Trong mục 3.1, chúng ta khảo sát quá trình mở rộng xung chirp có độ rộng cỡ picô giây. Với các xung có độ rộng nhỏ hơn picô giây (T0 1ps ), gọi là các xung cực ngắn, trong phương trình truyền lan cần thêm thành phần chứa tham số tán sắc bậc ba ( 3 ). Điều này hoàn toàn hợp lý, vì tham số triển khai /0
chưa đủ nhỏ để bỏ qua như trong trường hợp ở mục 3.1.
Như vậy, đối với xung ngắn phương trình lan truyền cho hàm trường có dạng sau:
i
U 2
z 2
Bằng phương pháp biến đổi Fourier, phương trình (3.6) được biến đổi cho trường truyền lan trong trường hợp này là:
trong đó, hàm biến đổi FourierU (0, )
Trong trường hợp của xung Gauss có chirp, hàmU (0, ) trong (3.9). Sau khi thay vào (3.17) và sử dụng tham số mới:
p
ta nhận được biểu thức sau:
U ( z , T )
trong đó,
b
Số hạngx2 được loại bỏ khi sử dụng phép biến đổi
biếnu vào (3.19) và thực hiện tính tích phân, ta nhận được kết quả theo dạng hàm Ai(x) như sau [19]:
U ( z , T )
Trong (3.18) và (3.21), tham số p phụ thuộc vào tham số của xung và sợi quang. Đối với xung không chirp, tâm phổ của nó nằm chính ngay tại bước sóng tán sắc không, tức là 2 0 , khi đó,p T0 / 2 .
Trong hình 3.2 của mục 3.1, thấy rằng quá trình tiến triển của xung có chirp phụ thuộc vào tham số tán sắc 2 . Trong trường hợp đối với xung cực ngắn, rõ ràng quá trình tiến triển của xung sẽ phụ thuộc vào cả hai tham số tán sắc 2 và 3 . Để có thể so sánh ảnh hưởng của hai số hạng chứa hai tham số trên, chúng ta dẫn ra độ dài tán sắc bậc ba:
L'D T
033 3
(3.22) Hiệu ứng tán sắc bậc ba đóng vai trò quan trọng khi độ dài tán sắc của nó ngắn hơn độ dài tán sắc cảm ứng, tức làL'D LD , hay
T
0 2
3
Đối với xung có độ rộng 100ps (như trong ví dụ trong mục 3.1), điều kiện (3.23) cho thấy 2 103ps2 / km khi 3 0,1 ps3 / km . Tham số tán sắc 2
nhỏ như thế chỉ có thể đạt được khi bước sóng của sóng vào 0 và sóng tán sắc D
khác nhau một lượng 0, 01nm . Trong thực tế, không có thể chọn hai bước sóng chính xác như thế, do đó, nói chung chúng ta có thể bỏ qua 3 khi so sánh với 2 .
Trong trường hợp LD L'D , hiệu ứng tán sắc bậc ba đóng vai trò quan trọng và khi đó, phương trình (3.17) được sử dụng để khảo sát quá trình tiến triển của xung nhờ biến đổi Fourier đối với xung Gauss.
Do tác động đồng thời của hai hiệu ứng nên trong quá trình lan truyền dạng xung sẽ có dạng phức tạp, do đó, giá trị thời gian tại ½ cực đại chưa phải là độ rộng xung. Trong trường hợp này, độ rộng xung chính xác là giá trị trung bình quân phương của độ rộng được định nghĩa như sau [29, 32]:
T2 T 2
trong đó,
Tn U ( z , T )2dT
Tn
U ( z , T )2dT
Sử dụng biến đổi Fourier của cường độ xung:
I ( z , ) U ( z , T )2 exp( i T ) dT
và lấy đạo hàm bậc n theo thời gian, chúng ta nhận được:
lim
Sau khi thay vào (3.25), chúng ta nhận được:
Tn i n lim n n I ( z , ) N c 0 trong đó, (3.24) (3.25) (3.26) (3.27) (3.28)
70 N c U ( z , T ) 2 d T U (0,T ) 2dT.
Theo định lý cuộn của phép biến đổi Fourier, ta viết lại (3.28) như sau:
n
T
Từ (3.9) và (3.17), chúng ta nhận được hàm chirp như sau:
U ( z , )