III – Dạng tốn quỹ tích
BHI BHM 90 ,ANH NHE 90 =
E B= AB (3) do A// KP,
BHI BHM 90 ,ANH NHE 90 =
Mà BHM NHE( vì đối đỉnh)ã = ã => BHI ANHã = ã do đĩ: AH HN ANH BIH (1) BI IH ∆ : ∆ => = Chứng minh tơng tự: AH HM AHM CIH (2) CI IH ∆ : ∆ => = Từ (1) và (2) và BI = CI suy ra HM HN HM HN IH = HI => = .
Mà HI ⊥MN tại H suy ra tam giác IMN cân tại I *) Trờng hợp 2: M thuộc tia đối của tia BA
ã ã ã
CAH CBH (cùng phụ với ACB)=
ã 0 ã
ANH 90= +NHE (gĩc ngồi của )∆
ã 0 ã
BHI 90= +BHM
ã ã
BHM NHE (vì đối đỉnh)=
ã ã
ANH BHI ANH BHI
AH HN
BI IH
= => ∆ ∆
=> =
:
Đến đây chứng minh tơng tự nh trờng hợp 1
Bài 5: (Đề thi tuyển sinh vào THPT tỉnh Hải Dương năm học 2010 - 2011, ngày 08/07) Cho hình vuơng ABCD cĩ độ dài bằng a, M là điểm thay đổi trên cạnh BC (M khác B) và N là điểm thay đổi trên cạnh CD (N khác C) sao cho
ã 0
MAN 45= . Đờng chéo BD cắt AM và AN lần lợt tại P và Q a) Chứng minh tứ giác ABMQ là tứ giác nội tiếp
b) Gọi H là giao điểm của MQ và NP. Chứng minh AH vuơng gĩc với MN
c) Xác định vị trí điểm M và điểm N để tam giác AMN cĩ diện tích lớn nhất
Hướng dẫn giải:
a) Chứng minh tứ giác ABMQ là tứ giác nội tiếp
Theo đề bài tứ giác ABCD là hình vuơng mà BD là đờng chéo => BD là tia phân giác của ABC 90ã = 0 => QBM 45ã = 0
Cũng theo đề bài : MAQ 45ã = 0
Xét tứ giác ABMQ cĩ:
ã ã
QAM QBM= , do đĩ hai điểm A và B cùng nhìn cạnh QM dới một gĩc khơng đổi 450 .
Theo quỹ tích cung chứa gĩc
hai điểm A và B thuộc cùng một cung chứa gĩc 450 dựng trên đoạn QM. Vậy tứ giác ABMQ là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh AH ⊥MN
Tứ giác ABMQ là tứ giác nội tiếp => AQM ABM 180ã +ã = 0
ã 0 ã 0
Mà ABM 90 AQM 90 MQ AN= => = => ⊥
Tơng tự tứ giác ADNP nội tiếp => NP⊥ AM
Xét tam giác AMN cĩ :
MQ⊥ AN và NP ⊥AM (chứng
minh trên). Suy ra H là trực tâm của tam giác AMN
Vậy AH ⊥ MN
c) Xác định vị trí điểm M và N để tam giác AMN cĩ diện tích lớn nhất Xét hai trờng hợp:
*) Tr ờng hợp 1 : M khơng trùng với C
Gọi I là giao điểm của AH và MN thì diện tích của tam giác AMN là:
AMN 1
S AI.MN
2
=
Tứ giác APHQ nội tiếp suy ra PAH PQHã = ã (1) Tứ giác ABMQ nội tiếp suy ra BAM BQMã = ã (2) Từ (1) và (2) => PAH BAMã = ã hay MAI MBAã = ã
Từ đĩ chứng minh hai tam giác vuơng MAI và MAB bằng nhau => AI = AB = a, IM = BM
Tơng tự chứng minh hai tam giác vuơng NAI và NAD bằng nhau => IN = DN => SAMN 1 AI.MN 2 = = 1 a.MN 2 Ta cĩ MN < MC + NC = a – BM + a – DN = 2a – (IM + IN) Vậy MN < 2a – MN hay MN < a => SAMN 1 a.MN 1 a2
2 2
= <
*) Tr ờng hợp 2 : M trùng với C, khi đĩ N trùng với D và AMN ACD nên SAMN= 1 AD.DC 1 a2
2 2
∆ = ∆ =
Vậy tam giác AMN cĩ diện tích lớn nhất bằng 1 a2 2
khi và chỉ khi M C và N D≡ ≡
Bài 6: (Đề thi tuyển sinh vào THPT tỉnh Quảng Nam năm học 2009 - 2010)
Cho đường trũn tõm (O) ,đường kớnh AC .Vẽ dõy BD vuụng gúc với AC tại K ( K nằm giữa A và O).Lấy điểm E trờn cung nhỏ CD ( E khụng trựng C và D), AE cắt BD tại H.
a) Chứng minh rằng tam giỏc CBD cõn và tứ giỏc CEHK nội tiếp. b) Chứng minh rằng AD2 = AH . AE.
c) Cho BD = 24 cm , BC =20cm .Tớnh chu vi của hỡnh trũn (O).
d) Cho gúc BCD bằng α . Trờn mặt phẳng bờ BC khụng chứa điểm A , vẽ tam giỏc MBC cõn tại M .Tớnh gúc MBC theo α để M thuộc đường trũn (O).
Hướng dẫn giải:
a) Chứng minh rằng tam giỏc CBD cõn và tứ giỏc CEHK nội tiếp.
* Tam giỏc CBD cõn
AC ⊥BD tại K⇒ BK=KD=BD:2(đường kớnh vuụng gúc dõy cung) ,ΔCBD cú đường cao CK vừa là đường trung tuyến nờn ΔCBD cõn.
* Tứ giỏc CEHK nội tiếp
ã ã 0
AEC HEC 180= = ( gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn) ; KHC 180ã = 0(gt)
ã ã 0 0 0
HEC HKC 90+ = +90 =180 (tổng hai gúc đối) ⇒ tứ giỏc CEHK nội tiếp
b) Chứng minh rằng AD2 = AH . AE.
Xột ΔADH và ΔAED cú :
ảA chung ; AC ⊥BD tại K ,AC cắt cung BD tại A suy ra A là điểm chớnh giữa cung BAD , hay cung AB bằng cung AD⇒ADB AEDã = ã (chắn hai cung bằng
nhau) .Vậy ΔADH = ΔAED (g-g) ⇒ AD AE AD2 AH AE.
AH = AD ⇒ =
c) Cho BD = 24 cm , BC =20cm .Tớnh chu vi của hỡnh trũn (O).
BK=KD=BD:2 = 24:2 = 12 (cm) ( cm cõu a ) ; BC =20cm
* ΔBKC vuụng tại A cú : KC = BC2−BK2 = 202−122 = 400 144− = 256=16 * ABC 90ã = 0( gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn)
ΔABC vuụng tại K cú : BC2 =KC.AC ⇔400 =16.AC ⇒AC = 25⇒R= 12,5cm C = 2пR = 2п.12,5 = 25п (=25.3,14 = 78.5) (cm)
d)Tớnh gúc MBC theo α để M thuộc đường trũn (O).
Giải: ΔMBC cõn tại M cú MB = MC suy ra M cỏch đều hai đầu đoạn thẳng BC ⇒M ∈
d là đường trung trực BC ,(OB=OC nờn O ∈d ),vỡ M∈(O) nờn giả sử d cắt (O) tại M (M thuộc cung nhỏ BC )và M’(thuộc cung lớn BC ).
* Trong trường hợp M thuộc cung nhỏ BC ; M và D nằm khỏc phớa BC hay AC
Giáo án Dạy thêm Hình học 9
A O B M C E D M’ K H B” D”
do ΔBCD cõn tại C nờn ã ã 0 ã ) : 0 2
BDC DBC (180 DCB 2 90= = − = −α
Tứ giỏc MBDC nội tiếp thỡ
ã ã 0 ã 0 ã 0 ( 0 ) 0 0 0
2 2 2
BDC BMC 180+ = ⇒BMC 180= −BDC 180= − 90 −α =180 −90 + =α 90 +α
* Trong trường hợp M’ thuộc cung lớn BC
ΔMBC cõn tại M cú MM’ là đường trung trực nờn MM’ là phõn giỏc gúc BMC
⇒ ã ã 0 ) : 2 450 2 4 BMM' BMC (90= = +α = +α ⇒ sđBM 'ẳ 0 ) 2 (90 = +α
(gúc nội tiếp và cung bị chắn) sđBDằ =2BCD 2ã = α (gúc nội tiếp và cung bị chắn)
+ Xột BD BM 'ằ <ẳ ⇒2α <900+ ⇔α2 2α − <α2 900 ⇔3α <1800 ⇔00 <α <600 suy ra tồn
tại hai điểm là M thuộc cung nhỏ BC (đĩ tớnh ở trờn )và M’ thuộc cung lớn BC .
Tứ giỏc BDM’C nội tiếp thỡ ã ã 0
2
BDC BM'C 90= = −α
(cựng chắn cung BC nhỏ) + Xột BD BM 'ằ =ẳ ⇒2α =900+ ⇔α2 2α −α2 =900 ⇔3α =1800 ⇔α =600 thỡ M’≡ D
khụng thỏa mĩn điều kiện đề bài nờn khụng cú M’ ( chỉ cú điểm M tmđk đề bài)
+ Xột BD BM 'ằ > ẳ ⇒2α >900+ ⇔α2 2α −α2 >900 ⇔3α >1800 ⇔600<α ≤900 (khi BD
qua tõm O và BD⊥AC⇒ãBCD= α =900)⇒M’ thuộc cung BDằ khụng thỏa mĩn điều kiện đề bài nờn khụng cú M’ (chỉ cú điểm M tmđk đề).
Bài 7: (Đề thi tuyển sinh vào THPT tỉnh Quảng Ninh năm học 2009 - 2010)
Cho điểm M nằm ngồi đờng trịn (O;R). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA , MB đến đ- ờng trịn (O;R) ( A; B là hai tiếp điểm).
a) Chứng minh MAOB là tứ giác nội tiếp.
b) Tính diện tích tam giác AMB nếu cho OM = 5cm và R = 3 cm.
c) Kẻ tia Mx nằm trong gĩc AMO cắt đờng trịn (O;R) tại hai điểm C và D ( C nằm giữa M và D ). Gọi E là giao điểm của AB và OM. Chứng minh rằng EA là tia phân giác của gĩc CED.
Hướng dẫn giải: D C E O M A B
a) Ta cĩ: MA ⊥ AO ; MB ⊥ BO ( T/C tiếp tuyến cắt nhau) => MAO MBOã =ã =900 => MAO MBOã =ã =900
Tứ giác MAOB cĩ : MAO MBOã +ã =900 + 900 = 1800 => Tứ giác MAOB nội tiếp đờng trịn