III – Dạng tốn quỹ tích
c) Ta cĩ: ABC 90 ã= (gĩc nội tiếp chắn nửa đờng trịn (O)) và ABD 90 =
(gĩc nội tiếp chắn nửa đờng trịn (O’))
=> ABC ABD 180ã +ã = 0 => C, B, D thẳng hàng (1)
Lại cĩ : ABI ABD 180ã + ã = 0 => I, B, D thẳng hàng (2)
- Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm C, I, B, D thẳng hàng *) Cách khác: Dựa vào tiên đề ơ_clít (HS tự chứng minh) d) Ta cĩ: AJ = 1 AB 12cm
2 =
áp dụng định lí Py – ta – go tính đợc OJ = 16cm và O’J = 9cm
=> OO’ = 25cm và CD = 2OO’ = 50cm; Diện tích tam giác ACD: 600 cm2 e) Nối IT, TS, IF
Dễ dàng chứng minh đợc tam giác IAS cân tại I => IA = IS (1) Nối IO, IO’
Tứ giác AOIO’ là hình bình hành vì cĩ hai đờng chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đờng => AO’//OI
AT ⊥O'A (tính chất tiếp tuyến) => AT ⊥OI tại P => PA = PT, từ đĩ dễ dàng chứng minh đợc tam giác IAT cân tại I => IA = IT (2)
Tơng tự: IA = IF (3)
Từ (1), (2), (3) => IA = IS = IT = IF => Bốn điểm A, S, T, F ∈(I)
hay tứ giác ATSF là tứ giác nội tiếp.
f) Trớc hết dùng định lí đảo của Py – ta – go để chứng minh tam giác AOO’ là tam giác vuơng => tam giác ACD cũng vuơng
Vậy SACD 1 AC.AD 24cm2 2
= =
Bài 3: Cho hai đờng trịn (O ; R) và (O’ ; r) tiếp xúc ngồi với nhau tại A. Vẽ tiếp tuyến chung ngồi BC (B (O),C (O')∈ ∈ )
a) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuơng b) Tính số đo gĩc OMO’
c) Tính diện tích tứ giác BCO’O theo R và r
d) Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đờng trịn đờng kính OO’
e) Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M và AC. Hỏi tứ giác AEMF là hình gì ? Vì sao ?
f) Chứng minh ME.MO = MF.MO’
g) Chứng minh OO’ là tiếp tuyến của đờng trịn đờng kính BC
h) Đờng nối tâm OO’ cắt (O) ở D và cắt (O’) ở G. Gọi H là giao điểm của DB và CG. Hỏi tứ giác BACH là hình gì ? Vì sao ?
i) Chứng minh ba điểm A, M, H thẳng hàng, từ đĩ suy ra HA là tiếp tuyến chung của hai đờng trịn (O) và (O’).
k) Chứng minh HB.HD = HC.HG
m) Qua A vẽ hai đờng bất kì, đờng thẳng thứ nhất cắt (O) ở A1, cắt (O’) ở B1, đờng thẳng thứ hai cắt (O) ở A2, cắt (O’) ở B2 . Chứng minh:
+) ∆OA A1 : ∆O'B A1
+) ∆AA A1 2 : ∆AB B2 1
+) A1A2//B1B2
(Bài tập này do thầy giáo Quang Hiệu thiết kế)
Hớng dẫn:
a) Qua A kẻ tiếp tuyến chung trong cắt tiếp tuyến chung ngồi BC tại M Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: MA = MB, MA = MC
=> MA = MB = MC. Xét tam giác ABC cĩ AM là đờng trung tuyến và AM = 1 BC