1.1.4.1. Năng lực toỏn học
Theo nghĩa từ điển [34], năng lực cú thể được hiểu theo hai khớa cạnh: (1) Chỉ một khả năng, điều kiện tự nhiờn cú sẵn để thực hiện một hoạt động nào đú tức là một khả năng cú thực, được bộc lộ thụng qua việc người học thành thạo một hoặc một số kỹ năng nào đú;
(2) Là một phẩm chất tõm sinh lớ tạo cho con người cú khả năng để hoàn thành một hoạt động nào đú cú chất lượng cao tức là năng lực sẵn cú ở dạng tiềm năng của người học cú thể giỳp họ giải quyết những tỡnh huống cú thực trong cuộc sống.
• Năng lực toỏn học
Theo V.A. Krutecxki: “Năng lực học tập toỏn học là những đặc điểm tõm lý cỏ nhõn (trước hết là cỏc đặc điểm hoạt động trớ tuệ), đỏp ứng yờu cầu hoạt động học toỏn và giỳp cho việc nắm giỏo trỡnh toỏn một cỏch tương đối nhanh, dễ dàng và sõu sắc kiến thức, kỹ năng và kỹ xảo toỏn học” [21].
Phõn tớch quỏ trỡnh giải toỏn của HS ở những trỡnh độ phỏt triển năng lực khỏc nhau, V.A. Krutecxki thấy rằng những đặc điểm hoạt động trớ tuệ của HS cú năng lực toỏn học và đưa ra cấu trỳc như sau:
“- Khả năng tri giỏc cú tớnh chất hỡnh thức húa tài liệu toỏn học, gắn liền với sự thõu túm nhanh chúng cỏc cấu trỳc hỡnh thức của chỳng trong một bài toỏn cụ thể vào trong một biểu thức toỏn học.
- Khả năng TD cú tớnh khỏi quỏt nhanh và rộng. - Xu thế suy nghĩ bằng những suy lý rỳt gọn. - Sự TD lụgic lành mạnh.
- Tớnh linh hoạt cao của cỏc quỏ trỡnh TD thể hiện ở sự xem xột cỏch giải cỏc bài toỏn theo nhiều khớa cạnh khỏc nhau, sự di chuyển rễ ràng và tự do từ thao tỏc trớ tuệ này sang một thao tỏc trớ tuệ khỏc, từ tiến trỡnh suy nghĩ thuận sang tiến trỡnh suy nghĩ nghịch.
- Xu hướng tỡm tới cỏch giải tối ưu cho một vấn đề toỏn học, khỏt vọng tỡm lời giải rừ ràng, đơn giản, hợp lý, tiết kiệm.
- Trớ nhớ cú tớnh chất khỏi quỏt về cỏc kiểu bài toỏn, cỏc phương thức giải, sơ đồ lập luận, sơ đồ lụgic.
- Khả năng TD lụgic, trừu tượng phỏt triển tốt”. [21]
Trong cuốn sỏch “Về nghề nghiệp của nhà toỏn học”, tỏc giả A.N. Kụnmụgụrụp cú viết “Để nắm vững toỏn học một cỏch cú kết quả ở mức độ cao thỡ đũi hỏi cần cú những năng lực toỏn học được phỏt triển”. Theo ụng, năng lực toỏn học gồm ba thành phần chớnh liờn quan đến khả năng biến đổi biểu thức chữ, tưởng tượng và suy luận lụgic. Và Kụnmụgụrụp đặc biệt coi trọng thành phần năng lực suy luận lụgic - xem đú như là “nghệ thuật” trong toỏn học. Từ gúc nhỡn này, chỳng tụi nhận thấy đõy chớnh là điểm cốt lừi của
năng lực TD và lập luận Toỏn học.
• Năng lực TD
Năng lực TD là năng lực của con người khi TD - núi cỏch khỏc năng lực TD là khả năng thực hiện tốt những thao tỏc TD trớ tuệ (phõn tớch, tổng
hợp, so sỏnh, ...) nhằm đạt được hiệu quả cao trong hoạt động TD.
• Năng lực cần phỏt triển cho HS qua mụn Toỏn
Theo Trần Kiều (2014,[17]) cú nhiều cỏch xỏc định năng lực được hỡnh thành và phỏt triển qua học tập toỏn do xuất phỏt từ những gúc độ khỏc nhau. Tỏc giả đó xem xột những năng lực cần phỏt triển cho HS phổ thụng qua mụn Toỏn trong mối quan hệ với những năng lực chung, phản ỏnh được đặc thự của việc học Toỏn để đưa ra 6 thành phần, bao gồm:
“1 - Năng lực TD với thao tỏc chủ yếu như: phõn tớch và tổng hợp, so sỏnh, trừu tượng húa, khỏi quỏt húa, ...; đặc biệt lưu ý đến năng lực TD logic trong suy diễn, lập luận, đồng thời coi trọng TD phờ phỏn, sỏng tạo cũng như cỏc yếu tố dự đoỏn, tỡm tũi, trực giỏc TH, tưởng tượng khụng gian.
2 - Năng lực giải quyết vấn đề. Đõy là một trong những năng lực mà mụn Toỏn cú nhiều thuận lợi để phỏt triển cho người học qua việc tiếp nhận khỏi niệm, chứng minh cỏc mệnh đề TH và đặc biệt là qua giải toỏn.
3 - Năng lực mụ hỡnh húa TH từ cỏc tỡnh huống thực tiễn giả định hoặc tỡnh huống thực trong cuộc sống. Đõy là năng lực cần phải được quan tõm nhiều hơn nữa trong cỏc trường phổ thụng ở nước ta.
4 - Năng lực giao tiếp (qua núi hoặc viết) liờn quan tới việc sử dụng cú hiệu quả ngụn ngữ TH (chữ, kớ hiệu, biểu đồ, đồ thị, cỏc liờn kết logic,...) kết hợp với ngụn ngữ thụng thường. Năng lực này được thể hiện qua việc hiểu cỏc văn bản TH, đặt cõu hỏi, trả lời cõu hỏi, lập luận khi chứng minh sự đỳng đắn của cỏc mệnh đề, khi giải toỏn,..
5 - Năng lực sử dụng cỏc cụng cụ, phương tiện học toỏn (bao gồm cỏc phương tiện thụng thường, đặc biệt là phương tiện gắn chặt với việc sử dụng cụng nghệ thụng tin).
6 - Năng lực tự học với phương phỏp phự hợp, đồng thời hợp tỏc được với người khỏc một cỏch hiệu quả trong quỏ trỡnh học tập toỏn.”
Ở một số cụng trỡnh nghiờn cứu dạy học Toỏn theo tiếp cận năng lực người học [18],[39]...) cũng đó tỡm hiểu, xỏc định cỏc thành phần của năng
lực toỏn học đối với HS ...
Những kết quả nghiờn cứu đú ở Việt Nam đó thể hiện ở chương trỡnh giỏo dục phổ thụng mụn Toỏn (2018), [3], năng lực toỏn học đối với HS phổ thụng được xỏc định bao gồm 5 năng lực thành phần là: Năng lực TD và lập luận Toỏn học; năng lực mụ hỡnh húa toỏn học; năng lực giải quyết vấn đề toỏn học; năng lực giao tiếp toỏn học; năng lực sử dụng cụng cụ, phương tiện học toỏn.
1.1.4.2. Năng lực tư duy và lập luận toỏn học
a) Biểu hiện và yờu cầu cần đạt của năng lực tư duy và lập luận toỏn học: Biểu hiện cụ thể của năng lực toỏn học và yờu cầu cần đạt ở tiểu học được thể hiện trong bảng sau :
Biểu hiện Yờu cầu cần đạt
Năng lực tư duy và lập luận toỏn học thể hiện qua việc:
– Thực hiện được cỏc thao tỏc tư duy như: so sỏnh, phõn tớch, tổng hợp, đặc biệt hoỏ, khỏi quỏt hoỏ, tương tự; quy nạp, diễn dịch
– Chỉ ra được chứng cứ, lớ lẽ và biết lập luận hợp lớ trước khi kết luận - Giải thớch hoặc điều chỉnh được cỏch thức giải quyết vấn đề về phương diện toỏn học.
- Thực hiện được cỏc thao tỏc tư duy (ở mức độ đơn giản), đặc biệt biết quan sỏt, tỡm kiếm sự tương đồng và khỏc biệt trong những tỡnh huống quen thuộc và mụ tả được kết quả của việc quan sỏt.
- Nờu được chứng cứ, lớ lẽ và biết lập luận hợp lớ trước khi kết luận.
- Nờu và trả lời được cõu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề. Bước đầu chỉ ra được chứng cứ và lập luận cú cơ sở, cú lớ lẽ trước khi kết luận.
b) Vai trũ và mối quan hệ của năng lực TD và lập luận Toỏn học
Trong 5 loại năng lực thành phần được đưa vào yờu cầu phỏt triển năng lực toỏn học cho HS qua mụn Toỏn ở trường phổ thụng [3], thỡ năng lực TD
và lập luận Toỏn học được đặt ở vị trớ đầu tiờn - thể hiện đặc trưng của TD toỏn học ở những tỡnh huống cần đến suy luận và chứng minh:
1.Năng lực TD và lập luận Toỏn học; 2.Năng lực mụ hỡnh hoỏ toỏn học; 3.Năng lực giải quyết vấn đề toỏn học; 4.Năng lực giao tiếp toỏn học;
5.Năng lực sử dụng cụng cụ, phương tiện học toỏn.
Cú thể thấy: trong năng lực toỏn học, thành phần TD và lập luận Toỏn học thể hiện vừa thể hiện được đặc trưng của TD toỏn học, vừa mang đặc thự khoa học suy diễn của toỏn học. Trong những tỡnh huống xõy dựng và vận dụng kiến thức toỏn học (khỏi niệm, tớnh chất định lý, quy tắc và phương phỏp toỏn học, giải bài tập toỏn), người ta đều cần đến suy luận và chứng minh (cũn gọi là lập luận toỏn học).
Ta chỳ ý rằng: Suy luận toỏn học gồm hai loại:
1 - Suy luận (nghe) cú lý: Thực chất là suy luận quy nạp (khụng hoàn toàn). Trong toỏn học, người ta dựng đến suy luận quy nạp trong những tỡnh huống ban đầu khi cần hỡnh thành kiến thức mới.
2 - Suy luận chứng minh: Thực chất là suy luận diễn dịch (hợp lụgic) - loại suy luận mà cú quy tắc đảm bảo rằng “Nếu đi từ những căn cứ đỳng thỡ kết quả thu được chắc chắn là đỳng”; cũn chứng minh chớnh là một chuỗi suy diễn dựa trờn những căn cứ đó được coi là đỳng đắn.
Trong toỏn học, người ta dựng đến suy luận chứng minh khi cần xỏc nhận tớnh đỳng đắn của kiến thức mới.
Trong dạy học Toỏn, năng lực TD và lập luận Toỏn học gắn liền với những năng lực được hỡnh thành và phỏt triển ở HS thể hiện ở:
• Với năng lực giải quyết vấn đề: Thực chất đõy là tỡnh huống hoạt động tổng hợp về TD, trong đú cần đến cỏc năng lực TD để thực hiện được cỏc thao tỏc TD trong quỏ trỡnh phỏt hiện và giải quyết vấn đề.
• Với năng lực TD (núi riờng là TD lụgic) - mà theo Trần Kiều [17] gắn bú với những thao tỏc chủ yếu như: phõn tớch và tổng hợp, so sỏnh, trừu tượng húa, khỏi quỏt húa, ... (mà thực chất là dựng để lập luận, suy diễn)
• Với năng lực TD lụgic (thể hiện ở những tỡnh huống lập luận, suy diễn),
năng lực TD và lập luận toỏn học thể hiện cả suy luận quy nạp (khi HS phỏn đoỏn và lựa chọn) và suy luận diễn dịch (khi HS chứng minh).
• Với năng lực TD thống kờ
Trong 5 thành phần của năng lực TD thống kờ trong học Toỏn [46]:
1.Nhận biết, phõn biệt cỏc hiện tượng tất yếu - ngẫu nhiờn;
2.Sử dụng và kết hợp ngụn ngữ mang đặc trưng thống kờ, xỏc suất với ngụn ngữ tự nhiờn và ngụn ngữ toỏn học;
3.Phỏt hiện tớnh quy luật thống kờ ẩn giấu trong đỏm đụng cỏc hiện tượng ngẫu nhiờn;
4.Phỏt hiện và giải quyết vấn đề liờn quan tới những tỡnh huống mang ý nghĩa thống kờ, xỏc suất.
5.Vận dụng tri thức thống kờ, xỏc suất vào cỏc tỡnh huống cụ thể; cú thể thấy, HS cần đến năng lực TD và lập luận toỏn học để thực hiện trực tiếp những kĩ năng 1, 2, 3, 4 và sử dụng tổng hợp đối với kĩ năng 5.
• Với năng lực TD sỏng tạo: Cú thể thấy với HS giỏi toỏn, mục tiờu phỏt triển tư duy sỏng tạo là cực kỳ quan trọng, và để sỏng tạo một cỏch hiệu quả, HS cần đến năng lực TD và lập luận toỏn học trong nhiều tỡnh huống đũi hỏi phải dựng cỏc thao tỏc trớ tuệ để lập luận, phỏn đoỏn, lựa chọn, bỏc bỏ hoặc chứng minh.
d) Định hướng phỏt triển năng lực tư duy và lập luận toỏn học qua mụn Toỏn
Năng lực TD và lập luận toỏn học thể hiện qua việc:
- Thực hiện được tương đối thành thạo cỏc thao tỏc TD, đặc biệt phỏt hiện được sự tương đồng và khỏc biệt trong những tỡnh huống tương đối phức tạp và lớ giải được kết quả của việc quan sỏt.
- Sử dụng được cỏc phương phỏp lập luận, quy nạp và suy diễn để nhỡn ra những cỏch thức khỏc nhau trong việc giải quyết vấn đề.
- Nờu và trả lời được cõu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề. Giải thớch, chứng minh, điều chỉnh được giải phỏp thực hiện về phương diện toỏn học.