Phương trình trạng thái mô tả hiệu ứng áp điện

Đối với các quá trình đẳng nhiệt, phương trình mô tả hiện tượng áp điện được viết dưới dạng ma trận tối giản như sau [34]:

x_m = X_n + E_i (1.12)

D_i = X_m + ε^T_ij^,X E_j (1.13)

Với x_m là độ biến dạng, (m²N^-1) là hằng số đàn hồi trong điều kiện nhiệt độ và điện trường không đổi, dT X

im

, là hệ số dẫn nạp áp điện trong điều kiện nhiệt độ và ứng xuất không đổi (mV-1), dTE

im

, là hệ số áp điện trong điều kiện nhiệt độ và điện trường không đổi (CN-1), εT X

ij

, là hằng số điện môi trong điều kiện nhiệt độ và ứng suất không đổi.

Do đó độ biến dạng áp điện (hoặc điện tích) thuần túy chỉ nhận được trong điều kiện ứng suất bằng không (không có điện trường). Phương trình (1.12) và (1.13) được cho là hệ phương trình áp điện cơ bản.

Hệ biến số độc lập (T, E, X) được chọn lấy đạo hàm là tùy ý. Sử dụng phương pháp nhiệt động lực học và kết hợp với các biến số độc lập cho 6 phương trình áp điện trong điều kiện đẳng nhiệt :

X_m = x_n - E_i (1.14) D_i = eE imx_m + ε_ij^xE_j (1.15) X_m = x_n - D_i (1.16) E_i = -hD imx_m + β_ij^xD_j (1.17)

x_m = X_n + D_i (1.18)

E_i = -gD

imX_m + β^x_ijD_j (1.19)

Với i, j = 1, 2, 3 và m, n = 1, 2, 3,…, 6. e, g và h là tenxơ hệ số áp điện và β

là độ cảm điện môi nghịch (χ-1). Một kết quả quan trọng của nhiệt động lực học vật liệu sắt điện đó là hệ số áp điện có cùng dạng tương đương về mặt nhiệt động lực học : d^X = d^E, g^D = g^X, e^x = e^E, và h^D = h^x và các chỉ số trên thường được bỏ qua.

Để xét sự khác biệt giữa hệ số g và d, chỉ số mũ của ma trận được bỏ qua cho đơn giản. Phương trình D = dX cho biết điện tích áp điện được đo trên mẫu ngắn mạch, với dòng điện tự do vào mạch ngoài. Nếu mẫu là hở mạch, thì các điện tích này sẽ tích tụ trên bề mặt mẫu và tạo ra điện trường E trong mẫu. Điện trường này phụ thuộc vào điện dung của mẫu (điện tích = điện dung * hiệu điện thế) và có mối liên hệ với ứng suất cơ học theo biểu thức E = -gX, trong đó g = d/ε. Các phương trình (1.12)-(1.19) được sử dụng trong các bài toán cụ thể phụ thuộc vào điều kiện biên đàn hồi và điện. Các hệ số của tenxơ áp điện có liên quan đến nhau theo các phương trình sau : d_im = e_in sE nm = ε_ij^Xg_jm (m V^-1 hoặc C N-1 ) (1.20) e_im = d_in cE nm = h_jm (C m^-2 hoặc V m N^-1) (1.21) g_im = h_insD nm = βX ij d_jm (m² C^-1 hoặc N V^-1m^-1) (1.22) h_im = g_in cD nm = β_ij^xe_jm (N C^-1 hoặc V m-1) (1.23) Với d là điện tích hoặc hệ số biến dạng, e là hệ số ứng suất hoặc hệ số điện tích, h hệ số ứng suất hoặc hệ số điện thế, và g là hệ số biến dạng hoặc hệ số điện thế. Do tương tác giữa trường điện và trường đàn hồi, giá trị của hằng số điện môi và hệ số đàn hồi được đo trong các điều kiện thực nghiệm khác nhau sẽ không giống nhau. Ví dụ hằng số điện môi được đo trên mẫu bị nén (điều kiện hệ số biến dạng không đổi (hoặc bằng 0)). Các chỉ số tenxơ được bỏ qua cho đơn giản. Kết hợp phương trình (1.14) và (1.21), với x = 0, ta có X = -eE = -(d/s^E)E. Thay ứng suất này vào phương trình (1.13) cho véctơ cảm ứng điện D = (ε^X – d²/s^E)E = ε^xE, với

εx

= ε^X(1 – d²/s^EεX

) = ε^X(1 – k²) (1.24) Được gọi là hằng số điện môi trong điều kiện bị nén (độ biến dạng bằng 0). Hệ số k thỏa mãn k² = d²/s^EεX

được gọi là hệ số ghép điện cơ. Trong một số chất sắt điện k có thể lớn nằm trong khoảng 0,7-0,9 [132] dẫn đến sự chênh lệch giữa hằng số điện môi tự do và hằng số điện môi trạng thái nén cũng lớn khoảng 50-80%.

Điều tương tự được chỉ ra với hệ số đàn hồi s^E được đo trong điều kiện ngắn mạch (điện trường E không đổi hoặc bằng 0), theo phương trình :

s^D = s^E(1 – d²/s^EεX

) = s^E(1 – k²) (1.25) Điều này cho thấy tầm quan trọng của điều kiện biên thí nghiệm khi đo tính chất của vật liệu sắt điện. Những hạn chế về mặt thực nghiệm tương tự cũng tồn tại trong các phép đo hệ số hỏa điện.