Chúng ta xem xét một xung Gauss trong sợi quang tán sắc không hấp thụ. Để mô tả truyền xung ngắn (pico giây) trong môi trường tán sắc tuyến tính, phương trình phi tuyến Schrodinger tổng quát [11], [29] được đơn giản hóa về dạng sau:
i A
z
trong đó: - A là biên độ biến đổi chậm của bao xung; -T t z
là thời gian được đo theo chuyển động của xung với vận
vg tốc nhóm vg d2 - 2 d số tán sắc tuyến tính
-là hệ số truyền tại tần số trung tâm 0 .
Để đơn giản, chúng ta dẫn thời gian và biên độ chuẩn hóa sau:
trong đó,P0 , T0 tương ứng là biên độ đỉnh và độ rộng của xung vào.
Khi đó, biên độA( z , ) được viết dưới dạng biên độ chuẩn hóa như sau:
A( z , ) P0U ( z , ) trong đó,P0 là công suất đỉnh của xung vào.
Sử dụng các phương trình (3.1) (3.3), hàm chuẩn hóaU ( z , ) thỏa mãn phương trình sau:
i
U sgn(
z
T2
trong đó, sgn(2 ) 1 phụ thuộc vào dấu của tham
số tán sắc 2 vàLD 0
2
được định nghĩa là độ dài tán sắc.
Với các lưu ý trên, phương trình (4.4) được viết lại cho hàm chuẩn hóa
U ( z , T ) như sau:
i U 2
Phương trình (3.5) có thể giải được bằng biến đổi Fourier. Như vậy, hàm
U ( z , T ) sẽ có dạng sau [29]:
U (z,T )
Chúng ta quan tâm đến xung Gauss có chirp, do đó, giả thiết trường vào có dạng sau:
U (0,T ) exp
trong đó, C được định nghĩa như tham số chirps tần số (nghĩa là giả thiết tần số của trường thay đổi tuyến tính từ đầu xung đến cuối xung).
Thay (3.8) vào (3.7), hàmU (0, ) sẽ có dạng sau:
Thay tiếp tục (3.9) vào (3.6) và sử dụng đẳng thức đã biết [19] (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
ta có:
U 0,
Sau khi thay (3.11) vào (3.6), ta nhận được biên độU ( z , T ) có dạng sau:
Biến đổi biểu thức đã thu được ở trên chúng ta tìm được dạng tường minh của biên độ U(z, T) như sau:
U z , t
Qua biểu thức (3.11) ta thấy rằng xung Gauss có chirp tần số vẫn giữ nguyên dạng Gauss trong quá trình truyền lan trong sợi quang tán sắc vận tốc nhóm. Tuy nhiên, độ rộng xungT1 của nó thay đổi theo quãng đường truyền z
và liên hệ với độ rộng xung ban đầuT0 bởi hệ thức sau:
hay
1 C