suất - Thống kê của học sinh Trung học phổ thơng
2.1.3.1 Một số khĩ khăn và sai lầm thường gặp trong giải tốn Xác của học sinh Trung học phổ thơng
Xác suất là loại tốn mới đưa vào chương trình Tốn ở phổ thơng cho nên nhiều bạn lúng túng và dẫn đến sai lầm. Ngay cả đối với giáo viên khi dạy phần này cũng khơng hào hứng. Bởi vì các suy luận khơng hồn tồn giống suy luận tốn học
Theo A.A.Stơliar thì, khơng ít học sinh cịn yếu trong việc nắm cú pháp của ngơn ngữ Tốn học. Học sinh vẫn hay nhầm giữa kí hiệu với khái niệm được định nghĩa.
Theo Nguyễn Bá Kim: “Trong Tốn học, người ta phân biệt cái kí hiệu và cái được kí hiệu, cái biễu diễn và cái được biễu diễn . Nếu xem xét phương diện những cái kí hiệu, những cái biễu diễn, đi vào cấu trúc hình thức và những quy tắc hình thức để xác định và biến đổi chúng, thì đĩ là phương diện cú pháp. Nếu xem xét những cái được kí hiệu, những cái được biễu diễn, tức là đi vào nội dung, nghĩa của những cái kí hiệu, những cái biễu diễn thì đĩ là phương diện ngữ nghĩa”
Nhiều thuật ngữ và kí hiệu tốn học đã được mọi người thừa nhận và sử dụng thống nhất. Nhưng do quan niệm hoặc do thĩi quen, một số nhà Tốn học hoặc một số quốc gia cĩ thể sử dụng những kí hiệu và thuật ngữ khác nhau ứng với cùng một khái niệm, hoặc sử dụng cùng một thuật ngữ hoặc cùng một kí hiệu ứng với những khái niệm khác nhau. Chẳng hạn: Với cùng khái niệm số phần tử của tập hợp A được kí hiệu là n(A) hoặc |A|. G.V.Leibnitz ví ngơn ngữ kí hiệu như sợi chỉ đỏ của nàng Ariane, ơng cho rằng: “Chúng ta sử dụng kí hiệu khơng phải chỉ để diễn đạt sự suy nghĩ của ta cho người khác, mà cịn để đơn giản hố quá trình suy nghĩ của chúng ta”
Ví dụ 7: Khơng phân biệt được A và ΩA, biến cố A và tập con ΩA của khơng gian mẫu các kết quả thuận lợi cho A. Chẳng hạn bài tốn sau:
Gieo hai con xúc xắc cân đối. a) Mơ tả khơng gian mẫu
b) Gọi A là biến cố “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con xúc xắc nhỏ hơn hoặc bằng 7”. Liệt kê các kết quả thuận lợi cho A, tính P(A)
Học sinh sẽ giải như sau:
a) Khơng gian mẫu là Ω ={( )a b a b N; / , ∈ *,1≤ ≤a 6,1≤ ≤b 6} , khơng gian mẫu cĩ 36 phần tử
b) Các kết quả thuận lợi cho A là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6;1 , 5;1 , 5;2 , 4;1 , 4;2 , 4;3 , 3;1 , 3;2 , 3;3 , 3;4 , 2;1 , 2;2 , 2;3 , 2;4 , 2;5 , 1;1 , 1;2 , 1;3 , 1;4 , 1;5 , 1;6 A =
, Biến cố A gồm 21 phần tử. Vậy P(A) = 21 36 = 127
Lời giải trên đã mắc sai lầm ở chỗ học sinh đã đồng nhất biến cố A với tập ΩAmơ tả biến cố A do khơng nắm vững bản chất các khái niệm, học sinh
cĩ cách nhìn rất hình thức. Tuy nhiên kết quả vẫn đúng.
Ví dụ 8: Nhằm lẫn A và n(ΩA), biến cố A và số kết quả thuận lợi của biến cố A. Chẳng hạn bài tốn sau:
Một tổ cĩ 12 học sinh gồm 8 nam và 4 nữ. Chọn một nhĩm lao động gồm 6 học sinh. Tính xác suất để cĩ 4 nam và 2 nữ được chọn.
Học sinh sẽ giải như sau:
Phép thử T: ‘‘Chọn ngẫu nhiên 6 học sinh từ 12 học sinh’’
⇒ Mỗi phần tử của khơng gian mẫu là một tổ hợp chập 6 của 12
phần tử 6
12
( )
n Ω =C
Xét biến cố A: “Cĩ 4 nam và 2 nữ được chọn.”. Để chọn được 4 nam và 2 nữ ta phải thực hiện 2 cơng đoạn liên tiếp:
Cơng đoạn 1: Chọn 4 nam từ 8 nam cĩ 4 8 C Cơng đoạn 2: Chọn 2 nữ từ 4 nữ cĩ C42 ⇒ cĩ 4 8 C . 2 4 C cách chọn ra 4 nam và 2 nữ 2 4 4. 8 A C C ⇒ = Xác suất của A: 4 2 8 4 6 12 . 5 ( ) 17 C C P A C = =
Lời giải trên đã mắc sai lầm ở chỗ học sinh đã đồng nhất biến cố A với n(ΩA) số kết quả thuận lợi của biến cố A do khơng nắm vững bản chất các khái niệm, học sinh cĩ cách nhìn rất hình thức. Tuy nhiên kết quả vẫn đúng.
Trong những trường hợp như thế này giáo viên cần phải chỉ rõ đâu là chỗ sai cho học sinh, để từ đĩ khắc sâu và giúp các em phịng tránh một cách hợp lý.
b) Hiểu sai về khơng gian mẫu
Ví dụ 9: Do những khái niệm về xác suất là mới đối với học sinh nên
các em vẫn cịn sai sĩt về khái niệm khơng gian mẫu. Chẳng hạn, ta xét bài tốn:
Gieo ngẫu nhiên một con xúc xắc cân đối, đồng chất hai lần. Tính xác suất của biến cố cĩ tổng số chấm xuất hiện trên mặt của con xúc xắc hai lần là 8.
Lời giải của học sinh:
Tổng số chấm xuất hiện trên mặt của con xúc xắc hai lần chỉ cĩ thể là 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 nên khơng gian mẫu của phép thử này là 11 kết quả đồng khả năng. Trong đĩ chỉ cĩ 1 kết quả cho tổng là 8 nên xác suất của biến cố ấy là 1
11.
Đánh giá: lời giải trên là sai vì học sinh hiểu khơng đúng về khơng gian mẫu. Khơng gian mẫu là tập hợp bao gồm tất cả các kết quả cĩ thể cĩ của phép thử. Kết quả của phép thử ở đây là con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt nào, con thứ hai xuất hiện mặt nào, chứ khơng phải là tổng số chấm xuất hiện trên mặt hai con xúc xắc. Trong trường hợp này khơng gian mẫu của phép thử cĩ 36 phần tử, trong đĩ số các kết quả thuận lợi cho biến cố này là 5, nên xác suất là 5
36.
c) Sai lầm trong việc lựa chọn các khái niệm, quy tắc để vận dụng vào giải Tốn.
Kiến thức về Tổ hợp và Xác suất cĩ nhiều khái niệm, quy tắc mới mà khi vận dụng vào giải Tốn học sinh rất hay nhầm lẫn và dẫn đến sai lầm.
Ví dụ 10: Trong một lớp học cĩ 20 nam và 23 nữ. Giáo viên chủ nhiệm
cần chọn 2 học sinh đi dự lễ kỉ niệm mừng Quốc khánh. Tính xác suất để 2 học sinh được chọn đi dự lễ phải cĩ một bạn nam và một bạn nữ.
Đa số học sinh sẽ giải như sau: Khơng gian mẫu: n( )Ω =C432 =903
Gọi A là biến cố “2 học sinh được chọn cĩ một bạn nam và một bạn nữ” ( ) 20 23 43 n A = + = ( ) 43 1 ( ) ( ) 903 21 n A P A n = = = Ω
Sai lầm phổ biến học sinh mắc ở đây là tìm số phần tử biến cố A dùng qui tắc cộng ( ) 20 23 43n A = + = . Thực ra ở đây phải dung qui tắc nhân là
( ) 20.23 460
n A = = và ( ) 460
903
P A = .
Ví dụ 11: Với khái niệm tổ hợp và chỉnh hợp, học sinh thường rất khĩ
khăn phân biệt hai khái niệm này dẫn đến sai lầm khi áp dụng vào giải bài tốn xác suất. Chẳng hạn, với bài tốn: Trong một lớp cĩ 20 nam và 23 nữ. Cơ chủ nhiệm chọn ra 2 học sinh để giúp cơ làm hai việc nào đĩ khác nhau. Tính xác suất để trong hai em được chọn cĩ một nam và một nữ.
Học sinh sẽ giải như sau:
Mỗi cách lấy 2 học sinh, trong số 43 học sinh của lớp, là một tổ hợp chập 2 của 43. Do đĩ, khơng gian mẫu gồm các tổ hợp chập 2 của 43 phần tử
và 2
43
( ) 903
n Ω =C =
Gọi A là biến cố “2 học sinh được chọn cĩ một bạn nam và một bạn nữ” ( ) 20.23 460 n A = = 460 ( ) 903 P A =
Cách giải này mắc phải sai lầm ở chỗ: các em chưa phân biệt được giữa hai khái niệm tổ hợp và chỉnh hợp. Ta chú ý rằng việc cơ giáo chủ nhiệm chọn 2 học sinh từ 43 học sinh để làm 2 cơng việc khác nhau ( thứ tự là quan trọng) là chỉnh hợp chập 2 của 43 phần tử. Nên lời giải đúng phải là:
Mỗi cách lấy 2 học sinh, trong số 43 học sinh của lớp, làm 2 cơng việc khác nhau ( thứ tự là quan trọng) là chỉnh hợp chập 2 của 43 phần tử. Do đĩ, khơng gian mẫu gồm các chỉnh hợp chập 2 của 43 phần tử và
243 43
( ) 1806
n Ω = A =
Gọi A là biến cố “2 học sinh được chọn cĩ một bạn nam và một bạn nữ” ( ) 20.23 460 n A = = 460 230 ( ) 1806 903 P A = = .
d) Khĩ khăn trong việc nhận thức các suy luận hợp lí trong sự phân biệt với các suy luận diễn dịch.
Trong mối liên hệ lơgic của Tốn học ứng dụng, khi học Lí thuyết xác suất học sinh buộc phải làm việc với cả suy luận diễn dịch lẫn suy luận hợp lí; thêm vào đĩ cũng tại thời điểm này, các em đã và đang phải rèn luyện sử dụng các suy luận diễn dịch. Do đĩ làm thế nào để học sinh nhận thức được các suy luận hợp lí trong sự phân biệt với các suy luận diễn dịch? Đồng thời làm thế nào để giúp các em sử dụng kết hợp hai suy luận này trong quá trình học Xác suất?
Suy luận hợp lí: “là suy luận cĩ bao hàm những khái niệm hoặc những khẳng định khơng được xác định một cách thật chính xác và đơn trị (những khái niệm hợp lí hoặc những khẳng định hợp lí), nhưng nếu áp dụng nĩ với độ chính xác thích hợp (trong hồn cảnh mà nĩ được áp dụng vào), thì vẫn cĩ khả năng dẫn đến kết quả chấp nhận được” [20, tr. 22].
Suy luận diễn dịch (hay cịn gọi là suy diễn hay suy luận chứng minh) là suy luận theo những quy tắc (quy tắc suy diễn) xác định rằng, nếu tiên đề
(các tiên đề) là đúng thì kết luận ra cũng đúng. Các quy tắc suy diễn nĩi đến ở đây là quy tắc suy diễn của Logic hình thức. Suy luận chứng minh là suy luận đáng tin cậy, khơng chối cãi được và dứt khốt
Nhà sư phạm Xơviết V. V. Firsov đã chỉ rõ rằng: “Việc dạy học một số yếu tố của lí thuyết xác suất ở tường phổ thơng (của Liên Xơ trước đây) gặp phải những khĩ khăn ngầm, mà trong cuộc thử nghiệm người ta khơng chú ý giải quyết chúng” và “Bản chất của những khĩ khăn này ít liên quan đến trình độ giáo trình . . . Do đĩ, những thay đổi về khối lượng và nội dung của tài liệu học tập (thuộc phần lí thuyết) sẽ khơng khắc phục được những khĩ khăn này. Những khĩ khăn này cĩ đặc tính phương pháp luận và bản chất của chúng liên quan đến vấn đề định hướng ứng dụng của giáo trình Lí thuyết xác suất ở trường phổ thơng, điều kiện chủ yếu và cần thiết để đạt được mục đích dạy học” [20, tr. 43].
Ngay trong khi học định nghĩa thống kê của xác suất học sinh đã phải tiếp thu “sự hợp lí”: Người ta chứng minh được rằng khi số lần thử N càng lớn thì tần suất của A càng gần với một số xác định, số đĩ được gọi là xác suất của A theo nghĩa thống kê. Như vậy tần suất được xem là giá trị gần đúng của xác suất.
Ví dụ 12: Chính vì chưa nắm được sự suy luận hợp lí trong suy luận
diễn dịch nên cĩ học sinh giải thích như sau: Khi biết rằng “Xác suất để bạn H bắn trúng bia (khi bạn đĩ bắn vào bia một viên đạn) bằng 0,8” cĩ nghĩa là cứ 10 lần cho bạn H bắn vào bia một viên đạn trong những điều kiện cơ bản khơng đổi của trường bắn thì cĩ đúng 8 lần bạn H bắn trúng bia.
Cách giải thích trên là hồn tồn sai. Để dẫn học sinh đến khẳng định rằng cách giải thích như trên là sai thì phải nhờ sử dụng những mơ tả trực quan, từ đĩ sẽ dẫn các em đến được kết quả dưới đây:
Mệnh đề: “Xác suất để bạn H bắn trúng bia (khi bạn đĩ bắn vào bia một viên đạn) bằng 0,8” phản ánh quy luật: “Nếu gọi xi là số lần xảy ra biến cố B: “Bạn H bắn trúng bia” ở lần thứ i trong k lần đủ lớn thực hiện 10 phép
thử g: “Bạn H bắn vào bia một viên đạn trong những điều kiện cơ bản khơng đổi của trường bắn”, thì mỗi xi riêng lẻ là một giá trị ngẫu nhiên mà cĩ, nhưng trong hầu hết các đợt thực hiện k lần đủ lớn, trung bình cộng
1 (x1 x2 ... xk)
k + + + là luơn luơn bằng hằng số 10.0,8 = 8, khi bỏ qua sai số khơng đáng kể.
Trong ví dụ trên nếu thay số 10 bởi số tự nhiên n bất kì, thì những kết quả thu được vẫn đúng và là những kết quả tương tự với những kết quả trên.
Khi giải các bài tốn Xác suất cĩ nội dung thực tiễn, học sinh buộc phải sử dụng kết hợp các suy luận hợp lí và các suy luận diễn dịch trong trình bày và chứng minh các kết quả đã thu được. Như đã nĩi kĩ năng này là hồn tồn mới đối với học sinh, vì thế học sinh khơng tránh khỏi những khĩ khăn nhất định. ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 13: Một con xúc xắc cân đối đồng chất được gieo 2 lần. Tính xác
suất sao cho tổng số chấm trong hai lần gieo khơng nhỏ hơn 10, nếu số 5 xuất hiện trong lần gieo thứ nhất.
Giải bài tốn này ta phải làm theo các bước sau: Bước 1: Khơng gian mẫu là: Ω ={( )i j; /1 ,≤i j≤6} Ký hiệu A : “Số 5 xuất hiện trong lần gieo thứ nhất”
B : “Tổng số chấm trong hai lần gieo khơng nhỏ hơn 10” Bước 2: Ta tính A={( ) ( ) ( ) ( )5;1 , 5;2 , 5;3 , 5;4 , 5;5 , 5;6( ) ( )} B={( ) ( )4;6 , 6;4 , 5;5 , 5;6 , 6;5 , 6;6( ) ( ) ( ) ( )} Bước 3: Ta áp dụng cơng thức: ( / ) ( ) ( ) P B A P B A P A∩ = Bước 4: Tính: ( ) 2 36 P A B∩ = ; ( ) 6 36 P A = Bước 5: Khi đĩ ( / ) 2 6: 1 0,3 36 36 3 P B A = = ≈
Bước 6: Kết luận P B A( / ) 0,3=
Trong lời giải trên cĩ sự kết hợp cả của suy luận diễn dịch và suy luận cĩ lí, ta khơng bắt học sinh phải chỉ ra rõ ràng bước nào là bước suy luận diễn dịch, bước nào là bước suy luận cĩ lí. Nhưng trong quá trình giải tốn Xác suất học sinh phải hiểu được các bước cần làm, rèn luyện cho học sinh làm được những bước như vậy là gĩp phần rèn luyện kĩ năng làm tốn Xác suất đồng thời gĩp phần phát triển tư duy cho học sinh.
e) Khĩ khăn do ở học sinh cơ sở trực giác cho việc học các yếu tố của Lí thuyết xác suất là chưa cĩ.
Theo Đại Bách khoa tồn thư Xơviết thì trực giác là năng lực nhận thức được chân lý bằng xét đốn trực tiếp khơng cĩ sự biện giải bằng chứng minh
Trực giác tốn học được hiểu với nhiều nghĩa khác nhau và trên thực tế tồn tại nhiều dạng khác nhau. Trực giác cĩ thể coi là sự bừng sáng đột ngột chưa nhận thức được, cĩ thể là trực quan cảm tính "nhận thức trực tiếp khơng phải bằng suy luận của lý trí" (Từ điển Bách khoa tồn thư Việt Nam, tr. 1369), là sự "thấy trực tiếp" các khái niệm hoặc sự kiện trong các tình huống tốn học (được hiểu theo nghĩa rộng bao gồm cả Tốn học hình thức lẫn những tình huống thực tiễn mang đặc trưng tốn học). Ở mức độ cao, trực giác tốn học cho khả năng định hướng nghiên cứu trong các tình huống tốn học mới khơng quen biết, dự đốn được kết quả nghiên cứu và đường lối tìm ra kết quả đĩ, phát hiện những sai lầm rõ ràng, trực giác tốn học là một nhân tố quan trọng trong quá trình nhận thức logic các yếu tố của tốn học, và trong quá trình vận dụng tốn học vào thực tiễn.
Nếu các yếu tố của Đại số và Hình học cĩ được chỗ dựa là trực giác số và trực giác khơng gian tương ứng của học sinh, thì đối với các yếu tố của Lí thuyết xác suất cơ sở tương tự là khơng cĩ. Chính điều này dẫn đến những khĩ khăn ở học sinh khi học các yếu tố của Lí thuyết xác suất.