1. Lí thuyết
Để chứng minh ba đờng thẳng đồng quy ta thờng sử dụng các phơng pháp sau:
- Cách 1: Dựa vào tính chất các đờng đồng quy trong tam giác: Ba đờng cao, ba đờng trung tuyến, ba đờng phân giác, ba đờng trung trực.
- Cách 2: Chứng minh giao điểm của hai đờng thẳng nằm trên đờng thẳng thứ ba.
- Cách 3: Chứng minh các đờng cùng đi qua một điểm cố định.
(các phơng pháp trên cĩ thể đợc vận dụng bởi những kĩ năng khác nhau).
2. Bài tập
B
à i 1: Cho tam giác ABC vuơng tại A. Trên AC lấy điểm M, dựng đờng trịn (O) cĩ đờng kính MC. Đờng thẳng BM cắt (O) tại D. Đờng thẳng AD cắt đờng trịn (O) tại S.
a) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp và CA là phân giác của gĩc SCB.
b) Gọi E là giao điểm của đờng trịn tâm O với BC. Chứng minh rằng ba đờng thẳng BA, EM, CD đồng quy.
H
ớng dẫn:
a) Ta cĩ BACã =900 (giả thiết)
ã 900
BDC= (gĩc nội tiếp chắn nửa đờng trịn) Vậy hai điểm A, D cùng nhìn BC dới một gĩc 900 nên tứ giác ABCD nội tiếp.
- Ta lại cĩ SDM SCMã = ã (cùng chắn cung SM) Lại cĩ BCA SDMã = ã (cùng chắn cung AB)
Do đĩ SCM MCBã = ã nên CA là phân giác của gĩc SCB.
b) Kéo dài AB và DC chúng cắt nhau tại K .
OE E M S K D C B A
Trong tam giác BKC cĩ BD và AC là các đờng cao ( theo câu (a)). Mà BD và CA cắt nhau ở M nên M là trực tâm của tam giác BKC => KM là đờng cao thứ ba của tam giác BKC
Mặt khác MECã =900 (gĩc nội tiếp chắn nửa đờng trịn)
ME BC
⇒ ⊥ do vậy ME cũng là đờng cao thứ ba của tam giác BKC Do đĩ hai đờng thẳng KM và ME trùng nhau
Vậy ba đờng thẳng AB, DC, ME đồng quy tại K. B
à i 2 : Hai đờng trịn (O), (O’) cắt nhau tại A, B. Đờng thẳng vuơng gĩc với AB cắt đờng trịn (O) và (O’) lần lợt tại C, D. các đờng thẳng CA, DA cắt đ- ờng trịn (O’), (O) theo thứ tự tại E, F. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác CFED nội tiếp.
b) AB là phân giác của gĩc FBE.
c) Các đờng thẳng CF, DE, AB đồng quy. H
ớng dẫn:
a) Vì CFAã =900(gĩc nội tiếp chắn nửa đờng trịn)
ã 900
AED= (gĩc nội tiếp chắn nửa đ- ờng trịn)
Suy ra tứ giác CFED nội tiếp. b) Trong đờng trịn (O) ta cĩ
ã ã
FBA FCA= (cùng chắn cung AF) Trong đờng trịn (O’) ta cĩ
ã ã
EDA ABE= (cùng chắn cung AE) Mặt khác tứ giác CFED nội tiếp, nên
O'O O F E K A D B C ã ã
FCA ADE= (cùng chắn cung EF)
Suy ra FBA ABEã = ã , hay AB là phân giác của gĩc FBE. Giaựo viẽn: Phám Vaờn Hieọu
c) Giả sử CF, DE cắt nhau tại K.
Xét tam giác CDK cĩ CE, DF là hai đờng cao nên A là trực tâm khi đĩ AB là đờng cao nên AB cũng phải đi qua K.
Vậy các đờng thẳng CF, DE, AB đồng quy. B
à i 3 : Từ một điểm C nằm ngồi đờng trịn (O) kẻ cát tuyến CBA. Gọi TJ là đờng kính vuơng gĩc với AB. Các đờng thẳng CT, CJ theo thứ tự cắt đờng trịn (O) tại M, N.
a) Chứng minh TN, JM và AB đồng quy.
b) Chứng minh rằng tiếp tuyến của đờng trịn (O) tại M đi qua trung điểm E của CD.
H
ớng dẫn:
a) Do TJ là đờng kính nên
ã ã 900
TMJ TNJ= = (gĩc nội tiếp chắn nửa đ- ờng trịn)
Trong tam giác TJC, đờng thẳng TN, JM và CA là đờng cao nên chúng đồng quy Vậy ba đờng thẳng TN, JM, AB đồng quy. b) Vì tam giác DMC vuơng nên
ã ã EM ED= ⇒JME MDE= Mặt khác ta lại cĩ D E J T O M N B C A ã ã
JMO TJM= (tam giác OJM cân tại O)
ã ã
TJM DCM= (gĩc cĩ cạnh tơng ứng vuơng gĩc) Do vậy JME JMO MDE DCMã + ã = ã +ã =900
Suy ra ME là tiếp tuyến của đờng trịn (O) B
à i 4 : Trên các cạnh của một tam giác nhọn ABC, Dựng về phía ngồi các tam giác đều ABC’, ACB’, CBA’. chứng minh rằng.
a) AA’ = BB’ = CC’.
b) Các đờng thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy. c) OB’ = OA + OC.
H
ớng dẫn:
a) Xét hai tam giác ABA’ và C’BC, cĩ: AB = BC’ (GT), A’B = BC (GT),
ã ã 0 ã
ABA' CBC' ( 60= = +ABC)
=> Hai tam giác ABA’ và C’BC bằng nhau. - Suy ra AA’ = CC’ (hai cạnh tơng ứng) - Tơng tự AA’ = BB’
- Do đĩ AA’ = BB’ = CC’
b) Giả sử BB’ và CC’ cắt nhau tại O. Trên OB’
lấy O’ sao cho CO’ = CO (1) - Theo câu a) ta cĩ AB O ACCã ' = ã '
OO' O' B' C' A' C B A
- Ta thấy hai điểm B và C cùng nhìn AO dới gĩc bằng nhau nên tứ giác AB’CO nội tiếp.⇒B OC B ACã ' = ã ' =600 (2)
- Từ (1), (2) suy ra tam giác COO’ đều.
- Từ tứ giác OAB’C nội tiếp và tam giác OO’C đều ta cĩ:
ã ' ã ' 600
O OA CO O= = . Do đĩ O’C//OA
- Tơng tự từ tứ giác OCA’B nội tiếp và tam giác OO’C đều ta cĩ
ã ' ã ' 600
COA =O CO= . Do đĩ O’C//OA’
- Vì O’C//OA và O’C//OA’ nên ba điểm A, O, A’ thẳng hàng, nghĩa là AA’
đi qua O
- Vậy ba đờng thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy.
c) Xét hai tam giác ACO và B’CO’, cĩ: AC = B’C, OC = O’C,
ã ã 0 ã
OCA O'CB'( 60= = −ACO') => ∆B O C' ' = ∆AOC (c.g.c)
⇒B’O’ = AO
Từ đĩ ta cĩ: OB’= B’O’ + O’O = AO + OC