III – Dạng tốn quỹ tích
i) Vẽ BF ⊥ DE,CG ⊥ DE Chứngminh rằng: AF= AG
k) Chứng minh BF + CG cĩ giá trị khơng đổi khi điểm A chuyển động trên nửa đờng trịn
m) Chứng minh rằng đờng trịn đờng kính FG tiếp xúc với ba đờng thẳng BF, CG, BC
n) Xác định vị trí của A trên nửa đờng trịn để diện tích tứ giác BCGF lớn nhất
o) Tìm vị trí của D và E để hình thang BDEC cĩ chu vi bằng 14 cm, biết BC = 4 cm
p) Gọi I là giao điểm của OD và AB; K là giao điểm của OE và AC. Tứ giác OIAK là hình gì ? Vì sao ?
q) Gọi P là giao điểm của OA và IK. Khi A di chuyển trên nửa đờng trịn thì P chuyển động trên đờng nào ?
r) Xác định vị trí của A để tứ giác OIAK là hình vuơng. Tính diện tích của hình vuơng này, cho biết BC = 6cm
s) Gọi R là bán kính của (O). Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác ABD và ACE. Khi đĩ A nằm ở đâu ?
t) Chứng minh các tứ giác BDAO, OAEC là các tứ giác nội tiếp u) Chứng minh tứ giác DIKE là tứ giác nội tiếp
v) Chứng minh hai tam giác ABC và ODE là hai tam giác vuơng đồng dạng
x) Tính tỉ số ODE
ABC
S
S khi CE = R2
y) Xác định vị trí của các điểm D, E để chu vi hình thang BDEC bằng 7R
(Bài tập này do thầy giáo Quang Hiệu thiết kế)
Hớng dẫn:
a) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta cần chứng minh OD, OE là hai tia phân giác của hai gĩc kề bù AOB và AOC
=> OD OE⊥ <=>DOE 90ã = 0
b) Cũng theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta dễ dàng chứng minh đợc DE = BD + CE
c) DE là tiếp tuyến của nửa (O)
=> DE OA⊥ , áp dụng hệ thức lợng trong tam giác vuơng DOE, ta cĩ:
2 2
AD.AE OA= =R <=> BD.CE = R2
d) Gọi M là trung điểm của DE
Theo câu a: DOE 90ã = 0 => O thuộc đờng trịn đờng kính DE
Hay O ∈ (M). Ta cần chứng minh BC OM⊥ . Thật vậy: Vì BD//CE ( BC)⊥ => tứ giác BCED là hình thang
Cĩ OM là đờng trung bình => OM / /BD, mà BD BC⊥ => BC OM⊥
Vậy BC là tiếp tuyến của đờng trịn đờng kính DE e) Vì BD//CE => NDB NCE NB DB
NE EC
∆ : ∆ => =
Mà DB = AD ; EC = AE => NBNE = ADAE
Xét tam giác EBD cĩ: NBNE = ADAE . Theo định lí đảo của định lí Ta – lét => AN//BD
Ba điểm A, N, H thẳng hàng. Thật vậy: Ta dễ dàng chứng minh đợc BC ⊥ AN
Qua điểm A ở ngồi đờng thẳng BC cĩ hai đờng thẳng AN và AH cùng vuơng gĩc với BC => AN AH≡ hay ba điểm A, N, H thẳng hàng
Chứng minh AN = AH:
Theo hệ quả của ta – lét: AN DN BN NH AN AH EC = DC = BE = EC => =
f) Dễ dàng chứng minh đợc AN//CE => ∆DAN : ∆DEC (định lí về hai tam giác đồng dạng) => AN DA DE.AN DA.CE
CE = DE <=> =
g) Theo câu b): DE = BD + CE . Vậy BD + CE nhỏ nhất <=> DE nhỏ nhất <=> DE//BC mà OA ⊥DE. Khi đĩ: OA ⊥BC <=> A là điểm chính giữa của cung BC
h) Gọi P là chu vi của tứ giác BDEC => P = BC + BD + DE + CE = BC + 2DE
Vì BC cố định nên P nhỏ nhất <=> DE nhỏ nhất Theo câu g): A là điểm chính giữa của cung BC
i) Theo đề bài => BF//DE => tứ giác BCGF là hình thang Lại cĩ: OA//BF//CG
Xét hình thang BCGF cĩ OB = OC, OA//BF//CG => AF = AG (đpcm) k) Dể dàng chứng minh đợc OA là đờng trung bình của hình thang BCGF => BF + CG = 2OA (khơng đổi)
m) Theo câu i): AF = AG => đờng trịn đờng kính FG cĩ tâm A
Theo đề bài BF ⊥FG,CG FG⊥ => BF, CG là các tiếp tuyến của (A ; FG2 )
Vì OA//CG => Cà1 =Aà1 (so le trong), tam giác OAC cân => Aà1 =ACHã
=> Cà1 =ACHã . Từ đĩ chứng minh đợc hai tam giác AHC và AGC bằng Giaựo viẽn: Phám Vaờn Hieọu
nhau => AG = AH => H ∈ (A ; FG2 )
Mà BC ⊥ AH => BC là tiếp tuyến của (A ; FG2 )
Vậy (A ; FG2 ) tiếp xúc với ba đờng thẳng BF, CG, BC n) Diện tích hình thang BCGF bằng: OA.FG
mà OA khơng đổi => diện tích hình thang BCGF lớn nhất <=> FG lớn nhất. Lại cĩ FG BC≤ , do đĩ FG lớn nhất bằng BC <=> FG//BC mà
OA ⊥FG,khi đĩ OA ⊥BC. Vậy A là điểm chính giữa của cung BC
o) Đặt BD = x (x > 0), CE = y (y > 0). Chu vi của hình thang BDEC là P = 14 = BC + 2DE = 4 + 2(x + y)=> x + y = 5 (1)
theo câu c) BD.CE R= 2 =>xy 4= (2)
Từ (1) và (2) ta tìm đợc (x = 1 ; y = 4) hoặc (x = 4 ; y = 1)
Vậy: Nếu điểm D cách B là 1cm thì E cách C là 4 cm; hoặc điểm D cách B là 4cm thì E cách C là 1 cm. Khi đĩ chu vi hình thang là 14 cm
p) Chứng minh tứ giác này là hình chữ nhật vì cĩ ba gĩc vuơng q) Ta cĩ: OP = 1 OA
2 (khơng đổi)
Vậy khi A chuyển động trên nửa đờng trịn thì P chuyển động trên nửa đ- ờng trịn tâm O, bán kính 1 OA
2
r) Hình chữ nhật OIAK là hình vuơng <=>
ã ã ã ã
AOI AOK= <=> AOB AOC= <=>OA ⊥BC <=> A là điểm chính giữa của
cung BC
Hình vuơng OIAK cĩ AO = IK = 1 BC 3cm
2 = và AO ⊥ IK => S = 1 AO.IK 4,5cm2
2 =
s) Tứ giác BDEC là hình thang vuơng. Ta cĩ: SBDEC = (BD EC)BC DE.BC BC2 2R (1)2
2 2 2
+ = ≥ =
SABC = 1 AH.BC 1 AO.BC R2 SABC R2 (2)
2 ≤ 2 = => − ≥ −
Cộng vế với vế của hai bất đẳng thức cùng chiều, ta cĩ: SBDEC – SABC ≥ R2 <=> SABD + SACE ≥ R2. Vậy Min (SABD + SACE) = R2
Khi đĩ: AH = AO <=> H ≡O <=> A là điểm chính giữa của cung BC t) Học sinh tự chứng minh một cách dễ dàng
u) Cần chứng minh OIK DEK( A )ã = ã = à1 => đpcm v) Học sinh tự chứng minh một cách dễ dàng x) theo câu v): ( )2 2 ODE 2 ABC S DE DE ABC ODE S BC BC ∆ : ∆ => = =
theo câu c) BD.CE R= 2, tính đợc BD = 2R. Ta cĩ: DE = BD + CE = 5R2 => ODE 2 2 ABC S 25R 25 : 4R S = 4 = 16 y) Đặt BD = x (x > 0) => AD = x, ta cĩ: BD.CE R= 2 => CE = AE = Rx2
chu vi hình thang BDEC là BC + BD + DE + EC = 7R (gt) <=> 2R + x + x + R2 x + R2 x = 7R <=> 2x2 −5Rx 2R+ 2 =0 (*). Giải (*) ta cĩ: ∆ =9R2 => x1 2R, x2 R 2 = = Do đĩ BD = 2R thì CE = R2 và BD = R2 thì CE = 2R
Vậy: Nếu điểm D cách B là 2R thì E cách C là R2 ; hoặc điểm D cách B là
R
2 thì E cách C 2R. Khi đĩ chu vi hình thang là 7R
Bài 2: Cho hai đờng trịn (O ; R) và (O’ ; r) cắt nhau tại A và B (R > r). Vẽ các đờng kính AOC và AO’D. Gọi E là trung điểm của OO’, kẻ đờng thẳng vuơng gĩc với AE tại A, đờng thẳng này cắt các đờng trịn (O ; R) và (O’ ; r) theo thứ tự tại G, H
a) Chứng minh rằng AG = AH
b) Gọi I là điểm đối xứng với A qua E. Chứng minh rằng: BI⊥AB
c) Chứng minh bốn điểm C, I, B, D thẳng hàng
d) Cho R = 20cm, r = 15cm, biết AB = 24cm. Hãy tính: OO’ , CD, diện tích tam giác ACD
e) Vẽ tiếp tuyến Ax của (O), tiếp tuyến này cắt (O’) tại F; vẽ tiếp tuyến Ay của (O’), tiếp tuyến này cắt (O) tại T. Gọi S là điểm đối xứng của A qua B. Chứng minh rằng tứ giác ATSF là tứ giác nội tiếp.
f) Cho OO’ = 5cm, R = 4cm, r = 3cm. Tính diện tích tam giác ACD
(Bài tập này do thầy giáo Quang Hiệu thiết kế)
Hớng dẫn:
a) Kẻ OM⊥AG,O'N ⊥AH => OM//O’N => ◊OMNO' là hình thang
EA ⊥MN(gt)=>EA / /OM / /O'N
- Xét hình thang OMNO’ cĩ: EA / /OM / /O'N và OE = O’E => AM = AN Lại cĩ: AG = 2AM, AH = 2AN => AG = AH
b) Theo đề bài AE = IE. Gọi J là giao điểm của AB và OO’ => OO’ ⊥AB
tại J và JA = JB => JE là đờng trung bình của tam giác ABI => JE//BI . Mà AB ⊥JE => BI⊥AB (đpcm)