Vớ dụ :
Cho tam giỏc ABC vuụng tai A, đường cao AH. Chứng minh cỏc hệ thức : 2 2 . . AB BH BC AH BH HC
Một bài toỏn cú thể phải sử dựng, kết hợp nhiều phương phỏp mới đi đến lời giải, tuỳ vào từng tỡnh huống bài toỏn cụ thể mà mỗi phương phỏp trờn cú ưu điểm riờng. Trước bất kỳ bài toỏn nào, cụng việc đầu tiờn của người giải toỏn là từ giả thiết và những yờu cầu của bài toỏn phải xỏc định được:
- Thể loại bài toỏn
- Định ra được phương hướng giải
- Tỡm được phương phỏp và cụng cụ thớch hợp để giải
Để làm được những việc đú người ta thường tiến hành một số cỏc biện phỏp tỡm lời giải sau đõy:
- Khai thỏc triệt để giả thiết bài toỏn: Nghiờn cứu đặc điểm về dạng của bài toỏn, nghiờn cứu cỏc điều kiện đặt ra cho cỏc đại lượng và tớnh chất của cỏc biểu thức cú mặt trong bài toỏn.
- Phõn tớch, biến đổi đồng thời giả thiết và kết luận của bài toỏn, làm cho chỳng gần nhau hơn, nổi bật mối quan hệ giữa cỏc yếu tố đú.
- Chuyển hoỏ nội dung bài toỏn, chẳng hạn từ bài toỏn hỡnh học đưa về giải tớch... để thực hiện dễ dàng hơn yờu cầu của bài toỏn.
- Chuyển hoỏ hỡnh thức bài toỏn như biến đổi giả thiết, kết luận về dạng tương đương, đưa về dạng lượng giỏc, đại số hay hỡnh học nhằm thực hiện lời giải được tốt hơn.
_A A _ H _ B _C O
- Lựa chọn cỏc cụng cụ giải toỏn, sử dụng trong lời giải tối ưu nhất.
2.2. Thực trạng dạy học vectơ ở trƣờng THPT
Thụng qua khảo sỏt thực tiễn tỡnh hỡnh học tập của HS và sự trao đổi trực tiếp với cỏc thầy cụ giàu kinh nghiệm giảng dạy mụn toỏn THPT, đặc biệt là hỡnh học 10, chỳng tụi nhận thấy trong việc dạy chương vectơ cú một số vấn đề sau:
2.2.1. Về phớa GV:
- GV cú nhiều cố gắng trong việc tỡm hiểu để nắm vững nội dung kiến thức về vectơ. Tuy nhiờn, trong quỏ trỡnh giảng dạy, do phải đảm bảo sự cõn đối về thời gian giảng dạy cho từng mục nờn nhiều vấn đề GV chưa thể khắc sõu cho HS ngay trờn lớp.
- Vỡ những lý do sư phạm mà một số khỏi niệm cơ bản: vectơ, hướng của vectơ, quan hệ cựng hướng, ngược hướng trong SGK khụng được đề cập một cỏch tường minh mà chỉ mụ tả dựa vào trực giỏc và kinh nghiệm sống. Vỡ vậy trong khi giảng dạy những nội dung này nhiều GV cũn chủ quan, chưa chỳ ý để cung cấp đầy đủ cho HS những biểu tượng trực quan và những vớ dụ thực tế, chưa khắc sõu bản chất của khỏi niệm, chưa hướng dẫn và tạo những tỡnh huống phong phỳ cho HS củng cố cũng như nhận dạng và thể hiện khỏi niệm...
2.2.2 Về phớa HS
Từ chương trỡnh hỡnh học phẳng ở bậc THCS, vào lớp 10 học sinh được tiếp cận ngay hàng loạt khỏi niệm, phộp toỏn hoàn toàn mới như: Mệnh đề, tập hợp, vectơ. Cỏch tư duy về cỏc phộp toỏn trờn cỏc đối tượng này cũng hoàn toàn khỏc so với tư duy về phộp toỏn đó học trước đõy. Do vậy, thời gian đầu cỏc em thường bỡ ngỡ và cũn hay sai lầm khi làm toỏn.
Cú thể núi, trong sỏch giỏo khoa chỉnh lý hiện hành, vectơ và toạ độ là phương phỏp chủ đạo trong giải toỏn hỡnh học, mức độ yờu cầu của tư duy rất cao, vỡ nhiều bài toỏn khụng cần đến hỡnh vẽ, và cú bài cũng khụng thể vẽ tường minh được. Đõy cũng là một khú khăn đối với học sinh.
Hệ thống lý thuyết về vectơ và toạ độ trong chương trỡnh cũng khỏ đầy đủ để giải quyết hầu hết cỏc dạng toỏn cơ bản. Tuy vậy, hệ thống bài tập cũn chưa đầy đủ. Cũng cú thể do thời gian phõn phối cho mụn học, do yờu cầu giảm tải của chương trỡnh. Nhưng đõy cũng chớnh là một mõu thuẫn trong thực hành kỹ năng và phương phỏp cho học sinh.
Một số HS khi mới bắt đầu bước chõn vào học cấp THPT cũn chưa ý thức được rằng, mặc dự thời lượng dành cho mỗi tiết vẫn như cấp THCS (45 phỳt/ tiết) nhưng dung lượng mỗi bài học đó lớn hơn rất nhiều, HS cần phải biết đầu tư thời gian cho việc tự học ở nhà. Tuy nhiờn, nhiều HS chưa biết cỏch thu xếp thời gian biểu hợp lý để tự học và chưa quen với việc tự nghiờn cứu sỏch vở. Dẫn đến cú nhiều HS chưa nắm vững một số nội dung lý thuyết về vectơ, chưa thành thạo hoặc hiểu sai về cỏc phộp toỏn biến đổi vectơ, chưa linh hoạt trong việc sử dụng cỏc quy tắc biến đổi vectơ… Cũng vỡ cỏc lý do trờn, nờn học sinh thường gặp cỏc sai lầm trong khi giải toỏn bằng phương phỏp vectơ và toạ độ. Chỉ rừ cho cỏc em được những sai lầm này cũng là một cỏch để cỏc em nắm lý thuyết vững hơn và trỏnh cỏc sai lầm tương tự khi học hỡnh học khụng gian sau này
2.2.3. Một số sai lầm HS thường mắc là:
Từ chương trỡnh hỡnh học phẳng ở bậc THCS, vào lớp 10 học sinh được tiếp cận ngay hàng loạt khỏi niệm, phộp toỏn hoàn toàn mới như: Mệnh đề, tập hợp, vectơ. Cỏch tư duy về cỏc phộp toỏn trờn cỏc đối tượng này cũng hoàn tồn khỏc so với tư duy về phộp toỏn đó học trước đõy. Do vậy, thời gian đầu cỏc em thường bỡ ngỡ và cũn hay sai lầm khi làm toỏn.
Cú thể núi, trong sỏch giỏo khoa chỉnh lý hiện hành, vectơ và toạ độ là phương phỏp chủ đạo trong giải toỏn hỡnh học, mức độ yờu cầu của tư duy rất cao, vỡ nhiều bài toỏn khụng cần đến hỡnh vẽ, và cú bài cũng khụng thể vẽ tường minh được. Đõy cũng là một khú khăn đối với học sinh.
Hệ thống lý thuyết về vectơ và toạ độ trong chương trỡnh cũng khỏ đầy đủ để giải quyết hầu hết cỏc dạng toỏn cơ bản. Tuy vậy, hệ thống bài tập cũn chưa đầy đủ. Cũng cú thể do thời gian phõn phối cho mụn học, do yờu cầu giảm tải
của chương trỡnh. Nhưng đõy cũng chớnh là một mõu thuẫn trong thực hành kỹ năng và phương phỏp cho học sinh.