- Thuyết trình PH và GQVĐ
1.3.4.Dạy học giải bài tập.
1.3.4.1.Vị trí, chức năng của dạy học bài tập toán học.
Theo Nguyễn Bá Kim: “Thông qua giải bài tập, HS phải thực hiện những HĐ nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc hay phương pháp, những HĐ toán học phức hợp, những HĐ trí tuệ phổ biến trong toán học, những HĐ trí tuệ chung và những HĐ ngôn ngữ”.
Mặt khác, ở trờng phổ thông “dạy Toán là dạy HĐ toán học” và có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của HĐ toán học đối với HS. Các bài tập toán ở
trờng phổ thông là một phương tiện rất hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp HS nắm vững tri thức, phát triển năng lực t duy, hình thành kỹ năng kỹ
xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn.
HĐ giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích của dạy học toán của trờng phổ thông, được thực hiện thông qua các chức năng của bài tập toán là: chức năng dạy học, chức năng giáo dục, chức năng phát triển và chức năng kiểm tra.
Có thể hiểu chức năng dạy học của bài tập toán như sau: bài tập toán nhằm củng cố ôn tập hệ thống kiến thức lý thuyết, hoàn thiện các kiến thức cơ bản, nâng cao lý thuyết trong chừng mực có thể, giúp cho HS nhớ và khắc sâu kiến thức đó học.
Bài tập toán còn có chức năng phát triển vì thông qua giải bài tập toán HS
đợc rèn luyện các thao tác trí tuệ, hình thành những sản phẩm của t duy, bồi dưỡng cho HS phương pháp chứng minh toán học.
Tuy nhiên, trong thực tế các chức năng này không bộc lộ một cách riêng lẻ
và tách rời nhau, khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của một bài tập cụ thể, tức là có ý nói chức năng ấy được thực hiện một cách tường minh, công khai.
1.3.4.2. Yêu cầu đối với lời giải.
- Lời giải không có sai lầm.
- Lập luận phải có căn cứ chính xác. - Lời giải phải đầy đủ.
Ngoài ba yêu cầu nói trên, trong dạy học bài tập còn yêu cầu lời giải ngắn gọn, đơn giản, trình bày rõ ràng, hợp lý.
Tìm được một lời giải hay của một bài toán, tức là đã khai thác được những
đặc điểm riêng của bài toán, điều đó làm cho HS “có thể biết được cái quyến rũ
của sự sáng tạo cùng niềm vui thắng lợi"( Pôlia-1975). c/ Phương pháp tìm tòi lời giải.
i/ Tìm hiểu nội dung bài toán.
- Giả thiết là gì? kết luận là gì? Hình vẽ minh hoạ ra sao? sử dụng ký hiệu như thế nào?
- Dạng toán nào? (toán chứng minh hay toán tìm tòi?).
- Kiến thức cơ bản cần có là gì? (các khái niệm, các định lý, các điều kiện t- ơng đương, các phương pháp chứng minh...).
ii/ Xây dựng chơng trình giải
Xây dựng chơng trình giải, tức là chỉ rõ các bớc cần tiến hành: - Bứớc 1 là gì?
- Bớc 2 giải quyết vấn đề gì? -....
iii/ Thực hiện chơng trình giải.
Trình bày lời giải theo các bớc đã được chỉ ra. Chú ý sai lầm thờng gặp trong tính toán, trong biến đổi...
iv/ Kiểm tra và nghiên cứu lời giải
Xét xem có sai lầm không? Có phải biện luận kết quả tìm được không? Nếu là bài toán có nội dung thực tiễn thì kết quả tìm đợc có phù hợp với thực tiễn không? Một điều quan trọng là cần luyện tập cho HS thói quen tìm lại yêu cầu bài toán sau khi giải xong bài đó để HS một lần nữa hiểu rõ hơn chơng trình giải đã đề
xuất, hiểu sâu sắc hơn kiến thức cơ bản đã ngầm cho trong giả thiết. d/ Trình tự dạy học bài tập.
Trình tự dạy học bài tập bao gồm các HĐ sau: - HĐ1: Tìm hiểu nội dung bài toán. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
- HĐ2: Xây dựng chơng trình giải. - HĐ3: Thực hiện chơng trình giải. - HĐ4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
Thông qua các HĐ này, chú ý thể hiện được: Dạy tri thức - Dạy phương pháp - Chú trọng dạy HS cách tìm tòi lời giải.
Trong khuôn khổ của bài viết, chúng tôi khai thác vai trò của các định lý côsin, định lý sin trong việc giải bài tập về Hệ thức lợng trong tam giác và ứng dụng thực tế của chúng.
Ví dụ 1:
CMR trong mọi ∆ABC ta đều có: a = b cosC + c cosB.
GV tổ chức cho HS các HĐ như sau: HĐ1: Gợi động cơ và hớng đích mởđầu.
Đây là bài toán chứng minh đẳng thức, vế phải chứa yếu tố cạnh và góc, vế
trái là cạnh của tam giác. Từ đó hãy tìm hớng chứng minh.
HĐ2: Từ kết quả chứng minh trên, hãy phát biểu đẳng thức tơng tự. HS: b = a cosC + c cosA.
c = a cosB + b cosA. HĐ3:
Hãy cộng vế theo vế của các đẳng thức trên và đề xuất bài toán mới. HS: a + b + c = a(cosB + cosC) + b(cosA + cosC) + c(cosA + cosB). hoặc a + b + c = (b + c) cosA + (a+c) cosB + (a + b) cosC.
HĐ4:
Nhờ định lý côsin chúng ta có thể tính đợc các góc của tam giác theo các cạnh của nó, từ đó chuyển đẳng thức cần chứng minh về bài toán chứng minh các yếu tố cạnh trong tam giác đơn giản hơn và đề xuất thêm bài toán mới. Theo hớng suy nghĩ này các em có thể giải bài tập sau:
CMR trong ∆ABC luôn có:
1/ a2 + b2 + c2 = 2ab cosC + 2bc cosA + 2ac cosB. 2/ 2 abc(cosA + cosB) = (a+b)(a + c - b)(b + c - a). 3/ abc(cosA + cosB + cosC) = a2(p-a) + b2(p-b) + c2(p-c). 4/ bc(b2 -c2) cosA + ac(c2 - a2) cosB + ab(a2 - b2) cosC = 0. Ví dụ 2:
Cho ∆ABC có AB = 8; AC = 9; BC = 10. Một điểm M nằm trên cạnh BC sao cho BM = 7. Tính độ dài đoạn thẳng AM.
A
HĐ1: - Đoạn thẳng AM đợc xem là một cạnh của tam giác nào? - Nếu một cách tính AM?
HĐ2: Yêu cầu HS tính AM trong các trờng hợp sau: TH1: Thay BM = 7 bởi BM = m (0 < m < 10). Tính AM. TH2: Thay ∆ABC ở TH1 bởi ∆ABC bất kỳ và tính AM.
TH3: ∆ABC có BC = a; AB = c; AC = b. Lấy điểm M ∈ BC sao cho BM = m; BC = n, AM = d.
CMR: ad2 = mb2 + nc2 - mna. Ví dụ 3:
CMR trong mọi ∆ABC ta đều có:
sinA = sinB cosC + sinC cosB. (1)
Tổ chức các HĐ với mục đích cho HS thấy được mối quan hệ giữa các tỷ số
lợng giác của các góc trong tam giác, đồng thời luyện tập cho HS các HĐ tơng tự hoá, khái quát hoá.
HĐ1: Với A,B,C là 3 góc trong tam giác, CM: sinA = sin (B + C). (2) HĐ2: Từ (1) và (2) ta có:
Trong mọi ∆ABC ta luôn có:
sinA = sinBcosC + sinCcosB = sin(B+C) (3)
HĐ3: Phát biểu đẳng thức tơng tự đẳng thức (3). HĐ4: Gợi động cơ đểđi đến bài toán tổng quát.
Do A, B, C là các góc của một tam giác nên sốđo góc B, C ∈ (00; 1800) và B + C < 1800. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Đề xuất bài toán tổng quát:
Với 00 < α,β < 1800 và α +β < 1800.
CMR: sin (α+β) = sinα cosβ + sinβcosα . (4) HĐ5: Phát biểu đẳng thức tơng tự.
sin (α−β) = sinα cosβ - sinβcosα . Ví dụ 4:
Cho tứ giác lồi ABCD, gọi α là góc hợp bởi hai đờng chéo AC và BD. Chứng minh rằng diện tích của tứ giác cho bởi công thức S =
21 1
AC.BD.sin α. Nêu kết quả trong trờng hợp tứ giác có hai đờng chéo vuông góc.
GV có thể tổ chức cho HS các HĐ sau A B C D K O H
HĐ1
- Diện tích của tứ giác ABCD có thể đợc xem là tổng của diện tích các tam giác nào ?
(S = S∆ABD + S∆CBD hoặc S = S∆ABC +∆SACD) HĐ2:
- Hãy tính diện tích các tam giác ABD và BCD. Chúng ta mong đợi ở HS:
Kẻ các đờng cao CK, AH, ta có: S∆ABD = 21 AH.BD.
S∆BCD = 21 CK.BD. HĐ3:
- Hãy tính AH theo AO và sinα.
AH = AO.sin α ⇒ S∆ABD = 21 AO.BD.sinα
Tơng tự CK = CO.sin α ⇒ S∆BCD =
21 1
.CO.BD.sinα
- Hãy chứng minh bài toán trên:
HS chứng minh và đi đến kết quả sau: S =
2
1 .AC.BD.sinα
HĐ4: (Đặc biệt hoá cho góc α = 900)
- Hãy tính S trong trờng hợp AC vuông góc BD và phát biểu bài toán.
Trong ví dụ trên HS đợc tập luyện HĐ tính diện tích của tứ giác thông qua diện tích của hai tam giác. Tri thức phơng pháp đợc truyền thụ ở đây là tri thức về HĐ “quy lạ về quen”, nhờ đó HS đã chứng minh đợc bài toán dới sự tổ chức các HĐ của thầy.
Một trong những yêu cầu đặt ra khi dạy hệ thức lợng trong tam giác - chúng tôi cho rằng -đó là cho HS thấy đợc các ứng dụng của chúng trong thực tế cuộc sống. Có thể cho HS giải bài tập sau:
Hai tàu thuỷ cùng xuất phát từ một vị trí A, đi thẳng theo hai hớng tạo với nhau góc 600. Tàu B chạy với tốc độ 20 hải lí một giờ. Tàu C chạy với tốc độ 15 hải lí một giờ. Sau hai giờ hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí (1 hải lí ≈
Thầy gợi động cơ mở đầu nh sau: “Từ hành trình của hai tàu thuỷ, có thể quy về bài toán giải tam giác thông thờng đợc không ?
Nếu xem A, B, C là 3 đỉnh của tam giác ấy”. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
1/ - Hãy tính quãng đờng tàu thuỷ B và C đi đợc sau hai giờ ?
- Khi đó, nếu xem A, B, C là ba đỉnh của một tam giác hãy vẽ hình minh họa.
2/ Hãy tính khoảng cách BC. 3/ (HĐ thể chế hoá của thầy).
“Nh vậy, vận dụng định lý hàm số côsin, chúng ta có thể giải quyết đợc bài toán trên; bằng việc xem A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác tính khoảng cách giữa hai tàu thuỷ chính là tính độ dài đoạn thẳng BC”.