M Chương 5: Bàn Thêm Về Phép ĐộtBiến Khơng Đơng Bộ
mm Chương 6: Xử Lý Ràng Buộc
Một tính chất khác của khơng gian tìm kiếm lỗi là bảo đảm rằng, với hai điểm x¡, x; bất kỳ trong khơng gian lời giải D, tổ hợp tuyến tính ax;+(I-ø)xz, với œe [0, 1] cũng là điểm trong D. Tính chất này quan trọng khi ta xây dựng các phép lai số học.
'Ta sẽ xét một lớp bài tốn tối ưu được xác định trên một miễn lỗi; những bài tốn này được hình thức hĩa như sau:
Tối ưu hàm ƒữz¿, xz,..., xạ) với tập ràng buộc tuyến tính:
1. Ràng buộc về miễn ï¡<x;¡<u„ Ta viết f <x <w, trong đĩ, Ï = <ử,....l¿>, H= <Hi,,a>, # = <Xu..Xe>. <ử,....l¿>, H= <Hi,,a>, # = <Xu..Xe>. 2. Ràng buộc đẳng thức Áx = B, trong đĩ, z = <x,,....x„>, Á = (gu, b = <b„...bp>, 1< £ <p và L<j <g (p là số phương trình). 3. Ràng buộc bất đẳng thức Cx <= đ, trong đĩ, = (đÿ), z = <ụ,...#„>, đ = <du...,du>, 1 < ý <m và 1 < j < m (m là số bất đẳng thức).
Cách hình thức hĩa như thế thường đủ để xử lý một lớp lớn các bài tốn tối ưu với các ràng buộc tuyến tính của một hàm mục tiêu bất kỳ. Thí dụ bài tốn vận tải phi tuyến, là một trong những bài tốn thuộc lớp này.
Hệ thống GENOCOP, được phất triển bởi Michalewicz, cài đặt cách xử lý ràng buộc vừa tổng quát vừa độc lập bài tốn. Ý tưởng chính là (1) loại trừ các đẳng thức cĩ trong tập ràng buộc, và (2) thiết kế kỹ lưỡng các tốn tử di truyền đặc biệt, đảm bảo giữ được tất cả các nhiễm sắc thể trong khơng gian lời giải ràng buộc.
Trong một số kỹ thuật tối ưu hĩa như qui hoạch tuyến tính, các ràng buộc về đẳng thức rất dễ cho việc giải bài tốn tối ưu, do ta biết, rằng, nếu lời giải tối ưu tổn tại, nĩ sẽ thuộc bể mặt của tập lồi. Vì thế, các bất đẳng thức sẽ được chuyển thành các đẳng thức bằng
116
Tối Ưu Số M
cách thêm vào các biến tạm, và phương pháp lời giải tiến hành bằng cách di chuyển từ đỉnh này đến đỉnh khác trên bể mặt.
Ngược lại, đối với phương pháp phát sinh các lời giải ngẫu nhiên như GA, thì các ràng buộc đẳng thức như thế lại thật phiền tối. Chúng được loại trừ ngay từ đầu với cùng số biến Bải tốn; hành động này cũng xĩa đi một phần khơng gian cân tìm kiếm. Các ràng buộc cịn lại, dưới dạng các bất đẳng thức tuyến tính, tạo thành một tập lồi phải tìm cho lời giải. Tính lỗi của khơng gian tìm kiếm bảo đám rằng tổ hợp tuyến tính các lời giải cũng sẽ là một lời giải mà khơng cẩn kiểm tra ràng buộc ~- đây là đặc trưng được dùng chính trong phương pháp này. Các bất đẳng thức cĩ thể được dùng để phát sinh biên của một biến bất kỳ cho trước: những biên này là động vì chúng phụ thuộc vào các giá trị của những biến khác và cĩ thể được tính tốn tự động một cách hiệu quả.
Giả sử tập ràng buộc đẳng thức được biểu diễn dưới dạng ma
trận:
Axz=b .
Ta giả định rằng cĩ p phương trình độc lập, nghĩa là cĩ p biến Xi, #i„...xp (l,... ipÙ C LH, 2,..., gD cĩ thể được biểu diễn theo các biến khác. Do đĩ, chúng cĩ thể bị loại như sau.
Ta tách đọc mảng A thành hai mảng 4; và 4; sao cho cột thứ 7 của ma trận A thuộc 4;, nếu và chỉ nếu j cíi¿,....iy. Như vậy, a tơn tại. Tương tự, ta tách ma trận C và các vectơ x, ?, ư (nghĩa là
xÌa <xp,...#u>, Ủị = Sl,..g> Và tị = <ui,...„uy>), Rồi thì ta cĩ:
Air + Azx?°=b và đễ dàng thấy rằng:
M Chương 6 : Xử Lý Ràng Buộc