dụng của tải trọng nén đều
0 0
1 0 , 2 0
x y
N N h N N h trên các cạnh x0,a và y0, .b
a. Khảo sát ảnh hưởng của tỷ số a/h và điều kiện biên tới tải trọng tới hạn
Bảng 4.5 trình bày kết quả số và Hình 4.8 khảo sát phi tuyến biến thiên của lực tới hạn không thứ nguyên N của tấm vuông h = 0.1 m, b/a = 1, e0 = 0.5, K0 = 100, J0= 10 với các tỷ số a/h = 10, 20, 30, 50. Tấm bằng vật liệu FGM rỗng với quy luật phân bố không đều bất đối xứng với các điều kiện biên SSSS, SCSC, CCCC.
Có thể nhận thấy khi tỷ số a/h tăng thì lực tới hạn tính theo lý thuyết FSDT dần tiệm cận đến các kết quả tính theo CPT, kết quả này một lần nữa khẳng định sự cần thiết sử dụng FSDT cho tấm dày, còn đối với tấm mỏng chỉ cần sử dụng CPT để tiết kiệm thời gian tính toán. Trong các điều kiện biên, lực tới hạn không thứ nguyên tăng khi tỷ số
a/h tăng là hoàn toàn phù hợp với quy luật, trong đó lớn nhất với biên ngàm 4 cạnh và nhỏ nhất với biên khớp 4 cạnh. Bảng 4.5. Tải trọng tới hạn 22 1 th a N N E h
của tấm rỗng vuông theo tỷ số kích thước tấm a/h với các điều kiện biên khác nhau
SSSS SCSC CCCC FSDT 10 2.9142(1,1) 5.0028(2,1) 6.8663(1,1) 20 3.0626(1,1) 5.7805(2,1) 7.7895(1,1) 30 3.0918(1,1) 5.9526(2,1) 7.9887(1,1) 50 3.1070(1,1) 6.0449(2,1) 8.0947(1,1) CPT 3.1156(1,1) 6.0981(2,1) 8.1556(1,1) a
Các số trong ngoặc đơn biểu thị dạng mất ổn định (m, n).
Hình 4.8. Biến thiên tải trọng tới hạn N của tấm vuông, vật liệu FGM rỗng theo tỷ số kích thước tấm a/h với các điều kiện biên khác nhau
b. Khảo sát ảnh hưởng của hệ số lỗ rỗng và dạng phân bốđến tải trọng tới hạn
Bảng 4.6 và Bảng 4.7 trình bày kết quả phân tích tải trọng tới hạn không thứ nguyên N và dạng mất ổn định (m, n) của tấm vuông hoàn hảo ( 0) vật liệu FGM rỗng: h = 0.1m, b/a = 1, a/h = 10 (FSDT), a/h = 50 (CPT), K0 = J0 = 0 với các hệ số lỗ rỗng khác nhau: e0 = 0.1, 0.3, 0.5 và 0.9. Tấm chịu nén theo 1 phương, với các dạng điều kiện biên SSSS, CCCC và SCSC; cùng với đó là ba quy luật phân bố lỗ rỗng: phân bố đều, phân bố đối xứng, phân bố bất đối xứng được xem xét. Biến thiên tải trọng tới hạn N của tấm theo hệ số rỗng e0 với các quy luật phân bố lỗ rỗng khác
nhau được thể hiện bằng đồ thị như trên Hình 4.9 và Hình 4.10: (a) SSSS,
1 1, 2 0;
(b) CCCC, 11,2 0; (c) SCSC, 11,2 0; (d) SCSC, 10,2 1. Các kết quả cho thấy:
- Với cả ba loại quy luật phân bố lỗ rỗng, khi tăng hệ số lỗ rỗng e0, tải trọng tới hạn N giảm; tải trọng N của tấm với phân bố lỗ rỗng đều (dạng 1) và không đều bất đối xứng (dạng 3) giảm nhanh hơn so với tấm có các lỗ rỗng phân bố không đều đối xứng (dạng 2).
- Điều kiện biên CCCC cho kết quả tải trọng tới hạn N lớn nhất; trong khi điều kiện biên SSSS cho kết quả tải trọng tới hạn N nhỏ nhất.
- Khi điều kiện biên là SCSC, tấm dễ mất ổn định hơn khi nén theo phương tấm được ngàm (phương y).
Bảng 4.6. Tải trọng tới hạn N của tấm vuông dày vật liệu FGM rỗng theo hệ số rỗng 0
e với các quy luật phân bố lỗ rỗng và điều kiện biên khác nhau (a/h = 10, FSDT) Điều kiện biên Phân bố lỗ rỗng 0 e 0.1 0.3 0.5 0.9 SSSS, 1 1, 2 0 Phân bố đều 3.2696(1,1) 2.8053(1,1) 2.3126(1,1) 1.1142(1,1) Phân bố đối xứng 3.3623(1,1) 3.0973(1,1) 2.8302 2.2825(1,1) Phân bố bất đối xứng 3.2869(1,1) 2.8486(1,1) 2.3639(1,1) 1.0828(1,1) CCCC, 1 1, 2 0 Phân bố đều 7.9758(1,1) 6.8431(1,1) 5.6413(1,1) 2.7180(1,1) Phân bố đối xứng 8.1825(1,1) 7.4943(1,1) 6.7949(1,1) 5.3274(1,1) Phân bố bất đối xứng 8.0148(1,1) 6.9442(1,1) 5.7701(1,1) 2.7046(1,1) SCSC, Phân bố đều 5.8520(2,1) 5.0209(2,1) 4.1391(2,1) 1.9943(2,1)
1 1, 2 0 Phân bố đối xứng 6.0004(2,1) 5.4887(2,1) 4.9679(2,1) 3.8714(2,1) Phân bố bất đối xứng 5.8801(2,1) 5.0943(2,1) 4.2343(2,1) 1.9954(2,1) SCSC, 1 0, 2 1 Phân bố đều 5.1855(1,1) 4.4491(1,1) 3.6678(1,1) 1.7672(1,1) Phân bố đối xứng 5.3237(1,1) 4.8844(1,1) 4.4389(1,1) 3.5097(1,1) Phân bố bất đối xứng 5.2115(1,1) 4.5157(1,1) 3.7508(1,1) 1.7460(1,1) a
Các số trong ngoặc đơn biểu thị dạng mất ổn định (m, n).
Bảng 4.7. Tải trọng tới hạn N của tấm vuông mỏng vật liệu FGM rỗng theo hệ số rỗng e0 với các quy luật phân bố lỗ rỗng và điều kiện biên khác nhau (a/h = 50, CPT) Điều kiện biên Phân bố lỗ rỗng e0 0.1 0.3 0.5 0.9 SSSS, 1 1, 2 0 Phân bố đều 0.2771(1,1) 0.2377(1,1) 0.1960(1,1) 0.0944(1,1) Phân bố đối xứng 0.2854(1,1) 0.2640(1,1) 0.2425(1,1) 0.1997(1,1) Phân bố bất đối xứng 0.2786(1,1) 0.2415(1,1) 0.2002(1,1) 0.0903(1,1) CCCC, 1 1, 2 0 Phân bố đều 0.7388(1,1) 0.6339(1,1) 0.5226(1,1) 0.2518(1,1) Phân bố đối xứng 0.7610(1,1) 0.7039(1,1) 0.6467(1,1) 0.5325(1,1) Phân bố bất đối xứng 0.7429(1,1) 0.6440(1,1) 0.5339(1,1) 0.2408(1,1) SCSC, 1 1, 2 0 Phân bố đều 0.5541(2,1) 0.4754(2,1) 0.3919(2,1) 0.1888(2,1) Phân bố đối xứng 0.5708(2,1) 0.5279(2,1) 0.4851(2,1) 0.3994(2,1) Phân bố bất đối xứng 0.5572(2,1) 0.4830(2,1) 0.4004(2,1) 0.1806(2,1) SCSC, 1 0, 2 1 Phân bố đều 0.4675(1,1) 0.4011(1,1) 0.3307(1,1) 0.1593(1,1) Phân bố đối xứng 0.4816(1,1) 0.4454(1,1) 0.4093(1,1) 0.3370(1,1) Phân bố bất đối xứng 0.4701(1,1) 0.4075(1,1) 0.3379(1,1) 0.1524(1,1) a
Hình 4.9. Biến thiên tải trọng tới hạn N của tấm vuông dày (a/h = 10), vật liệu FGM rỗng theo hệ số rỗng e0 với các quy luật phân bố lỗ rỗng khác nhau: (a) SSSS,
1 1, 2 0; (b) CCCC, 11,2 0; (c) SCSC, 11,2 0; (d) SCSC, 10,2 1 ( )a ( )c ( )b ( )d
Hình 4.10. Biến thiên tải trọng tới hạn N của tấm vuông mỏng (a/h = 50), vật liệu FGM rỗng theo hệ số rỗng e0 với các quy luật phân bố lỗ rỗng khác nhau: (a) SSSS,
1 1, 2 0;
(b) CCCC, 11,2 0; (c) SCSC, 11,2 0; (d) SCSC, 10,2 1
c. Khảo sát ảnh hưởng của dạng tải trọng nén đến đường cong sau ổn định
Hình 4.11. Ảnh hưởng của dạng tải nén đến đường cong sau ổn định của tấm chữ nhật dày (a/h = 10), vật liệu FGM rỗng với các điều kiện biên khác nhau: (a) SSSS,
(b) SCSC, (c) CCCC ( )a
( )c
Hình 4.12. Ảnh hưởng của dạng tải nén đến đường cong sau ổn định của tấm chữ nhật mỏng (a/h = 50), vật liệu FGM rỗng với các điều kiện biên khác nhau: (a)
SSSS, (b) SCSC, (c) CCCC
Ảnh hưởng của dạng tải nén ( 1, 2) và điều kiện biên đến đường cong sau ổn định của tấm chữ nhật vật liệu FGM rỗng phân bố đối xứng: h = 0.1m, a/h = 10 (FSDT), a/h = 50 (CPT), b/a = 2, e0 = 0.5, K0 = J0 = 0 được thể hiện trên Hình 4.11 và Hình 4.12 với ba dạng điều kiện biên: (a) SSSS, (b) SCSC, (c) CCCC. Từ các kết quả trên đồ thị, có thể thấy rằng:
- Đường cong tải - độ võng sau ổn định của tấm hoàn hảo xuất phát từ điểm rẽ nhánh (giá trị lực tới hạn trên trục tung), của tấm không hoàn hảo xuất phát từ gốc tọa độ và đơn điệu tăng.
- Với cả hai trường hợp, tấm hoàn hảo và không hoàn hảo: Đường cong tải - độ võng sau ổn định của tấm chịu nén đều theo hai phương thấp hơn đường cong
( )b
( )a
tải - độ võng của tấm chịu nén đều theo một phương. Điều đó có nghĩa là: với tấm chữ nhật, độ ổn định khi chịu nén đều theo hai phương sẽ bé hơn khi chịu nén đều theo một phương và đó là phương cạnh dài.
d. Khảo sát ảnh hưởng của quy luật phân bố lỗ rỗng và hệ số lỗ rỗng đến đường cong sau ổn định
Ảnh hưởng của quy luật phân bố lỗ rỗng đến đường cong sau ổn định của tấm chữ nhật vật liệu FGM rỗng liên kết khớp bốn cạnh (SSSS): h = 0.1m, a/h = 10 (FSDT), a/h = 50 (CPT), b/a = 2, e0 = 0.5, K0 = J0 = 0, chịu nén đều theo 1 phương (phương x) được tính toán và thể hiện trên Hình 4.13. Các kết quả trên đồ thị cho thấy: các đường cong sau ổn định của tấm hoàn hảo ( 0) và tấm không hoàn hảo ( 0.1) với quy luật phân bố đối xứng luôn nằm trên cùng so với các đường cong của tấm có phân bố đều và bất đối xứng. Điều này một lần nữa khẳng định khả năng chịu lực của tấm FGM rỗng quy luật phân bố các lỗ rỗng không đều đối xứng (dạng 2) là tốt hơn so với hai quy luật phân bố còn lại, khả năng chịu lực của tấm (dạng 1 và dạng 3) gần như nhau.
Hình 4.13. Ảnh hưởng của quy luật phân bố lỗ rỗng đến đường cong sau ổn định
Hình 4.14. Ảnh hưởng của hệ số rỗng e0 đến đường cong sau ổn định của tấm vật liệu FGM rỗng
Hình 4.14 phân tích ảnh hưởng của hệ số lỗ rỗng e0 đến đường cong sau ổn định của tấm chữ nhật vật liệu FGM rỗng phân bố đối xứng liên kết khớp bốn cạnh (SSSS): h = 0.1m, a/h = 10 (FSDT), a/h = 50 (CPT), b/a = 2, K0 = J0 = 0, chịu nén đều theo 1 phương (phương x). Từ các kết quả trên đồ thị, có thể thấy rằng: khi tăng
e0 các đường cong sau ổn định của tấm không hoàn hảo ( 0.1) dịch chuyển xuống phía dưới, như vậy khả năng chịu nén của tấm giảm khi hệ số lỗ rỗng e0 tăng.
e. Khảo sát ảnh hưởng của tham số không hoàn hảo và tham số nền đàn hồi đến
đường cong sau ổn định
Hình 4.15 khảo sát ảnh hưởng của tham số không hoàn hảo ξ đến đường cong sau ổn định của tấm chữ nhật vật liệu FGM rỗng phân bố đối xứng liên kết khớp bốn cạnh (SSSS): h = 0.1m, a/h = 10, b/a = 2, K0 = J0 = 0, chịu nén đều theo 1 phương (phương x). Rõ ràng là các đường cong sau ổn định của các tấm không hoàn hảo đều xuất phát từ gốc tọa độ và thấp hơn so với các tấm hoàn hảo khi biến dạng nhỏ (độ võng của tấm là nhỏ). Tuy nhiên, khi độ võng của tấm đủ lớn thì ngược lại, tấm có tham số không hoàn hảo ξ lớn chịu được lực nén tốt nhất.
Ảnh hưởng của các tham số nền đàn hồi đến đường cong sau ổn định của tấm chữ nhật vật liệu FGM rỗng với quy luật phân bố đối xứng cho tấm hoàn hảo ( 0) và tấm không hoàn hảo ( 0.1) chịu nén một phương (phương x): h = 0.1m, a/h = 10, b/a = 2, e0 = 0.5 được thể hiện qua đồ thị trên Hình 4.16. Như vậy khi tăng độ
cứng của nền thì đường cong sau ổn định của tấm sẽ cao hơn; các đường cong (3), và (4) cao hơn nhiều so với các đường (1) và (2), do đó có thể thấy ảnh hưởng của hệ số nền Pasternak và lớn hơn so với hệ số nền Winkner.
Hình 4.15. Ảnh hưởng của độ không hoàn hảo ξ đến đường cong sau ổn định của tấm vật liệu FGM rỗng
Hình 4.16. Ảnh hưởng của tham số nền đàn hồi đến đường cong sau ổn định của tấm vật liệu FGM rỗng
f. Khảo sát ảnh hưởng của kích thước tấm đến đường cong sau ổn định
Ảnh hưởng của tỷ lệ kích tấm a/h và kích thước cạnh b/a đến đường cong sau ổn định của tấm vật liệu FGM rỗng phân bố đối xứng (h = 0.1m, e0 = 0.5, K0 =
J0 = 0) được thể hiện tương ứng trong Hình 4.17 và Hình 4.18. Rõ ràng các đường cong sau ổn định của tấm hoàn hảo ( 0) và tấm không hoàn hảo ( 0.1) cùng dịch chuyển dần xuống dưới khi tăng tỷ số kích thước a/h, điều này phản ánh sự thật là tấm càng mỏng thì càng dễ mất ổn định.
Ngoài ra ta còn quan sát thấy, khi tỷ số kích thước các cạnh b/a càng tăng thì đường cong sau ổn định của tấm càng thấp, chứng tỏ rằng khả năng chịu nén theo phương chịu lực càng giảm khi chiều dài cạnh tương ứng tăng, hoàn toàn phù hợp với thực tế kỹ thuật.
Hình 4.17. Ảnh hưởng của tỷ lệ kích thước tấm a/h đến đường cong sau ổn định của tấm vật liệu FGM rỗng
Hình 4.18. Ảnh hưởng của tỷ lệ kích thước cạnh b/a đến đường cong sau ổn định của tấm vật liệu FGM rỗng