III – Dạng tốn quỹ tích
1. Phơng pháp: Lời giải bài tốn quỹ tích gồm hai phần.
Phần thuận: Chứng minh rằng những điểm M cĩ tính chất T thuộc hình H.
Phần đảo: Chứng minh mỗi điểm thuộc hình H đều cĩ tính chất T.
( đơi khi trong phần thuận ta tìm đợc hình H’ chứa hình H. Khi đĩ ta cần dựa vào giả thiết để giới hạn hình H’ thành hình H rồi mới tiến hành phần đảo )
L
u ý : Để chứng minh quỹ tích những điểm M là đờng trịn ta thờng dung hai cách:
+ Chứng minh điểm M cách một diểm cố định một khoảng khơng đổi. + Chứng minh M nhìn một đoạn cố định dới một gĩc vuơng.
2. Bài tập:
B
à i 1: Cho hai điểm A, B cố định. Từ A vẽ các tiếp tuyến với đờng trịn (B) cĩ bán kính khơng lớn hơn AB. Tìm quỹ tích các tiếp điểm M.
H
ớng dẫn: *) Phần thuận:
Vì AM là tiếp tuyến của đờng trịn (B)
AM BM
⇒ ⊥ hay AMBã =900
Do AB cố định, điểm M chuyển động luơn nhìn AB dới một gĩc 900, do đĩ điểm M nằm trên đờng trịn đờng kính AB
*) Phần đảo:
Lấy M’ bất kì thuộc đờng trịn đờng kính AB. Vẽ đờng trịn (B, BM’) ta cĩ
ã ' 900
AM B = ( gĩc nội tiếp chắn nửa đờng trịn)
⇒ AM'⊥BM'tại 'M
Hơn nữa đờng trịn (B, BM’) và AM’ chỉ cĩ điểm chung duy nhất là M’. Giaựo viẽn: Phám Vaờn Hieọu
BM M
M'A A
Vì vậy AM’ là tiếp tuyến của đờng trịn (B, BM’) *) Kết kuận:
Quỹ tích các điểm M (tiếp điểm của tiếp tuyến với đờng trịn (B)) là đờng trịn đờng kính AB.
B
à i 2 : Cho đờng trịn (O; R), đờng kính AB. C là điểm chuyển động trên đ- ờng trịn (O; R). Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = CB. Tìm tập hợp các điểm D.
H
ớng dẫn: *) Phần thuận:
Ta cĩ ãACB=900 (gĩc nội tiếp chắn nửa đ- ờng trịn) ⇒AC BD⊥
Mà CD = CB
Suy ra tam giác ABD cân tại A
Do đĩ AD = AB = 2R (khơng đổi) và A cố định. Do đĩ D thuộc đờng trịn (A; 2R)
*) Phần đảo:
Lấy điểm D’ bất kì thuộc đờng trịn (A; 2R),
D'D D C C' B A O ta cĩ AD’ = 2R và BD’ cắt đờng trịn (O) tại C’. Ta cĩ: AD’ = AB = 2R Nên tam giác ABD’ cân tại A
Mặt khác AC Bã ' =900 (gĩc nội tiếp chắn nửa đờng trịn)⇒AC'⊥BD'
Do đĩ tam giác ABD’ nhận AC’ làm đờng trung tuyến. Vậy C’ là trung điểm của BD’. Hay C’B = C’D’
* ) Kết luận: Tập hợp các điểm D là đờng trịn (A; 2R). B
à i 3 : Cho đờng trịn đờng kính AB cố định, M là một điểm chạy trên đờng trịn. Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho MI = 2MB
a) Chứng minh AIBã khơng đổi b) Tìm tập hợp các điểm I nĩi trên H
ớng dẫn
a) Theo giả thiết ta cĩ M ∈ (O) ⇒ AMB 90ã = 0 ( gĩc nội tiếp chắn nửa đờng trịn )
⇒ Xét tam giác vuơng BMI cĩ BMI 90ã = 0, theo hệ thức lợng trong ∆ vuơng ta cĩ:
tgãAIB = MB MB 1 ã 0 AIB 26 34' MI =2MB = ⇒2 =
- Vậy gĩc AIB khơng đổi . b) Tìm quỹ tích I:
*) Phần thuận: Cĩ AB cố định ( gt ); mà
ã 0
AIB 26 34'= (cmt) ⇒ theo quỹ tích cung chứa gĩc thì điểm I nằm trên hai cung chứa gĩc 26034’ dựng trên AB .
- Khi M trùng với A thì cát tuyến AM trở thành tiếp tuyến AP khi đĩ I trùng với P. Vậy I chỉ thuộc hai cung PmB và P’m’B ( Cung P’m’B đối xứng
m P M' I' H O M I B A
với cung PmB qua AB ) *) Phần đảo:
Lấy I’ thuộc cung chứa gĩc AIB ở trên nối I’B và I’A cắt (O) tại M’ ⇒ ta phải chứng minh I’M’ = 2 M’B
Vì M’ ∈ (O) ⇒ AM'B 90ã = 0( gĩc nội tiếp chắn nửa đờng trịn )
⇒∆ BI’M’ vuơng gĩc tại M’ cĩ: AI'B 26 34 'ã = 0 tgAI'B = tg26 34' = ã 0 1 2 ⇒ M'B 1 M'I' = 2M'B M'I' 2 ⇒ = ⇒ Kết luận:
Vậy quỹ tích các điểm I là hai cung PmB và P’m’B chứa gĩc 260 34’
dựng trên đoạn AB ( PP’⊥ AB tại A )
IV. Hớng dẫn về nhà
- Xem lại các bài đã chữa - Giải tiếp bài tập sau: B
à i 4 : Cho nửa đờng trịn (O), đờng kính BC. Điểm A thuộc nửa đờng trịn đĩ và dựng hình vuơng ABED thuộc nửa mặt phẳng bờ AB khơng chứa điểm C. Gọi F là giao điểm của AE và nửa đờng trịn(O). K là giao điểm của CF và ED.
a) Chứng minh bốn điểm E, B, F, K nằm trên một đờng trịn. b) BKC là tam giác gì ? Vì sao ?
c) Tìm quỹ tích điểm E khi A di động trên nửa đờng trịn. H
ớng dẫn:
a) Ta cĩ KEBã =900 (GT)
Lại cĩ BFCã =900 (gĩc nội tiếp chắn nửa đờng trịn) Do đĩ bốn điểm E, F, B, K cùng thuộc một đờng trịn đờng kính BK. b) BCF FABã = ã (cùng chắn cung BF) mà ãFAB BAE= ã =450(tính chất hình vuơng) ⇒BCFã =450 Tơng tự BKFã =450
Vậy tam giác BCK vuơng cân.
c) Tìm quỹ tích điểm E khi A di động trên nửa đờng trịn. *) Ph ầ n thu ậ n :
- Tam giác FBC vuơng cân ⇒BF CF= ⇒BF CFằ = ằ
Suy ra F là điểm chính giữa cung BC nên F cố định ⇒ FC cố định
Giaựo viẽn: Phám Vaờn Hieọu
D' A' A' E' m O' E K D F A O C B
BK ⊥ BC (chứng minh trên) ⇒ K nằm trên đờng thẳng a qua B, vuơng gĩc với BC tại B nên a cố định
- Điểm K là giao điểm của đờng thẳng a với CF ⇒ K cố định, B cố định, mà
ã 900
BEK = ⇒ E thuộc đờng trịn đờng kính BK
- Vì A thuộc nửa đờng trịn (O) nên E thuộc BmKẳ đờng kính BK thuộc nửa mặt phẳng bờ BK khơng chứa điểm C.
*) Ph ầ n đả o :
Lấy E’ bất kì thuộc cung BmK, đờng thẳng E’F cắt nửa đờng trịn (O) tại A’ (khác F), đờng thẳng E’K cắt CA’ tại D’. Ta phải chứng minh tứ giác BE’D’A’ là hình vuơng.
Thật vậy:
ã ' ã
FA B BCF= (gĩc nội tiếp chắn cung BF của (O)) Mà BCFã =450⇒FA Bã ' =450
Tơng tự FE Bã ' =450
Suy ra tam giác BE’A’ vuơng cân tại B⇒E BAã ' ' 90= 0;
ã ' ' 900
BE D = (gĩc nội tiếp chắn nửa đờng trịn)
Ta cĩ BA Cã ' =900 ⇒BA Dã ' ' 90= 0 ⇒tứ giác BE’D’A’ là hình chữ nhật Mà BE’ = BA’ (tam giác BE’A’ vuơng cân tại B)
Do đĩ tứ giác BE’D’A’ là hình vuơng.
*) K ế t lu ậ n : Quỹ tích các điểm E là nửa đờng trịn đờng kính BK (cung BmK màu đỏ trên hình vẽ)
Ngày soạn : 20/06/10
Ngày dạy : 26/06/10
Chủ đề 3 gĩc với đờng trịn
Buổi 7 Chứng minh hệ thức
A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Học sinh hiểu và vận dụng đợc các phơng pháp chứng minh một hệ thức liên hệ giữa các đoạn thẳng, các cạnh của hai tam giác, các đoạn thẳng với bán kính của đờng trịn , ...
Kĩ năng
- Rèn luyện kĩ năng vẽ hình, chứng minh, trình bày
Thái độ
- Học sinh cĩ thái độ học tập đúng đắn, nghiêm túc
B/Chuẩn bị của thầy và trị
- GV: Thớc, compa, êke - HS: Thớc, compa, êke
C/Tiến trình bài dạy
I. Tổ chức
II. Kiểm tra bài cũ
- HS: Nêu các phơng pháp chứng minh một hệ thức liên hệ giữa các đoạn thẳng, các cạnh của hai tam giác, các đoạn thẳng với bán kính của đờng trịn , ... ?
- GV: Bổ sung (nếu cần)
III. Bài mới