Cho đường trịn (O R; ) và một điểm M cố định khơng nằm trên đường trịn. Qua M kẻ hai đường thẳng. Đường thẳng thứ nhất cắt (O R; ) tại A và B. Đường thẳng thứ hai cắt (O R; ) tại C và D thì ta cĩ hệ thức M A M B. = M C M D. .
Hệ thức đúng cả hai trường hợp điểm M nằm bên trong và bên ngồi đường trịn.
Dạng 1. Chứng minh hai gĩc bằng nhau hoặc so sánh các gĩc.
Câu 17. Cho ∆A B C nhọn nội tiếp đường trịn (O R; ) cĩ đường cao A H . Kẻ đường kính A D . a) Tính gĩc ACD.
b) Chứng minh BAH =OAC.
Câu 18. Cho đường trịn (O R; ) đường kính AB và một dây cung AP. Tia AP cắt tiếp tuyến tại B của đường trịn ở T . Chứng minh
a) AOP=2ATB
Thầy H
b) APO=PBT
Dạng 2. Tính số đo gĩc
Câu 19. Cho ∆A B C nội tiếp đường trịn (O R; ). Các cung nhỏ AB BC CA, , cĩ số đo lần lượt là
0 0 0
10 , 20 , 30
x+ x+ x+ . Tính số đo các gĩc của tam giác A B C .
Câu 20. Cho hình 36. Biết BD là đường kính của (O R; ), 0 40
BAC= . Tính số đo của gĩc CBD.
Câu 21. Cho ∆A B C nhọn cĩ 0 60
BAC= . Vẽ đường trịn đường kính BC tâm O cắt AB AC, tại D, E.
Chứng minh 0 60 ODE= . Dạng 3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng Câu 22. Cho ∆A B C nhọn cĩ 0 45
BAC= nội tiếp đường trịn (O R; ). Các đường cao BH CK, cắt đường trịn (O R; ) tại D E, . Chứng minh D O E, , thẳng hàng.
Câu 23. Hai đường trịn (O R; ) và (O′ ′;R ) cắt nhau tại A và B sao cho OAO′ 0 90
= . Lấy điểm C thuộc ( )O′ và ở bên ngồi ( )O . Kẻ các tia CA CB cắt đường trịn , ( )O tại D E, . Chứng minh D O E, , thẳng hàng.
Dạng 4. Chứng minh hai đường thẳng vuơng gĩc.
Câu 24. Trong đường trịn (O R; ) cĩ dây A C và BD vuơng gĩc với nhau tại I . Gọi M là trung điểm
BC. Chứng minh IM ⊥ AD .
Câu 25. Cho tam giác A B C nội tiếp đường trịn (O R; ). Tia phân giác gĩc (O R; ) cắt đường trịn (O R; ) tại D. Đường trịn tâm D, bán kính DB cắt đường thẳng AB tại Q (khác B), cắt đường thẳng
A C tại P (khác C). Chứng minh AO⊥PQ.
Dạng 5. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, một đoạn bằng tổng hai đoạn khác.
Câu 26. Cho ∆A B C nhọn nội tiếp đường trịn (O R; ). Đường cao AD BE, của ∆A B C cắt nhau tại H.
A D cắt đường trịn tại I . Chứng minh DH =DI.
Câu 27. Cho ∆A B C đều nội tiếp đường trịn (O R; ). Lấy M nằm trên cung BC. Chứng minh rằng