. Bài tập toán: Theo nghĩa rộng, bài tập (bài toán) đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt đến mục đích trông
2.3.1.Rèn luyện cho học sinh kỹ năng thực hiện lược đồ G.polia trong giải toán
b. Loại chưa có sẵn thuật toán.
2.3.1.Rèn luyện cho học sinh kỹ năng thực hiện lược đồ G.polia trong giải toán
trong giải toán
Trong dạy học giải Toán, kỹ năng tìm kiếm lời giải là một trong các kỹ năng quan trọng nhất, mà việc rèn luyện các thao tác tư duy là một thành phần
Phương pháp Tọa độ
Hình học
Phương pháp Véc tơ
không thể thiếu trong dạy học giải Toán. Trong tác phẩm: “Giải một bài toán như thế nào?” của G. Pôlya ông đã đưa ra 4 bước để đi đến lời giải bài toán.
Bước1: Hiểu rõ bài toán:
Để giải một bài toán, trước hết phải hiểu bài toán và hơn nữa còn phải có hứng thú giải bài toán đó. Vì vậy điều đầu tiên người giáo viên cần chú ý hướng dẫn học sinh giải toán là khêu gợi trí tò mò, lòng ham muốn giải toán của các em, giúp các em hiểu bài toán phải giải muốn vậy cần phải: Phân tích giả thiết và kết luận của bài toán: Đâu là ẩn, đâu là dữ kiện? Đâu là điều kiện, yêu cầu của bài toán là gì? kiến thức nào liên quan, hãy vẽ hình thật cẩn thận. Có thể biểu diễn bài toán dưới một dạng khác được không?
Bước 2: Xây dựng chương trình giải:
Để tìm đường lối giải, phải tìm sự liên hệ giữa cái đã cho và cái cần tìm; phải dùng phương pháp phân tích, nếu cần thì xét các ài tập trung gian.
- Kỹ năng huy động kiến thức có liên quan:
* Em đã gặp bài toán này hay bài này ở dạng hơi khác lần nào chưa? Em có biết một bài nào liên quan không? Một định lý có thể dùng được không?.
* Thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay ẩn số tương tự?. * Có thể sử dụng một bài toán nào đó mà em đã có lần giải rồi hoặc sử dụng kết quả của nó không?.
- Kỹ năng dự đoán kết quả phải tìm:
* Em có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan mà dễ hơn không?. Một bài toán tổng quát hơn?. Một trường hợp riêng?. Một bài toán tương tự? Em có thể giải một phần của bài toán?.
* Em đã sử dụng mọi dữ kiện chưa? Đã sử dụng hết điều kiện chưa? Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?.
* Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia, khi đó ẩn được xác định đến chừng mực nào và biến đổi thế nào?.
- Sử dụng phép phân tích đi lên và phép phân tích đi xuống để tìm kiếm hướng giải quyết vấn đề.
Bước 3: Thực hiện chương trình giải:
Khi thực hiện chương trình giải hãy kiểm tra lại từng bước. Em đã thấy rõ ràng là mỗi bước đều đúng chưa? Em có thể chứng minh là nó đúng không?.
Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải đã tìm được:
Học sinh phổ thông thường có thói quen khi đã tìm được lời giải của bài toán thì thoả mãn, ít đi sâu kiểm tra lại lời giải xem có sai lầm thiếu sót gì không, ít quan tâm tới việc nghiên cứu cải tiến lời giải, khai thác lời giải. Vì vậy trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý cho học sinh thường xuyên thực hiện các yêu cầu sau:
- Kiểm tra lại kết quả, kiểm tra lại suy luận.
- Xem xét đầy đủ các trường hợp có thể xảy ra của bài toán.
- Tìm cách giải khác của bài toán: Một bài toán thường có nhiều cách giải, học sinh thường có những suy nghĩ khác nhau trước một bài toán nhiều khi độc đáo và sáng tạo. Vì vậy, giáo viên cần lưu ý để phát huy tính sáng tạo của học sinh trong việc tìm lời giải gọn, hay của một bài toán. Tuy nhiên cũng không nên quá thiên về lời giải hay, làm cho học sinh trung bình và yếu kém chán nản.
Ví dụ 1. Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý bên trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh rằng
MOMF MF ME MD 2 3 = + +
Đây là bài toán ở đầu chương trình hình học 10, việc giải bài toán chỉ sử dụng các phép toán cơ bản của véc tơ để giải.
+. Phân tích bài toán:
Giả thiết bài toán đã cho ta yếu tố nào? khai thác các yếu tố liên quan từ giả thiết?. " Tam giác ABC đều, O là trọng tâm, các chân đường cao Hạ từ M là
D, E, F; Hệ thức khai thác được từ trọng tâm, khai thác từ tam giác đều". (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Bài toán này thuộc kiểu gì? "Thuộc dạng chứng minh đẳng thức véc tơ" Phương pháp để chứng minh một đẳng thức? " Biến đổi vế này bằng vế
kia hoặc ngược lại, hoặc cả hai vế cùng bằng một đại lượng thứ 3"
+/ Xây dựng chương trình giải.
- Khi O là trọng tâm tam giác thì với mọi điểm M nằm trong mặt phẳng, ta có hệ thức nào đã học? MA+MB+MC=3MO(1)
- Từ hệ thức (1) và kết luận bài toán ta có hệ thức nào cần chứng minh
)( ( 2 1 MC MB MA MF ME MD+ + = + + (2)
- Khai thác giả thiết bài toán hãy phân tích và chứng minh(2)
Để tìm ra lời giả cho (2), giáo viên cần định hướng học sinh, qua M hãy kẻ các đường thẳng song song với 3 cạnh tam giác, nhận xét vai trò vị trí của D, E, F với các tam giác mới tạo thành? Khi đó cần sử dụng quy tắc nào để giải (2).
+. Thực hiện chương trình giải.
Do tam giác ABC đều, nên các tam giác MA1A2; MB1B2; MC1C2 cũng là tam giác đều. Vai trò của D; E; F lúc này là trung điểm của các cạnh tương ứng A1A2; B1B2; C1C2.
Khi ta đã chỉ ra được D; E; F lúc này là trung điểm của các cạnh tương ứng A1A2; B1B2; C1C2 thì học sinh sẽ liên hệ ngay với hệ thức đã học đó là
( ) 2 1 2 1 MA MA MD= + ; ( ) 2 1 2 1 MB MB ME = + ; ( ) 2 1 2 1 MC MC MF = +
Cộng vế theo vế ta sẽ được (2) và dễ dàng ta chứng minh được (1). +. Kiểm tra.
Giáo viên cần hướng dẫn các em kiểm tra lại các hệ thức cơ bản như: Quy tắc hình bình hành, hệ thức liên quan đến trọng tâm tam giác, trung điểm của một đoạn thẳng.
Các quy tắc cộng hai véc tơ, cách trình bày từng hệ thức đã đúng chưa, từ đó ghi nhận lời giải bài toán.
Ví dụ 2. Cho hình bình hành ABCD có AB=a; BC=b; BD=m; AC=n. Chứng minh rằng m2 + n2 = 2(a2 + b2).
(bài tập 9 trang 59 sách giáo khoa Hình học 10)
Đây là bài toán thuộc dạng chứng minh đẳng thức đại số, học sinh cũng có thể sử dụng công cụ véc tơ để giải, bằng cách khai thác quy tắc đường chéo hình bình hành sau đó sử dụng tính chất bình phương vô hướng và tính chất của véc tơ đối . Tuy nhiên trong chương này chúng ta đang giảng dạy về công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác, vì vậy cần định hướng học sinh sử dụng kiến thức vừa học để giải, nhằm cũng cố và khắc sâu kiên thức.
Ta có thể rèn luyện cho học sinh tiến hành các bước theo bản gợi ý của G.Polia như sau:
Bạn có thể áp dụng phương pháp này được không? nêu phương pháp chứng minh?
Để biến đổi theo hướng của bạn ta cần làm như thế nào? những bài toán kiểu này bạn đã biến đổi ra sao?
Đối với bài toán này chúng ta sẽ biến đổi vế này bằng vế kia, nhưng nên chọn biến đổi từ vế đơn giản về phức tạp, hạn chế ngược lại.
Ở đây giả thiết cho ta tứ giác ABCD là hình bình hành, bạn khai thác yếu tố nào? " có hai cặp cạnh đối bằng nhau và hai đường chéo cắt nhau tại
trung điểm mổi đường".
Từ khai thác trên, bạn sử dụng công thức, công cụ nào để giải, giải như thế nào? "sử dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến, khai thác tính chất
hai đường chéo hình bình hành giáo nhau tại trung điểm, đưa bài toán từ xét hình bình hành về xét trong tam giác."
Trong tam giác ABD ta có:
42 2 ) 2 ( 2 2 2 2 a b m n = + − (*)
Trong tam giác ABC ta có:
42 2 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
)2 2
(m 2 = a2+b2 −n2 (**)
Cộng vế theo vế của (*) và (**) ta được điều phải chứng minh.
Ví dụ 3. Cho đường thẳng d có phương trình tham số:
+ = + = t y t x 3 2 2
Tìm điểm M∈d và cách điểm A(0;1) một khoảng bằng 5. ( Bài tập 6 trang 80 sách giáo khoa Hình học 10)
Để giải bài toán này học sinh có thể giải theo nhiều cách khác nhau, tuy nhiên cách thông dụng nhất vẫn là sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm
Ta có thể rèn luyện trình tự các bước giải bài toán theo gợi ý của G.Polia như sau.
Bạn hãy cho biết giả thiết, kết luận của bài toán?
Bạn đã giải bài toán dạng này bao giờ chưa, hay gặp bài tập tương tự như thế này chưa?
Công cụ chọn để giải bài toán này là gì? " Khoảng cách giữa hai điểm" Ở đây ta sẽ khai thác giả thiết giả thiết bài toán M∈d, M cách A một khoảng bằng 5.
Vậy bạn sẽ áp dụng nó như thế nào? " Tìm hình chiếu của A(0;1) trên d,
sau đó áp dụng định lý Pytago để tìm điểm cần tìm"
Có thể giải trực tiếp bằng cách xem tọa độ của điểm M đã biết và sử dụng giả thiết MA =5 được không? " được M(2+2t; 3+t), áp dụng MA2=52; giải phương trình bậc hai tìm t thế lại tìm được tọa độ M"
Bây giờ có thể giải bài toán này một cách dễ dàng rồi.
Ví dụ 4. Cho tứ giác ABCD là hình bình hành, chứng minh rằng
)( ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 BC CD DA OA OB OC OD AB + + + = + + +
- Bài toán trên thuộc dạng nào? em hãy nêu giả thiết, kết luận bài toán, vẽ hình.
- Em gặp dạng toán như thế này bao giờ chưa, có liên tưởng đến bài toán nào tương tự không? công cụ để giải bài toán là gì? Từ giả thiết cho tứ giác là hình bình hành em sẽ khai thác điều gì? Khai thác tính chất véc tơ
bằng nhau hoặc đối nhau để sử dụng phương pháp véc tơ; hoặc khai thác hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường để giải theo hướng khai thác định lý đường trung tuyến.
- Nếu khai thác theo hướng sử dụng địng lý đường trung tuyến em sẽ tiến hành giải như thế nào?
Áp dụng định lý đường trung tuyến cho tam giác DAC ta có:
DA2 +DC2=2DO2 + 2 2 2 AC ⇔ DA2+DC2 =2DO2 +2OA2(1) Tương tự,
áp dụng cho tam giác ABC ta có: AB2 +BC2 =2BO2+2OC2 (2)
Từ (1) và (2) ta được điều phải chứng minh.
- Hãy kiểm tra lại các bước giải bài toán.