Trong hình 65 thì BCE gọi là gĩc cĩ đỉnh ở bên ngồi đường trịn.
Định lí: Số đo gĩc cĩ đỉnh nằm bên ngồi đường trịn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.
Dạng 1. Tính số đo gĩc, số đo cung
Câu 40. Cho hình vẽ, biết số đo cung A C là 300. Tìm số đo của cung BD.
Câu 41. Cho hình vẽ. Biết BC là đường kính và số đo cung A C là 1200. Tính số đo của AMC.
Thầy H
Dạng 2. Chứng minh hai gĩc bằng nhau hoặc một hệ thức giữa các gĩc.
Câu 42. Từ điểm A ở bên ngồi đường trịn ( )O , kẻ tiếp tuyến AB và cát tuyến A C D . Vẽ dây BM
vuơng gĩc với tia phân giác gĩc B A C tại H, cắt CD tại E. Chứng minh BM là đường phân giác gĩc
C B D .
Câu 43. Từ điểm P nằm ngồi đường trịn ( )O , kẻ tiếp tuyến PA. Từ trung điểm B của PA kẻ cát tuyến B C D. Các đường thẳng PC PD, cắt đường trịn theo thứ tự tại E F, . Chứng minh
DCE=DPE+CAF .
Dạng 3. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
Câu 44. Cho đường trịn ( )O và một dây AB. Vẽ đường kính CD ⊥AB, (D∈AB nhỏ). Trên cung nhỏ
BC lấy điểm N. Các đường thẳng CN DN, cắt cạnh AB tại E F, . Tiếp tuyến của đường trịn ( )O tại N
cắt cạnh AB tại I . Chứng minh IF = IN = IE.
Dạng 4. Chứng minh hai đường thẳng vuơng gĩc
Câu 45. Từ điểm E ở bên ngồi đường trịn ( )O kẻ hai cát tuyến EAB EDC, sao cho A B<C D. Tia
DA và CB cắt nhau tại F. Tia phân giác của gĩc CEB và CFD cắt nhau tại I . Chứng minh EI ⊥ IF.
C- BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1. Cho hình vẽ. Tìm số đo cung CD.
2. Cho hình vẽ, biết số đo cung BD là 1000. Tìm số đo cung A C .
3. Cho đường trịn (O R; ) đường kính AB. Trên nửa đường trịn đường kính AB, lấy dây C D = R. Gọi
M là giao điểm của A C và BD, Nlà giao điểm A D và BC. Tính AMB và ANB.
4. Cho đường trịn ( )O , ( )O′ tiếp xúc ngồi tại A. Đường thẳng O O′ cắt đường trịn ( )O , ( )O′ tại ,
M B. Kẻ một tiếp tuyến M C tới đường trịn ( )O′ . M C cắt đường trịn ( )O tại N. Chứng minh
BmC = AnC+ ApN
Thầy H
5. Cho ∆A B C nội tiếp đường trịn ( )O . Gọi M N, là điểm chính giữa cung AB, cung BC, A N cắt
C M tại I .
a) Chứng minh ∆BNI cân
b) Gọi M N cắt AB tại K. Chứng minh IK // B C .
6. Cho tứ giác A B C D cĩ 4 đỉnh thuộc đường trịn ( )O . Gọi Plà điểm chính giữa cung AB (phần khơng chứa C D). Các dây , AD PC, kéo dài cắt nhau tại I , các dây BC PD, kéo dài cắt nhau tại K. Dây A C
cắt PD tại M , dây PC cắt BD tại N. Chứng minh CID=CKD và CMD=CND.
7. Cho ∆A B C cân tại A nội tiếp đường trịn ( )O . Trên tia đối của tia CB ta lấy điểm D. Gọi A D cắt đường trịn tại E. Chứng minh ABE= ADC.
8. Trên đường trịn ( )O lấy các điểm A C B A C B, 1, , 1, , 1 theo thứ tự đĩ. Chứng minh rằng nếu 1; 1; 1
AA BB CC là đường phân giác của các gĩc trong tam giác A B C thì chúng là đường cao của tam giác 1 1 1
A B C .
9. Cho đường trịn ( )O cĩ ba dây AB AC BD bằng nhau sao cho hai dây , , AC BD, cắt nhau tại M tạo thành AMB=900. Tính số đo cung nhỏ AB.
Thầy H
§6. CUNG CHỨA GĨC
1. Bài tốn quỹ tích cung chứa gĩc
Với đoạn thẳng AB và gĩc α ( 0 0)
0 < <α 180 cho trước thì quỹ tích các điểm M thỏa mãn AMB=α là hai cung chứa gĩc α dựng trên đoạn AB.
Chú ý:
Hai cung chứa gĩc α dựng trên đoạn AB là hai cung trịn đối xứng nhau qua AB. Hai điểm A B, thuộc quỹ tích.
Khi α =900 thì quỹ tích các điểm nhìn đoạn AB cho trước dưới một gĩc vuơng là đường trịn đường kính AB.
2. Cách giải bài tốn quỹ tích.
Muốn chứng minh quỹ tích(tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất x là một hình H nào đĩ, ta phải chứng minh hai phần
Phần thuận: Mọi điểm cĩ tính chất x đều thuộc hình H. Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều cĩ tính chất x.
Kết luận: Quỹ tích (tập hợp) các điểm M cĩ tính chất x là hình H
Dạng 1. Quỹ tích là cung chứa gĩc α.
Câu 48. Cho nửa đường trịn ( )O đường kính AB cố định. Điểm C chuyển động trên nửa đường trịn. Ở phía ngồi ∆A B C , vẽ ∆B C D vuơng cân tại C. Tìm quỹ tích điểm D.
Dạng 2. Chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường trịn.
Câu 49. Cho ∆A B C nội tiếp đường trịn ( )O . Một dây D E song song với BC cắt A C ở F. Tiếp tuyến tại B cắt D E ở I . Chứng minh A I B F, , , cùng thuộc một đường trịn.
Câu 50. Từ điểm S ở ngồi đường trịn ( )O , kẻ tiếp tuyến S A, SB và cát tuyến S C D với đường trịn. Gọi I là trung điểm CD. Chứng minh 5 điểm A I O B S, , , , cùng thuộc một đường trịn.
Dạng 3. Dựng tam giác biết một cạnh, gĩc α đối diện với cạnh đĩ và một yếu tố khác.
Câu 51. Dựng ∆A B C biết 0
3 , 50
BC = cm BAC= và trung tuyến AM=2,5cm.
Câu 52. Dựng ∆A B C biết 0 3 , 40
BC = cm A= , đường cao AH=2,5cm.
Thầy H
Dạng 4. Tìm giá trị lớn nhất.
Câu 53. Cho ∆A B C cĩ 0 3 , 60
BC= cm A= . Tính độ dài lớn nhất của cạnh A C .
Dạng 5. Chứng minh điểm nằm bên ngồi, bên trong cung chứa gĩc α.
Câu 54. Cho một cung chứa gĩc 0
50 dựng trên đoạn AB là AmB. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB
chứa AmB lấy hai điểm M N, sao cho 0 50
AMB> , 0
50
ANB< . Chứng minh a) M nằm bên trong đường trịn chứa AmB
b) N nằm bên ngồi đường trịn chứa AmB
C- BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1. Trên đường trịn (O R; ) lấy hai điểm B C cố định sao cho số đo cung , BC là 1280. Lấy A di động trên cung lớn BC. Gọi M là tâm đường trịn bàng tiếp gĩc A của ∆A B C. Chứng minh rằng M nằm trên một cung trịn cố định.
2. Cho đường trịn M cĩ dây B C < 2R. Cho A là điểm chuyển động trên cung lớn BC. Xác định vị trí điểm A để chu vi tam giác A B C lớn nhất.
3. Cho ∆A B C cĩ gĩc B C, nhọn. A H là đường cao, AM là đường trung tuyến, biết BAH =MAC. Gọi E là trung điểm AB.
a) Chứng minh A M E H, , , cùng thuộc một đường trịn. b) Chứng minh BAC =900.
4. Cho hình bình hành A B C D cĩ 0 90
A< . Đường trịn (A AB; ) cắt đường thẳng BC tại E. Đường trịn (C C B; ) cắt đường thẳng AB tại K. Chứng minh
a) D E = D K .
b) A D C K E, , , , cùng thuộc một đường trịn.
5. Cho ∆A B C nhọn nội tiếp đường trịn (O R; ) cĩ BAC=600. Gọi H và I là trực tâm và tâm đường trịn nội tiếp ∆A B C . Chứng minh rằng năm điểm B C O I H, , , , cùng thuộc một đường trịn.
Thầy H
§7. TỨ GIÁC NỘI TIẾP 1. Định nghĩa 1. Định nghĩa
Một tứ giác cĩ bốn đỉnh nằm trên một đường trịn được gọi là một tứ giác nội tiếp đường trịn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp)
Tứ giác A B C D gọi là tứ giác nội tiếp.
2. Định lí
Trong một tứ giác nội tiếp, tổng hai số đo gĩc đối diện bằng 0 180 .