- Thuyết trình PH và GQVĐ
1.3.1. Dạy học khái niệm
a/ Vị trí và yêu cầu của dạy học khái niệm Toán học.
Trong môn Toán, việc dạy học các khái niệm Toán học có một vị trí quan trọng hàng đầu. Việc hình thành một hệ thống các khái niệm Toán học là nền tảng của toàn bộ kiến thức toán, là tiền đề hình thành khả năng vận dụng hiệu quả các kiến thức đã học, đồng thời có tác dụng góp phần phát triển năng lực, trí tuệ và thế giới quan duy vật biện chứng cho HS. Thực tiễn dạy học cho thấy, HS không giải đợc bài tập phần lớn là do không hiểu khái niệm toán học tiềm ẩn trong câu hỏi của đề toán.
Việc dạy học các khái niệm Toán học ở trờng THPT nhằm giúp HS dần dần đạt đợc các yêu cầu sau:
- Hiểu đợc các tính chất đặc trng của khái niệm đó. - Biết nhận dạng khái niệm.
- Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa của khái niệm.
- Biết vận dụng khái niểm trong những tình huống cụ thể trong HĐ giải toán cũng nh HĐ thực tiễn
- Hiểu đợc mối quan hệ của khái niệm với các khái niệm khác trong một thống khái niệm.
b/ Các con đờng hình thành khái niệm.
*) Con đờng quy nạp.
Theo con đờng này, xuất phát từ một số trờng hợp cụ thể (chẳng hạn nh m”
hình, hình vẽ, ví dụ cụ thể...), bằng cách trừu tợng hoá và khái quát hoá, phân tích, so sánh...GV dẫn dắt HS tìm ra dấu hiệu đặc trng của khái niệm.
Quá trình tiếp cận một khái niệm theo con đờng này thờng diễn ra nh sau: - GV đa ra một khái niệm cụ thể để HS thấy sự tồn tại của một loạt đối tợng nào đó.
- GV dẫn dắt HS phân tích, so sánh và nêu bật những đặc điểm chung của các đối tợng đang đợc xem xét.(Có thể có cả những đối tợng không có những đặc điểm đó).
- GV gợi mở để HS phát hiện định nghĩa khái niệm bằng cách nêu các tính chất đặc trng của khái niệm.
Quá trình hình thành khái niệm bằng con đờng quy nạp chứa đựng khả năng phát triển những năng lực trí tuệ nh so sánh, trừu tợng hoá, khái quát hoá thuận lợi cho việc HĐ tích cực của HS. Vì thế cần chú trọng khai thác khả năng này trong dạy học toán ở trờng THPT. Tuy nhiên con đờng này đòi hỏi phảI tốn nhiều thời gian và có các điều kiện đã nói ở trên.
*) Con đờng suy diễn.
Trong đó, việc định nghĩa khái niệm mới xuất phát từ định nghĩa từ khái niệm cũ mà HS đã biết.
Quá trình tiếp cận một khái niệm theo con đờng này thờng diễn ra nh sau: - Xuất phát từ một khái niệm đã biết, thêm vào nội hàm của khái niệm đó một số đặc điểm mà ta quan tâm.
- Phát biểu định nghĩa bằng cách nêu tên khái niệm mới và định nghĩa nó nhờ một khái niệm tổng quát hơn cùng với những cùng với những khái niệm hạn chế một số bộ phận trong khái niệm tổng quát đó.
- Đa ra ví dụ đơn giản để minh họa cho khái niệm vừa đợc định nghĩa.
Về hình thành khái niệm mới bằng con đờng suy diễn (có minh họa sự tồn tại của khái niệm thông qua ví dụ) tiềm tàng khả năng phát huy tính chủ động và sáng tạo của HS trong học tập môn Toán, tiết kiệm thời gian. Tuy nhiên, con đờng này hạn chế phát triển năng lực trí tuệ chung nh phân tích, tổng hợp, so sánh...
*) Dạy học khái niệm theo con đường kiến thiết
Trong khi con đờng quy nạp và con đờng suy diễn đợc trình bày nhiều trong cách sách báo, tài liệu về tâm lý học và giáo dục học thì con đờng kiến thiết mới chỉ đợc đề cập trong những bài giảing của Pietzsch. Nội dung mục này đợc trình bày dựa theo tài liệu của ông (xem Pietzsch 1980, tr 14 - 15).
Con đờng tiếp cận một khái niệm theo con đờng kiến thiết thờng diễn ra nh sau:
(i) Xây dựng một hay nhiều đối tợng đại diện cho khái niệm cần được hình thành hớng vào những yêu cầu tổng quát nhất định xuất phát từ nội bộ toán học hay từ thực tiễn;
(ii) Khái quát hóa quá trình xây dựng những đối tợng đại diện, đi tới đặc điểm đặc trng cho khái niệm cần hình thành.
(iii) Phát triển định nghĩa đợc gợi ý do kết quả bớc (ii).
Con đờng này mang cả những yếu tố quy nạp lẫn suy diễn. Yếu tố suy diễn thể hiện ở chỗ xuất phát từ những yêu cầu tổng quát về xây dựng một hay nhiều đối tợng đại diện cho khái niệm cần hình thành. Yếu tố quy nạp thể hiện ở chỗ khái quát hóa quá trình xây dựng những đối tợng đại diện riêng lẻ đi đến đặc điểm tổng quát đặc trng cho khái niệm cần định nghĩa.
c/ Các hoạt động dạy học khái niệm. - HĐ định nghĩa khái niệm.
- HĐ củng cố khái niệm.
- Ngoài ra khi dạy học khái niệm cần chú ý tới + HĐ ngôn ngữ
+ Một số HĐ khác cần rèn luyện cho HS nh: hệ thống hoá, tức là biết nhận ra những mối quan hệ giữa các khái niệm, vận dụng khái niệm vào những bài toán, đặc biệt là những bài toán tổng hợp. Điều đó vừa có tác dụng củng cố khái niệm, đồng thời phát triển năng lực vận dụng Toán học.
d/ Trình tự dạy học khái niệm.
- HĐ1: là HĐ dẫn vào khái niệm, giúp HS tiếp cận khái niệm, có thể thực hiện đợc bằng cách thông qua một ví dụ, hoặc một hiện tợng có trong thực tiễn,...
- HĐ2: là HĐ hình thành khái niệm, giúp HS có đợc khái niệm, có thể thực hiện đợc bằng cách khái quát hoá...
- HĐ3: là HĐ củng cố khái niệm thông qua các HĐ nhận dạng và thể hiện khái niệm; khắc sâu kiến thức thông qua ví dụ và phản ví dụ.
- HĐ4: Bớc đầu vận dụng khái niệm trong bài tập đơn giản. - HĐ5: Vận dụng khái niệm trong bài tập tổng hợp.
Thông qua các HĐ này, chú ý thể hiện đợc các yêu cầu của dạy học khái niệm đã nêu ở trên.
Ví dụ 1: Dạy học khái niệm véctơ.
Khi dạy học khái niệm véctơ, điều đầu tiên chúng ta phải cho HS thấy đợc đại lợng “có hớng” là rất cần thiết, nói một cách khác, thầy cần hình thành biểu t- ợng về khái niệm véctơ để gợi cho HS nhu cầu nhận thức khái niệm mới này. Có thể liên hệ đến vật lý để nói đến các đại lợng vô hớng và đại lợng có hớng.
Chẳng hạn, có thể gợi động cơ xuất phát từ thực tế sau:
“Nếu chỉ biết một tàu thuỷ chạy thẳng đều với vận tốc 25 hải lý một giờ (đại lợng vô hớng) mà không nói rõ nó chạy theo hớng nào thì ta không thể biết sau 3 giờ nữa nó sẽ ở vị trí nào trên mặt biển. Do đó ta phải biểu thị vận tốc của tàu thuỷ bằng một mũi tên để chỉ hớng của chuyển động. Nh vậy, các đại lợng có hớng thờng đợc biểu thị bằng những mũi tên “→" và gọi là những véctơ. Vậy véctơ là gì ?”.
Tiếp theo, thầy giáo có thể dẫn dắt HS nh sau: Giả sử ta có đoạn thẳng AB.
Nếu thêm dấu “→” vào điểm B thì ta có véctơ mà điểm đầu là A và điểm cuối là B, gọi là “véctơ AB”.
Ngợc lại, nếu thêm dấu “→” vào điểm A thì ta đợc véctơ mà điểm đầu là B và điểm cuối là A, gọi là “véctơ BA”.
Để giúp HS tiến hành các HĐ phân tích, so sánh, đối chiếu... lựa chọn những đối tợng có dấu hiệu bản chất của khái niệm véctơ thầy dẫn dắt HS:
- Vậy véctơ là gì ?
- Hãy cho biết điểm khác nhau giữa véctơ và đoạn thẳng ? (Qua đó GV nhấn mạnh điểm khác nhau cơ bản giữa véctơ và đoạn thẳng, đó là một đại lợng vô hớng và đại lợng có hớng).
- Với 2 điểm A và B phân biệt thì ta có đoạn thẳng nào ? Véctơ nào? - Hãy phát biểu định nghĩa véctơ.
Khi HS đã đa ra định nghĩa véctơ, thầy giáo cũng nên nhận xét câu trả lời của HS và “chốt” lại:
Nh vậy: “Véctơ là một đoạn thẳng có hớng, nghĩa là trong hai điểm mút của đoạn thẳng đã chỉ rõ điểm nào là điểm đầu, điểm nào là điểm cuối; Với 2 điểm A
A B
và B phân biệt thì ta có hai véctơ khác nhau là AB và BA Đặc biệt, nếu A và B trùng nhau thì ta có véctơ AA hoặc BB gọi là véctơ không”.
Nhìn một cách khái quát ta thấy tình huống nêu trên là sự thể hiện của một tình huống điển hình khi dạy học véctơ, đó là khám phá định nghĩa véctơ. Các thành phần của tình huống này có thể chỉ ra là:
- Tình huống đợc xây dựng để dạy khái niệm véctơ.
- Tình huống đợc đa ra từ việc gợi động cơ từ thực tế (Liên hệ với môn vật lý).
- Tình huống nhằm giúp HS thấy đợc sự tất yếu phải có định nghĩa véctơ, giúp HS nắm vững định nghĩa khái niệm véctơ, đây là một trong những mục đích chủ yếu khi dạy chủ đề véctơ.
- HĐ toán học của HS trong tình huống là HĐ phân tích, tìm tòi các dấu hiệu bản chất đi đến định nghĩa khái niệm véctơ.
Ví dụ 2: Dạy học định nghĩa hai véctơ bằng nhau.
Sau khi HS đã hiểu thế nào là hai véctơ cùng phơng, cùng hớng, thế nào là độ dài của véctơ, để đi đến định nghĩa hai véctơ bằng nhau chúng ta có thể đi theo cách sau:
Xuất phát từ hình bình hành ABCD, thầy giáo có thể gợi động cơ hình thành khái niệm nh sau:
- Hai véctơ AB và CD có cùng độ dài nhng liệu chúng ta có thể nói rằng hai véctơ này bằng nhau và viết AB = CD đợc không ?
- Còn đối với hai véctơ AB và DC thì sao ? có nhận xét gì về độ dài và h- ớng của chúng ?
HS dễ dàng phân tích và rút ra đợc:
- Hai véctơ AB và CD có cùng độ dài nhng không cùng hớng. - Hai véctơ AB và DC có cùng độ dài, cùng hớng.
Sau đó, thầy ’‘chốt’‘ lại:
“Hai véctơ AB và DC có cùng hớng và cùng độ dài, khi đó ta viết AB =
DC”. Và nêu câu hỏi:
B
A D
- Vậy thế nào là hai véctơ bằng nhau ?
Khi HS đã thực hiện xong HĐ ngôn ngữ (phát biểu chính xác định nghĩa hai véctơ bằng nhau), thầy giáo có thể tổ chức cho HS HĐ nhận dạng và thể hiện khái niệm đó nh sau:
HĐ 1: (HĐ nhận dạng).
Cho 4 điểm A, B, C, D thẳng hàng, AB = CD = 2cm.
- Hãy chỉ ra các véctơ bằng nhau mà có điểm đầu là các điểm A, B, C, D. Từ câu trả lời của HS, thầy lu ý HS, cấu trúc “hội” của định nghĩa hai véctơ bằng nhau (Hai véctơ phải thoả mãn đồng thời 2 điều kiện: Cùng hớng, cùng độ dài).
HĐ 2: (HĐ thể hiện khái niệm).
- Cho véctơ a và một điểm O bất kỳ không nằm trên đờng thẳng chứa a. Hãy xác định vị trí của điểm A sao cho OA = a. Có bao nhiêu điểm A nh vậy?
Thầy giáo có thể phân bậc HĐ thông qua những gợi ý sau: - Véctơ OA = a thì OA phải thoả
mãn những điều kiện gì ? - Về hớng ?
- Về độ dài ?
- Hãy dựng véctơ OA = a.
- Vì sao điểm A duy nhất ? (Do đờng thẳng vẽ qua O song song với đờng thẳng chứa alà duy nhất, đồng thời OA cùng hớng, cùng độ dài với anên A duy nhất).
Ví dụ 3: Lũy thừa với số mũ nguyên âm (đã quy ớc a0 = 1 với a ≠ 0) (i) Xây dựng một đối tợng đại diện
Ta muốn định nghĩa chẳng hạn 3-4. Để đảm bảo phép nâng lên lũy thừa mới này cũng có các tính chất cơ bản của các lũy thừa với số mũ tự nhiên, chẳng hạn am.an = am+n, ta cần có:
3-4.34 = 3-4+4 = 30
Nhng 30 = 1, do đó: 3-4. 34 = 1. Muốn vậy, phải định nghĩa 3-4 và 14
3 .
(ii) Khái quát hóa quá trình xây dựng đối tợng đại diện a
Một cách tổng quát, để đảm bảo lũy thừa với số mũ âm cũng có các tính chất cơ bản của lũy thừa với số mũ tự nhiên, ta cần phải định nghĩa: m 1
m
a a
− = ,
trong đó a là một số thực, còn m là một số tự nhiên.
(iii) Phát biểu một định nghĩa đợc gợi ý do kết quả bớc (ii)
1m m m a a − = Trong đó a là một số thực, còn m là một số tự nhiên. 1.3.2. Dạy học định lý.
a/ Vị trí và yêu cầu của dạy học định lý toán học,
Việc dạy học các định lý toán học nhằm cấp cho HS một hệ thống kiến thức cơ bản của bộ môn, là cơ hội rất thuận lợi để phát triển ở HS khả năng suy luận và chứng minh, góp phần phát triển năng lực trí tuệ.
Việc dạy các định lý toán học cần đạt các yêu cầu:
- Nắm được nội dung các định lý và những mối liên hệ giữa chúng, từ đó có khả năng vận dụng các định lý vào HĐ giải toán, cũng như vào các HĐ ứng dụng khác.
- Làm cho HS thấy được sự cần thiết phải chứng minh chặt chẽ, suy luận chính xác (tuy nhiên phù hợp với nhận thức của HS THPT).
- Phát triển năng lực chứng minh toán học. b/ Các con đường dạy học định lý.
Theo Nguyễn Bá Kim, việc dạy học định lý toán học (trong đó có định lý hình học) đợc thực hiện theo một trong hai con đường sau:
- Con đường suy diễn.
- Con đường có khâu suy đoán.
Việc lựa chọn con đường nào không phải là tuỳ tiện, mà phụ thuộc vào nội dung định lý và điều kiện cụ thể về HS.
1.3.2.1. Dạy học định lý theo con đường có khâu suy đoán.
Theo con đường này, để dạy học một định lý chúng ta thờng đi theo các bước sau:
1/ Gợi động cơ học tập định lý xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trong thực tiễn hoặc trong nội bộ toán học.
2/ Dựđoán hoặc phát biểu một định lý. 3/ Chứng minh định lý.
4/ Vận dụng định lý vừa tìm được để giải quyết, khép kín vấn đềđặt ra khi gợi động cơ.
5/ Củng cốđịnh lý.
1.3.2.2. Dạy học định lý theo con đường suy diễn.
Theo con đường này, để dạy học một định lý chúng ta thờng đi theo các bước sau:
1/ Gợi động cơ học tập như ở con đường thứ nhất.
2/ Xuất phát từ những tri thức toán học đó biết, dùng suy diễn logic dẫn đến
định lý.
3/ Phát biểu định lý. 4/ Vận dụng định lý. 5/ Củng cố định lý.
Như vậy, sự khác biệt căn bản giữa hai con đường nói trên là ở chỗ: Theo con đường có khâu suy đoán thì việc dự đoán, phát hiện diễn ra trước việc chứng minh định lý, còn ở con đường suy diễn thì hai việc này nhập lại thành một. Tuỳ
vào từng nội dung cụ thể của từng định lý mà chúng ta có thể trình bày cách này hay cách kia.
c/ Các HĐ dạy học định lý. i/ HĐ chứng minh định lý.
Dựa vào các quan điểm chủ đạo của quan điểm HĐ, cần chú ý giải quyết các vấn đề sau:
- Gợi động cơ chứng minh.
- Rèn luyện cho HS những HĐ thành phần trong chứng minh. - Truyền thụ những tri thức phương pháp về chứng minh. - Phân bậc HĐ chứng minh.
Gồm có:
- HĐ nhận dạng và thể hiện định lý.
- HĐ ngôn ngữ: chú trọng phân tích cấu trúc cấu trúc logic, cũng như phân tích nội dung định lý, khuyến khích HS thay đổi hình thức phát biểu định lý nhằm phát triển năng lực diễn đạt độc lập ý nghĩ của mình.
- Các HĐ khác nh: khái quát hoá, đặc biệt hoá, hệ thống hoá và kỹ thuật vận dụng định lý trong khi giải bài tập.
d/ Trình tự dạy học định lý.
Trình tự dạy học định lý thờng bao gồm các HĐ sau: - HĐ1: HĐ tạo động cơ học tập định lý.