7. Những đóng góp của đề tài
1.3.1.1. Đường thị trường vốn
Hiệp phương sai của tài sản phi rủi ro và tài sản rủi ro: Nhớ lại công thức
hiệp phương sai như sau: 𝐶𝑜𝑣𝑖𝑗 = E{[𝑅𝑖− 𝐸(𝑅𝑖)][𝑅𝑗 − 𝐸(𝑅𝑗)]}. Vì lợi nhuận của tài sản phi rủi ro j là chắc chắn, độ lệch chuẩn 𝛿𝑅𝑓 = 0. Điều này có nghĩa là 𝑅𝑗 = 𝐸(𝑅𝑗) trong tất cả chu kỳ đầu tư. Do đó, 𝑅𝑗 − 𝐸(𝑅𝑗) = 0 và do đó 𝐶𝑜𝑣𝑖𝑗 cũng bằng 0. Tương tự, hệ số tương quan giữa tài sản rủi ro i và tài sản phi rủi ro j (𝜌𝑖𝑗) cũng bằng 0.
Kết hợp giữa tài sản phi rủi ro với một danh mục rủi ro:
TSSL kỳ vọng:
𝐸(𝑅𝑝) = 𝑤𝑅𝑓𝑅𝑓 + (1 − 𝑤𝑅𝑓)𝐸(𝑅𝑖)
Trong đó: 𝑤𝑅𝑓 : tỷ trọng của tài sản phi rủi ro.
𝐸(𝑅𝑖) : TSSL kỳ vọng của danh mục rủi ro i.
Độ lệch chuẩn:
𝛿𝑝 = √(1 − 𝑤𝑅𝑓)2𝛿𝑖2 = (1 − 𝑤𝑅𝑓)𝛿𝑖
Như vậy, độ lệch chuẩn của danh mục có mối quan hệ tuyến tính với độ lệch chuẩn của danh mục rủi ro.
Sự kết hợp rủi ro – lợi nhuận: Vì cả lợi nhuận kỳ vọng và độ lệch chuẩn của danh mục là những kết hợp tuyến tính nên đồ thị lợi nhuận – rủi ro của một danh mục có thể là đường thẳng giữa hai tài sản. Xem xét đồ thị sau biểu diễn một tài sản phi rủi ro kết hợp với một danh mục rủi ro trên đường biên hiệu quả Markowitz.
Hình 1.6: Kết hợp tài sản phi rủi ro và danh mục rủi ro trên đường biên hiệu quả.
Bằng cách đầu tư một phần tài sản phi rủi ro 𝑤𝑅𝑓 và phần còn lại (1 - 𝑤𝑅𝑓) danh mục tài sản rủi ro (đương nhiên phần này nằm trên đường biên hiệu quả) để được một danh mục nằm trên đoạn thẳng nối từ 𝑅𝑓 đến đường biên hiệu quả. Trên đồ thị, tập các
danh mục trên đoạn thẳng 𝑅𝑓𝐴 tốt hơn hẳn tất cả những danh mục rủi ro trên đường biên hiệu quả dưới điểm A, bởi vì giả dụ chọn một danh mục dưới điểm A (ngay cả điểm nằm trên đường biên hiệu quả), ta luôn luôn tìm thấy một danh mục nằm phía trên đường đó (nằm trên đường 𝑅𝑓𝐴) sao cho hai danh mục này có cùng độ lệch chuẩn nhưng danh mục nằm trên đoạn 𝑅𝑓𝐴 lại có TSSL cao hơn. Tương tự như vậy, nhà đầu tư có thể chọn điểm trên đoạn thẳng 𝑅𝑓𝐵 bằng cách kết hợp một tài sản phi rủi ro và một danh mục rủi ro tại điểm B. Lần lượt chúng ta sẽ có các tập hợp kết hợp (giữa tài sản phi rủi ro và tài sản rủi ro trên đường biên hiệu quả) hiệu quả hơn, ví dụ như tập hợp 𝑅𝑓𝐵 hiệu quả hơn 𝑅𝑓𝐴 cho đến khi đạt được một điểm hiệu quả nhất là khi có một đường thẳng xuất phát từ 𝑅𝑓 tiếp tuyến với đường biên hiệu quả tại điểm M.
Xét điểm M là điểm tiếp xúc giữa đường thẳng 𝑅𝑓𝑀 và đường biên hiệu quả. Và lập luận tương tự như trên, ta có tập hợp những danh mục trên đoạn thẳng 𝑅𝑓𝑀 thì tốt hơn tất cả những danh mục nằm dưới M. Chẳng hạn, danh mục C là sự kết hợp 50% tài sản phi rủi ro (tức cho vay ở mức lãi suất 𝑅𝑓) và 50% danh mục rủi ro M.
Lợi nhuận – rủi ro dưới tác dụng của đòn cân nợ:
Nhà đầu tư có thể đạt được TSSL kỳ vọng cao hơn tại điểm M trong điều kiện chấp nhận mức rủi ro cao. Tuy nhiên, nhà đầu tư có thể thêm đòn cân nợ bằng cách đi vay ở mức lãi suất phi rủi ro và đầu tư vào danh mục tài sản rủi ro tại M. Giả dụ sự kết hợp này tại điểm E trên đồ thị. Khi đó:
𝐸(𝑅𝑝) = 𝑤𝑅𝑓𝑅𝑓+ (1 − 𝑤𝑅𝑓)𝐸(𝑅𝑀) 𝐸(𝑅𝑝) = 𝑤𝑅𝑓 [𝑅𝑓− 𝐸(𝑅𝑀)] + 𝐸(𝑅𝑀)
Ta thấy rằng 𝑅𝑓− 𝐸(𝑅𝑀) < 0 và khi đi vay thì 𝑤𝑅𝑓 < 0 cho nên 𝐸(𝑅𝑝) sẽ tăng lên khi đi vay ở mức lãi suất phi rủi ro.
Hơn nữa: 𝛿𝑝 = (1 − 𝑤𝑅𝑓)𝛿𝑀 , nên 𝛿𝑝 cũng sẽ tăng lên khi đi vay. Do vậy, cả lợi nhuận và rủi ro sẽ tăng tuyến tính dọc theo đường 𝑅𝑓𝑀 nối dài. Và đương nhiên, điểm E luôn tốt hơn điểm D nằm trên đường biên hiệu quả do có cùng độ lệch chuẩn nhưng TSSL tại E cao hơn D.
Kết hợp lại, ta có một đường biên hiệu quả mới: đường thẳng 𝑅𝑓𝑀, còn gọi là
họa cho việc cho vay (vì 𝑤𝑅𝑓 > 0) và đoạn từ M trở lên minh họa việc đi vay (𝑤𝑅𝑓 < 0), tại M đầu tư hoàn toàn vào danh mục tài sản rủi ro (𝑤𝑅𝑓 = 0).
Một nhà đầu tư có thể đạt TSSL cao hơn bằng việc đầu tư vào danh mục trên đường biên hiệu quả cách xa điểm M hoặc đi vay để tiếp tục đầu tư vào danh mục M. TSSL và rủi ro đều tăng theo đường thẳng tuyến tính 𝑅𝑓𝑀 và mở rộng về bên phải. Các điểm trên đường mở rộng này có ưu thế hơn mọi điểm trên đường hiệu quả Markowitz. Đó chính là đường thị trường vốn CML.
Có thể xây dựng đường thẳng thị trường vốn dưới dạng toán học như sau: Với danh mục gồm 𝑤𝑓 tài sản phi rủi ro và (1-𝑤𝑓) danh mục thị trường M. TSSL của danh mục là 𝐸(𝑅𝑝), độ lệch chuẩn 𝛿𝑝. Ta có:
𝐸(𝑅𝑝) = 𝑤𝑓𝑅𝑓 + (1 − 𝑤𝑓)𝑅𝑀
𝐸(𝑅𝑝) = 𝑤𝑓 (𝑅𝑓− 𝑅𝑀) + 𝑅𝑀
Và 𝛿𝑝 = (1 − 𝑤𝑓)𝛿𝑀 𝑤𝑓 = 1 - 𝛿𝑝/𝛿𝑀
Thay vào trên: 𝐸(𝑅𝑝) = (1 − 𝛿𝑝
𝛿𝑀)(𝑅𝑓− 𝑅𝑀) + 𝑅𝑀
𝐸(𝑅𝑝) = 𝛿𝑝
𝛿𝑀(𝑅𝑀− 𝑅𝑓) + 𝑅𝑓 (1.3)
Đây chính là phương trình của đường thị trường vốn, biểu diễn bằng đồ thị:
Hình 1.7: Đường thị trường vốn với giả định đi vay và cho vay ở cùng một mức lãi suất phi rủi ro.