IV. Hớng dẫn về nhà
b) Chứngminh hai đờng thẳng vuơng gĩc
ơng pháp 1Ph : Nếu hai gĩc của một tam giác cĩ tổng bằng 900 thì tam giác đĩ là tam giác vuơng => gĩc cịn lại bằng 900 => hai đờng thẳng chứa hai cạnh gĩc vuơng là vuơng gĩc với nhau.
ơng pháp 2Ph : Nếu một đờng thẳng vuơng gĩc với một trong hai đờng thẳng song song thì nĩ cũng vuơng gĩc với đờng thẳng kia
ơng pháp 3Ph : Vận dụng tính chất, nếu một tam giác cĩ một đờng trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đĩ là tam giác vuơng => hai đờng thẳng chứa hai cạnh gĩc vuơng là vuơng gĩc với nhau.
ơng pháp 4: Ph Vận dụng tính chất ba đờng cao của tam giác
ơng pháp 5Ph : Vận dụng hai gĩc kề phụ nhau (hai gĩc kề cĩ tổng bằng 900)
ơng pháp 6Ph : Vận dụng tính chất hai cạnh kề của hình chữ nhật, hình vuơng thì vuơng gĩc với nhau
ơng pháp 7Ph : Vận dụng tính chất của tam giác cân
Trong tam giác cân, đờng phân giác, đờng trung tuyến xuất phát từ đỉnh đồng thời là đờng cao
Ph ơng pháp 8 : Vận dụng tính chất hai đờng chéo của hình thoi vuơng gĩc với nhau
Ph ơng pháp 9 : Vận dụng hai tam giác đồng dạng với nhau (hoặc hai tam giác bằng nhau), trong đĩ cĩ một tam giác vuơng.
Ph ơng pháp 10 : Vận dụng tính chất hai tia phân giác của hai gĩc kề bù thì vuơng gĩc với nhau
Ph ơng pháp 11 : Dựa vào định lí đảo của định lí Py - ta - go
Ph ơng pháp 12 : Chứng minh tứ giác nội tiếp cĩ một gĩc bằng 900, suy ra gĩc đối diện cũng bằng 900 => hai đờng thẳng chứa hai cạnh của gĩc là vuơng gĩc với nhau.
Ph ơng pháp 13 : Vận dụng tính chất đờng nối tâm
Ph ơng pháp 14 : Vận dụng định nghĩa đờng trung trực.
2. Bài tập
B à i 1 :
Cho ba điểm thẳng hàng theo thứ tự A, B, C. Vẽ hai đờng trịn đờng kính AB và BC. Trên nửa mặt phẳng bờ AC kẻ tia Bx vuơng gĩc với AC tại B, lấy điểm D thuộc tia Bx sao cho ADCã =900.
Giao của DA, DC với hai đờng trịn đờng kính AB và BC là E, F. Chứng minh rằng:
a) EF là tiếp tuyến chung của hai đờng trịn. b) Tứ giác AEFC nội tiếp.
H
ớng dẫn:
a) Ta cĩ: AD DC BF DC ⊥ ⊥ ⇒ AD//BF Tơng tự BE//DC Do đĩ tứ giác BEDF là hình bình hành Lại cĩ ADCã =900
Nên tứ giác BEDF là hình chữ nhật ⇒FEB DBEã = ã (1)
Gọi O là trung điểm của AB.
Mà BD⊥BO
ã ã 900
DBE EBO
⇒ + =
∆EOB cân tại O nên OEB OBEã = ã . Suy ra OEB DBEã +ã =900 (2) Từ (1), (2) ⇒OEB FEBã + ã =90O hay OE ⊥FE
Do đĩ EF là tiếp tuyến của đờng trịn đờng kính AB (*) Chứng minh tơng tự ta cĩ O F' ⊥ FE
Nên EF là tiếp tuyến của đờng trịn đờng kính BC (**) Từ (*), (**) ta cĩ EF là tiếp tuyến chung của hai đơng trịn. b) Ta cĩ:
ã ã
FEB BAE= (gĩc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và gĩc nội tiếp cùng chắn cung BE)
ã ã ã ã ã
⇒ FEA ACF+ =900+FEB BCF+ =900 +BAE BCF+ =900 +900 =1800
Bởi vậy tứ giác AEFC nội tiếp. B
à i 2 : Hai đờng trịn (O; R) và (O’ ; R’) cắt nhau tại A và B. Đờng thẳng AO cắt (O), (O’) lần lợt tại C, E; đờng thẳng AO’ cắt (O), (O’) lần lợt tại D, F. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác CDEF nội tiếp. b) Tứ giác ODEO’ nội tiếp.
c) A là tâm đờng trịn nội tiếp tam giác BDE. H
ớng dẫn: a) Ta cĩ:
ã ã 900
CDF CDA= = (gĩc nội tiếp chắn nửa đờng trịn)
Tơng tự FECã =900
D, E cùng nhìn CF dới một gĩc 900 nên tứ giác CDEF nội tiếp.
b) Ta cĩ:
Tam giác CAF nhận OO’ làm đờng trung bình
⇒OO’// CF⇒FCE O OEã = ã ' (đồng vị)
Giaựo viẽn: Phám Vaờn Hieọu
BI I A O D E O' F C
Lại cĩ tứ giác CDEF nội tiếp =>FCE EDOã = ã ' (hai gĩc nội tiếp cùng chắn một cung EF). Suy ra EDO' O'OEã = ã
Vậy hai điểm D, O cùng nhìn EO’ dới gĩc bằng nhau nên tứ giác DOO’E nội tiếp.
c) Vì ABC FBAã = ã =900 (gĩc nội tiếp chắn nửa đờng trịn) nên ba điểm C, B, F thẳng hàng
Trong đờng trịn (O’) ta cĩ:
ã ã
AEB BFA= (hai gĩc nội tiếp cùng chắn cung AB) Mà tứ giác CDEF nội tiếp nên
ã ã ã
DEC DFC BFA= = (cùng chắn cung CD)
Do đĩ DEC AEBã = ã nghĩa là AE là đờng phân giác của gĩc DEB. Tơng tự, AD là phân giác của gĩc BDE
Vậy A là tâm đờng trịn nội tiếp tam giác DBE.
Luyện tập
B
à i 3 : Tam giác ABC nội tiếp đờng trịn (O). Các đờng phân giác trong của gĩc B và C lần lợt cắt đờng trịn tại E và F. Dây cung EF lần lợt cắt AC, AB ở H, I.
a) Chứng minh tam giác FKB và EAK cân.
b) Chứng minh tứ giác FIKB nội tiếp. Từ đĩ suy ra IK//AC. c) Cĩ nhận xét gì về tứ giác AIKH. H ớng dẫn: a) Xét tam giác FKB, cĩ: ã 1( 2 FKB= sđFBằ +sđECằ ) 1( 2 = sđFAằ +sđAEằ ) 1 2 = sđFE FBKằ = ã
Do đĩ tam giác FKB cân tại F.
*) Chứng minh tơng tự ta cĩ tam giác EKC cân tại E
⇒EC = EK. Mà AE = EC
Nên AE = EK suy ra tam giác AEK cân tại E.
b) Vì BE là phân giác của gĩc ABC⇒ABE EBCã = ã ⇒AE ECằ = ằ ã ã
CFE ABE= ( hai gĩc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) hay KFI IBKã = ã
Vậy hai điểm F và B cùng nhìn IK dới hai gĩc bằng nhau và hai điểm F và B cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ là đờng thẳng IK, do vậy tứ giác BKIF nội tiếp.
H K K I O E F B C A
*) Chứng minh IK//AC.
Vì tứ giác BKIF nội tiếp, nên:
ã ã
FKI FBI= (hai gĩc nội tiếp cùng chắn một cung IF)
Lại cĩ:IBF FCAã =ã ( hai gĩc nội tiếp cùng chắn một cung AF) Do đĩ ãIKF FCA= ã , mà hai gĩc này ở vị trí đồng vị ⇒IK//AC
c) Theo câu b) IK//AC hay IK//AH (1) Tơng tự tứ giác EHKC nội tiếp, nên:
ã ã
EKH ECH= (hai gĩc nội tiếp cùng chắn một cung EH).
Mặt khác: EBA ECAã = ã (hai gĩc nội tiếp cùng chắn một cung AE)
ã ã
EKH KBA= ⇒HK//AB hay HK//AI (2)
Từ (1), (2) ta cĩ tứ giác AIKH là hình bình hành. B
à i 4: Trong đờng trịn (O) cho hai dây AC và BD vuơng gĩc với nhau tại I. Chứng minh rằng:
a) Khoảng cách từ O tới AB bằng nửa CD.
b) Đờng thẳng đi qua I và trung điểm của BC vuơng gĩc với AD. H
ớng dẫn: a) Cách 1:
Kẻ đờng kính AE. Khi đĩ ta cĩ:
ã ã
AEB ACB= ( cùng chắn cung AB)
Do BAE BEAã +ã =900(tam giác ABE vuơng) IBC ICBã +ã =900 ( tam giác BIC vuơng)
ã ã
BAE IBC
⇒ = ⇒BE CDằ = ằ ⇒BE CD=
Xét tam giác ABE cĩ HO là đờng trung bình nên: 1 1 2 2 HO= BE= CD M N E I K H O D B C A Cách 2:
Gọi H, K lần lợt là chân đờng vuơng gĩc hạ từ O xuống AB, CD. Khi đĩ:
ã ã 1(ã ã ) 1(
2 2
AOH DOK+ = AOB DOC+ = sđABằ +sđCDằ )=AIBã =900
Do đĩ AOH ODKã = ã
Lại cĩ OA = OD (bán kính)
Suy ra hai tam giác vuơng OAH và DOK bằng nhau
1 2
OH DK CD
⇒ = =
b) Gọi M là trung điểm của BC và IM cắt AD tại N, khi đĩ ta cĩ.
ã ã
= (tam giác IBC vuơng tại I)⇒ =
IM MC ICM CIM
Mặt khác: NDI ADB ACB ICBã = ã = ã = ã (cùng chắn cung AB)
ã ã
NID BIM= (đối đỉnh). Từ đĩ ta cĩ:
ã ã ã ã ã ã 900
NID NDI BIM ICB BIM MIC+ = + = + =
ã 900
IND MI AD
⇒ = ⇒ ⊥
B
à i 5 : Tứ giác ABCD nội tiếp đờng trịn (O) cĩ hai đờng chéo AC, BD vuơng gĩc với nhau tại I. Gọi E, F, G, H lần lợt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng:
a) EFGH là hình chữ nhật. b) GIEO là hình bình hành.
c) Hình chiếu của I trên các cạnh và trung điểm của các cạnh của tứ giác ABCD cùng nằm trên một đờng trịn.
H ớng dẫn: a) Tam giác BCD nhận GF làm đờng trung bình, nên: GF//BD, GF = 1 2DB (1)
Lại cĩ HE là đờng trung bình của tam giác ADB, nên: HE//BD, HE = 1