trong quá trình DHKNTH
- Newton đã nói: “trong toán học, những ví dụ có lợi hơn những quy tắc”. Vì vậy, yêu cầu đầu tiên của việc DH bất kỳ một KNTH nào là phải làm sao cho HS có đợc những hình ảnh cụ thể, thực tế về những đối tợng phản ánh trong khái niệm đó, có thể tự mình nêu ví dụ cụ thể về khái niệm đó (biết thể hiện khái niệm), biết nhận ra một đối tợng nào đó có thuộc hay không thuộc khái niệm đã cho (biết nhận dạng khái niệm).
Ví dụ đối với khái niệm “Hàm số”, HS phải biết nhận ra một quy tắc cho t- ơng ứng giữa hai tập hợp là một hàm số dù cách cho quy tắc tơng ứng đó bằng bảng giá trị, công thức hay cặp số , đồng thời HS phải biết lấy các ví dụ cụ thể… mà quy tắc chỉ ra phải là hàm số. Nếu HS không nắm đợc nh vậy thì hiểu biết của HS về khái niệm này chỉ là hình thức, không sử dụng đợc.
Vì vậy, vấn đề có ý nghĩa quan trọng trong việc hình thành đúng đắn KNTH cho HS là lựa chọn, xây dựng một số lợng thích hợp những ví dụ và phản ví dụ điển hình trong đó dấu hiệu bản chất của khái niệm đợc giữ nguyên, còn dấu hiệu không bản chất thì biến thiên qua đó dẫn dắt HS vạch ra dấu hiệu bản chất của khái niệm và khái quát thành ĐNKN.
Cũng nh các PTTQ, các ví dụ và phản ví dụ vừa tham gia vào quá trình hình thành khái niệm, vừa tham gia vào quá trình củng cố khái niệm vì vậy các ví dụ và phản ví dụ cần đợc lựa chọn và xây dựng theo định hớng rèn luyện cho HS các kĩ năng nhận dạng và thể hiện khái niệm, vận dụng ĐNKN vào việc giải bài tập, chứng minh định lý giải quyết các tình huống của thực tiễn.
Theo quan niệm của tác giả bản luận văn này, các ví dụ và phản ví dụ cần trình bày dới dạng những bài tập nhỏ có các câu hỏi (gợi vấn đề) dẫn dắt HS phân tích, tìm tòi lời giải và thông qua đó mà hình thành khái niệm cũng nh củng cố, vận dụng khái niệm.
+ Với các ĐNKN có cấu trúc hội: A(x) ⇔ P1(x) và P2(x) và và P… n(x), các ví dụ đợc xây dựng sao cho đối tợng x∈ A ⇔ P1(x) và P2(x) và và P… n(x), nghĩa là đối tợng x thuộc ngoại diên khái niệm A khi nó đồng thời thoả mãn các tính chất P1, P2, P… n. Còn phản ví dụ đợc xây dựng sao cho x ∉A ⇔P1(x) hoặcP2(x) hoặc hoặc… Pn(x), nghĩa là khái niệm x không thuộc ngoại diên khái niệm A khi nó không thoả mãn ít nhất một trong các tính chất P1,P2, P… n.
Ví dụ: với khái niệm “hình lăng trụ đứng” hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với đáy, các ví dụ cần lấy là những hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với đáy (chỉ thay đổi dấu hiệu đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác, ), còn các phản ví dụ cần lấy là … những hình không phải là hình lăng trụ (các mặt bên không phải là hình bình hành) hoặc là những hình lăng trụ có các cạnh bên không vuông góc với đáy, hoặc là những hình không thoả mãn cả hai điều kiện trên.
Với ĐNKN có cấu trúc hội, khi sử dụng các ví dụ và phản ví dụ để củng cố khái niệm, GV nên hớng dẫn HS làm quen với thuật toán mô tả bởi sơ đồ khối sau đây để tiến hành các hoạt động nhận dạng và thể hiện khái niệm:
0 lim x x→ 0 lim x x→ 0 lim x x→
+ Với các ĐNKN có cấu trúc tuyển: A(x) ⇔ P1(x) hoặc P2(x) hoặc … hoặc Pn(x) các ví dụ xây dựng sao cho đối tợng x∈ A ⇔ P1(x) hoặc P2(x) hoặc P… n(x), nghĩa là đối tợng x thuộc ngoại diên khái niệm A khi nó thoả mãn ít nhất một trong các tính chất P1, P2, ,P… n. Còn phản ví dụ đơc xây dựng sao cho x∉A ⇔P1(x) vàP2(x) và và… Pn(x), nghĩa là đối tợng x không thuộc ngoại diên khái niệm A khi nó đồng thời không thoả mãn các tính chất P1,P2,… Pn.
Ví dụ: với khái niệm “hàm số gián đoạn”: hàm số f(x) gọi là gián đoạn tại điểm x0 khi và chỉ khi (f(x) không xác định tại x0 hoặc không tồn tại
hoặc f(x) ≠ f(x0)). Các ví dụ cần lấy là những hàm số thoả mãn 1 trong 3 điều kiện trên, hoặc là những hàm số thoả mãn 2 trong 3 điều kiện trên, hoặc là những hàm số thoả mãn cả 3 điều kiện trên. Còn các phản ví dụ cần lấy là những hàm số không gián đoạn tại điểm x0, tức là các hàm số liên tục tại điểm x0, đó là những hàm đồng thời thoả mãn 3 tính chất sau: f(x) xác định tại điểm x0, tồn tại f(x) , f(x) = f(x0) f(x) 0 lim x x→
Với ĐNKN có cấu trúc tuyển, khi sử dụng các ví dụ và phản ví dụ để củng cố khái niệm, GV nên hớng dẫn HS làm quen với thuật toán mô tả bởi sơ đồ khối sau đây để tiến hành các hoạt động nhận dạng và thể hiện khái niệm:
Trong DHKNTH, việc tổ chức môi trờng học tập thông qua việc cụ thể hoá
khái niệm bởi các ví dụ trong thực tế đời sống, trong các khoa học khác, qua công tác thực hành có tác dụng tốt đến việc gây hứng thú, phát huy TTCNT ở HS và rèn luyện t duy biện chứng cho HS. Việc bổ sung vào SGK và cụ thể hoá nội dung của các KNTH trong SGK bằng những ví dụ cụ thể và bài tập thích hợp không những làm cho bài giảng dễ hiểu hơn mà còn tạo cho nó tính hấp dẫn, cảm xúc và động viên đợc TTCNT của HS. Sự tác động tơng hỗ đúng đắn giữa PTTQ, ví dụ cụ thể và lời giảng sinh động của GV trong quá trình tìm hiểu các sự vật, hiện tợng, phát hiện ra mối liên hệ giữa chúng với nhau và sự hình thành những biểu tợng và khái niệm khoa học còn có ý nghĩa phát triển khả năng quan sát, trí tởng tợng không gian và t duy lôgic của HS, tức là đã phát huy đợc TTCNT của HS trong quá trình lĩnh hội KNTH.
+
+ -
Muốn cho HS lĩnh hội KNTH một cách sâu sắc, vững chắc, GV cần làm rõ mối liên hệ giữa KNTH và thực tiễn bằng những ví dụ cụ thể. Muốn vậy, GV cần thực hiện những biện pháp sau :
+ Làm rõ nguồn gốc thực tiễn của KNTH;
Ví dụ khái niệm số tự nhiên ra đời do nhu cầu đếm, hình học ra đời do nhu cầu đo lại ruộng đất sau những trận lụt bên bờ sông Nin (Ai Cập),…
+ Làm rõ sự phản ánh thực tiễn của KNTH;
Ví dụ khái niệm vectơ phản ánh những đại lợng đặc trng không phải bởi chỉ số đo mà còn bởi hớng nữa, chẳng hạn vận tốc, lực, Khái niệm đồng dạng… phản ánh những hình có cùng hình dạng nhng khác nhau về độ lớn…
+ Làm rõ những ứng dụng thực tiễn của KNTH;
Ví dụ ứng dụng của đạo hàm để tính vận tốc tức thời, gia tốc, ứng dụng của tích phân để tính diện tích, thể tích Muốn vậy, cần tăng c… ờng cho HS tiếp cận với những bài toán có nội dung thực tiễn trong khi học lí thuyết cũng nh trong khi làm bài tập.
+ Làm cho HS thấy rõ mối liên hệ giữa KNTH và thực tiễn có tính chất phổ dụng, tức là cùng một KNTH có thể phản ánh nhiều hiện tợng trên những lĩnh vực khác nhau trong đời sống.
Ví dụ hàm số biểu diễn bởi công thức y = ax có thể biểu thị mối quan hệ giữa C ( chu vi đờng tròn ) với R (bán kính của nó) là C = 2πR; mối quan hệ giữa V(vận tốc của vật) với a (số vòng quay trong 1 phút) và D (đờng kính của vật) là V= πDa; mối liên hệ giữa P (công suất điện) với U (hiệu điện thế) và I (cờng độ dòng điện) là P = UI; mối liên hệ giữa M (phân tử gam của một chất khí) với d (tỉ khối của một chất khí so với không khí) là M = 29d; mối quan hệ giữa N (số nucleit mã hoá) với A(số axit amin) là N = 3A;…
+ Làm cho HS hấy rõ mối liên hệ giữa KNTH với thực tiễn có tính chất toàn bộ. Muốn thấy rõ ứng dụng của KNTH thì nhiều khi không thể xem xét
từng khái niệm riêng lẻ mà phải xem xét toần bộ một lí thuyết, toàn bộ một lĩnh vực.
Ví dụ: số thực đợc xây dựng xuất phát từ định lí: “không có số hữu tỉ nào mà bình phơng bằng 2”, và số thực lại là cơ sở để xây dựng giải tích toán học, một ngành có nhiều ứng dụng trong thực tiễn.
+ Làm cho HS thấy rõ mối liên hệ giữa KNTH với thực tiễn có tính chất nhiều tầng. Có những KNTH là kết quả sự trừu tợng hoá những đối tợng vật chất cụ thể, nhng cũng có nhiều KNTH nảy sinh do sự trừu tợng hoá những cái trừu tợng đã đạt đợc trớc đó. Do vậy, từ KNTH đến thực tế nhiều khi phải qua nhiều tầng. ứng dụng của một KNTH đợc thể hiện có khi không trực tiếp ngay trong thực tế mà ở một lĩnh vực khác gần thực tế hơn, tức là thể hiện ở một tầng gần thực tế hơn.
Ví dụ giải phơng trình là một lĩnh vực gần thực tế, ứng dụng của nó đã đ- ợc thấy rõ ràng, vì vậy việc vận dụng tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số sẽ giúp cho việc giải phơng trình (3)x + (4)x = (5)x, nh vậy khảo sát hàm số cũng là có ứng dụng thực tế. Tơng tự nh vậy, ứng dụng của KNTH nhiều khi thấy rõ ở những môn học khác gần thực tế hơn, chẳng hạn nh vật lí, hoá học, sinh học Làm việc với những ứng dụng của KNTH trong những môn này… cũng là một hình thức liên hệ toán học với thực tiễn, đồng thời góp phần làm rõ những mối liên hệ liên môn.
- Muốn cho HS lĩnh hội đợc một KNTH, GV phải tổ chức cho các em làm lại đúng trình tự của chuỗi logic mà nhà khoa học đã xác lập đợc khái niệm ấy, bắt đầu từ điểm xuất phát của nó (Nguồn gốc của khái niệm trong hiện thực), tức là GV phải hoàn cảnh hoá lại, cá nhân hoá lại,
thời gian hoá lại khái niệm đó sao cho quá trình lĩnh hội khái niệm KNTH của HS nhất thời “gần giống” quá trình tìm ra nó của các nhà khoa học. Ví dụ, khái
d cx b ax y + + =
niệm “hàm số liên tục” là một khái niệm khó trong giải tích lớp 11 trờng THPT, để giúp HS lĩnh hội đợc khái niệm đó có thể nêu lên hai biểu tợng về khái niệm này.
- “ Có thể nói một cách đơn giản rằng hàm liên tục là hàm mà ta không phải nhấc bút chì khỏi tờ giấy để vẽ đồ thị của nó. Còn hàm gián đoạn là hàm mà đồ thị không thể vẽ đợc nh vậy”. Nh vậy,
HS dễ dàng nhận thức đợc tính liên tục hay không liên tục của hàm thể hiện trong đồ thị y = f(x).
- Trong định nghĩa hàm liên tục có nói đến limx→a f(x) = f(a), khi xây dựng định nghĩa
a x lim
→ f(x) trong Đại số và Giải tích (1994) của Ngô Thúc Lanh có sử dụng ngôn ngữ ε,δ.
Hình ảnh của ε,δ thể hiện một cách trực quan thông qua biểu tợng: “Lấy một hình chữ nhật bằng giấy phủ lên điểm ( a,f(a)) trên đồ thị của y = f(x)”, nếu có thể thu hẹp dần chiều rộng của hình chữ nhật đó sao cho trong một dải tùy ý hẹp, độ chênh lệch của hàm số so với giá trị đang xét, nhỏ hơn chiều cao của hình chữ nhật. Một hàm nh vậy là hàm liên tục tại điểm đã cho.
Nói chính xác hơn, nếu với mọi ε > 0 luôn tìm đợc một hình chữ nhật nằm giữa hai đờng thẳng y = f(a) + ε và y = f(a) - ε với chiều rộng nào đó, sao cho mọi điểm trong bất kỳ dải thu hẹp nào trong chiều rộng, giá trị của hàm không vợt ra khỏi mép trên hoặc mép dới của hình chữ nhật.
Theo “Lý thuyết tình huống” của G.Brousseau, biểu tợng vừa nêu là “Hoàn cảnh hoá” lại định nghĩa về giới hạn của hàm và hàm liên tục
2.3.3. Xây dựng và phát triển khả năng chuyển từ ngôn ngữ thờng sang ngôn ngữ toán học, khả năng thực hiện các thao tác t duy cơ bản trong