III – Dạng tốn quỹ tích
h) DBA ACG 90 ã= (gĩc nội tiếp chắn nửa đờng trịn)
=> Tứ giác BACH là hình chữ nhật vì cĩ ba gĩc vuơng
i) Tứ giác BACH là hình chữ nhật cĩ M là trung điểm của đờng chéo BC => M cũng là trung điểm của đờng chéo AH, do đĩ A, M, H thẳng hàng Lại cĩ HA ⊥OO' nên HA là tiếp tuyến chung của hai đờng trịn (O) và (O’).
k) áp dụng hệ thức lợng đối với hai tam giác vuơng ADH và AGH => HB.HD = HC.HG
m) Chứng minh ∆OA A1 : ∆O'B A1
Hai tam này là hai tam giác cân cĩ: OAAã 1 =O'ABã 1 (đối đỉnh) => Hai tam giác đồng dạng (g.g)
*) Chứng minh ∆AA A1 2 : ∆AB B2 1
- Vì ∆OA A1 : ∆O'B A1 => 1 1 1
1
AA AB AA R
AO = O'A => AB = r
- Tơng tự ta cũng chứng minh đợc : ∆OA A2 : ∆O'B A2
=> 2 2 2 2 2 2 AA AA AA R O'B = AB => AB = r => 2 2 AA R AB = r Do đĩ: 1 2 1 2 AA AA AB = AB , mà A AAã1 2 =B BBã1 2 (đối đỉnh) => ∆AA A1 2 : ∆AB B2 1 (c.g.c)
Cách khác: Chứng minh ãAA A2 1 =AB Bã 2 1 (dựa vào gĩc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và gĩc nội tiếp cùng chắn một cung)
*) Chứng minh: A1A2//B1B2
1 2 2 1
AA A AB B
∆ : ∆ => ãAA A2 1 = ãAB B2 1 , mà hai gĩc này ở vị trí so le trong => A1A2//B1B2
IV. Hớng dẫn về nhà
- Xem lại các bài đã chữa
*******************************
Bài tập tổng hợp học sinh cần tham khảo (Đề thi vào THPT các tỉnh trong cả nớc)
Bài 1: (Đề thi tuyển sinh vào THPT thành phố Hà Nội năm học 2010 - 2011)
Cho đường trũn (O) cú đường kớnh AB = 2R và điểm C thuộc đường trũn đú (C khỏc A, B). Lấy điểm D thuộc dõy BC (D khỏc B, C). Tia AD cắt cung nhỏ BC tại điểm E, tia AC cắt tia BE tại điểm F.
1) Chứng minh FCDE là tứ giỏc nội tiếp. 2) Chứng minh DA.DE = DB.DC
3) Chứng minh CFD OCBã =ã . Gọi I là tõm đường trũn ngoại tiếp tứ giỏc FCDE, chứng minh IC là tiếp tuyến của đường trũn (O) .
4) Cho biết DF = OC = R, chứng minh tg AFB 2ã = .
Hướng dẫn giải:
1) Tứ giỏc FCDE cú 2 gúc đối FED 90ã = o =FCDã
nờn chỳng nội tiếp.
2) Hai tam giỏc vuụng đồng dạng ACD và DEB vỡ
hai gúc CAD CBEã = ã cựng chắn cung CE, nờn ta
cú tỉ số : DC DE DC.DB DA.DE DA= DB⇒ =
3) Gọi I là tõm vũng trũn ngoại tiếp với tứ giỏc FCDE, ta cú CFD CEAã =ã (cựng chắn cung
CD)
Mặt khỏc CEA CBAã =ã (cựng chắn cung AC) và vỡ tam OCB cõn tại O, nờn CFD OCBã =ã . Ta cú : ICD IDC HDBã =ã =ã
ã ã
OCD OBD= và HDB OBD 90ã +ã = 0
⇒ OCD DCI 90ã +ã = 0 nờn IC là tiếp tuyến với đường trũn tõm O. Tương tự IE là tiếp tuyến với đường trũn tõm O.
4) Ta cú 2 tam giỏc vuụng đồng dạng ICO và FEA vỡ cú 2 gúc nhọn
ã 1ã ã
CAE COE COI2 2
= = (do tớnh chất gúc nội tiếp)
Mà tgCIOã COIC RR 2
2
= = = ⇒ tgAFB tgCIO 2ã = ã = .
Bài 2: (Đề thi tuyển sinh vào THPT thành phố Hồ Chớ Minh năm học 2010 - 2011) Cho đường trũn tõm O đường kớnh AB=2R. Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc đường trũn (O) khỏc A và B. Cỏc tiếp tuyến của (O) tại A và M cắt nhau tại E. Vẽ MP vuụng gúc với AB (P thuộc AB), vẽ MQ vuụng gúc với AE (Q thuộc AE).
a) Chứng minh rằng AEMO là tứ giỏc nội tiếp đường trũn và APMQ là hỡnh chữ nhật.
b) Gọi I là trung điểm của PQ. Chứng minh O, I, E thẳng hàng.
c) Gọi K là giao điểm của EB và MP. Chứng minh hai tam giỏc EAO và MPB đồng dạng. Suy ra K là trung điểm của MP.
d) Đặt AP = x. Tớnh MP theo R và x. Tỡm vị trớ của M trờn (O) để hỡnh chữ nhật APMQ cú diện tớch lớn nhất. Hướng dẫn giải: I A B F E C O D
a) Ta cú gúc EMOã = 90 = ãEAO
=> EAOM nội tiếp.
Tứ giỏc APMQ cú 3 gúc vuụng :
ã ã ã o
EAO APM PMQ 90= = =
=> Tứ giỏc APMQ là hỡnh chữ nhật b) Ta cú : I là giao điểm của 2 đường chộo AM và PQ của hỡnh chữ nhật APMQ nờn I là trung điểm của AM.
Mà E là giao điểm của 2 tiếp tuyến tại M và tại A nờn theo định lý ta cú : O, I, E thẳng hàng.
c) Cỏch 1: hai tam giỏc AEO và MPB đồng dạng vỡ chỳng là 2 tam giỏc vuụng cú 1 gúc bằng nhau là AOE ABMã =ã , vỡ OE // BM => AO AE
BP =MP (1)
Mặt khỏc, vỡ KP//AE, nờn ta cú tỉ số KP BP
AE =AB (2)
Từ (1) và (2) ta cú : AO.MP = AE.BP = KP.AB, mà AB = 2.OA => MP = 2.KP
Vậy K là trung điểm của MP. Cỏch 2 : Ta cú EK AP