Nếu điều kiện tồn tại soliton xẩy ra trong buồng cộng hưởng thì sẽ thỏa mãn với bất kỳ dạng xung nào và tại bất kỳ vị trí nào trong sợi quang. Để đơn giản bài toán, trong khuôn khổ của luận án này chúng tôi xem xét điều kiện tồn tại soliton cho xung Gauss có chirp tần số sau [29]:
trong đó,A0 là biên độ đỉnh,T0 là bán độ rộng xung vàC là tham số chirp mô tả quá trình biến dạng xung do sự thay đổi pha theo thời gian (có thể điều khiển bằng cách tử Bragg, hoặc tự biến điệu pha).
Sau khi thay (4.7) vào (4.1) và thực hiện một số biến đổi:
At t 2A t2 1 i.C .A 1 i . C 2 t 2 .A T02T04
, chúng ta nhận được phương trình sau:
Az z 2 A eT0 3 0 DC D g T2 T2 0 0
Quá trình khuếch đại và mất mát xẩy ra liên tục trong một vòng qua lại buồng cộng hưởng cho đến khi đạt được điều kiện ổn định. Với điều kiện đó, chúng ta có thể giả thiết xung sẽ không thay đổi sau khi truyền qua một quãng chiều dài sợi quang. Trong trường hợp này, phía phải của phương trình (4.8) phải bằng không. Bằng cách tách phần ảo và thực, chúng ta nhận được hai phương trình sau:
0 (4.9) và DC g l T2 0 81
Từ thực tế, điều kiện ổn định thỏa mãn với một xung, tức là luôn luôn thỏa mãn trong quá trình xung, tức là ổn định tại mọi thời điểm trong độ rộng xung. Để đơn giản, chúng ta giả thiết điều kiện (4.9) và (4.10) cũng sẽ thỏa mãn tại thời điểm t = 0. Cho t = 0 vào hai phương trình trên, chúng ta tìm được điều kiện sau:
T2 A
2
0 0
gọi là điều kiện tồn tại soliton cho xung Gauss có chirp ban đầu và
g 3 A
0 2 A
0
4 (4.12)
gọi là hệ thức cân bằng năng lượng (năng lượng khuếch đại bằng năng lượng mất mát) cho lời giải ổn định.
Hai điều kiện trên cho chúng ta sự phụ thuộc của biên độA0 , độ rộng xungT0 và tham số chirpC của xung ban đầu vào các tham số khác của laser.
Ví dụ: với các tham số thiết kế cho trước:L 15m ,
2
15 ps2 / km ,
P 5mW sẽ suy
s
30,5 / mW . Đồng thời, giả thiết tham số chirp của xung Gauss C = 5, bán độ rộng xungT0 10 ps , soliton sẽ hình thành ở đầu ra của laser nếu chọn công suất đỉnh làP0A02 0,134mW .
Xung ban đầu này tiếp tục thay đổi trong buồng cộng hưởng cho đến khi đạt được trạng thái ổn định tiếp theo. Chu kỳ hình thành soliton phụ thuộc vào tham số chirp của xung ban đầu, tham số của chất hấp thụ bão hòa và sợi quang. Sau đây, chúng ta xem xét ảnh hưởng của tham số chirp C và tham số tán sắc vận tốc nhóm vào quá trình thay đổi xung trong laser.