B
à i 1: Cho đờng trịn (O), một dây AB cố định, C là một điểm chuyển động trên cung nhỏ AB. Gọi M là trung điểm của dây BC, từ M vẽ MN vuơng gĩc với tia AC (N nằm trên AC). Chứng minh rằng đờng thẳng MN luơn đi qua điểm cố định.
H
ớng dẫn:
Vẽ đờng kính AD, ta cĩ
ã 900
DCA= (gĩc nội tiếp chắn nửa đờng trịn)
DC AN
⇒ ⊥
Mặt khác MN ⊥AN Do đĩ MN//DC (1) Lại cĩ MB = MC (2)
Từ (1), (2) suy ra MN đi qua trung điểm G của BD. Mà B, D cố định nên G cố định.
Vậy khi C thay đổi thì MN luơn đi qua một điểm G cố định. M G C N O B D A B
à i 2 : Cho đờng trịn (O) cĩ hai đờng kính AB và CD vuơng gĩc với nhau. Lấy điểm T bất kì trên đoạn CD.
a) Tìm điểm M trên AD, điểm N trên AC sao cho T là trung điểm của MN.
b) Chứng minh MA + NC = AC.
c) Chứng minh đờng trịn ngoại tiếp tam giác AMN đi qua hai điểm cố định.
H
ớng dẫn:
a) Giả sử đã dựng đợc hai điểm M, N thỏa mãn điều kiện đề bài.
Xét tam giác vuơng AMN ta cĩ AT = TM = TN
Do đĩ M, N nằm trên (T; TA).
Vậy M là giao điểm của (T; TA) và tia AD N là giao điểm của (T; TA) và tia AC b) Kẻ MK //AC . Xét ∆MKT và ∆NCT cĩ ã ã MTK CTN= (đối đỉnh) TM = TN (bán kính của (T ; TA) ) ã ã TMK TNC= (so le trong) N C T O K M D B A ⇒∆MKT = ∆NCT (g.c.g)⇒CN = MK.
Dễ dàng chứng minh đợc tam giác MDK cân tại M (MKD MDKã = ã )
Từ đĩ ta cĩ: MA + NC = MA + MK = MA + MD = AD = AC.
c) Ta cĩ OT ⊥ AB⇒ TA = TB. Lại cĩ TA = TM = TN (chứng minh trên), do đĩ TA = TB = TM = TB suy ra T là tâm đờng trịn đi qua các điểm A, N, B, M. Mà A, B cố định.
Cho nên đờng trịn ngoại tiếp tam giác AMN đi qua hai điểm A và B cố định