- Bài tập phỏt hiện căn cứ và bỏc bỏ vấn đề
S IMB + ANE + KCP = IEK
2.4.3. Bài tập phỏt triển năng lực khỏi quỏt hoỏ
- Bài tập này thường cú cấu tạo gồm hai phần. Trong đú phần đầu yờu cầu học sinh tớnh toỏn và tỡm ra những kết luận trong những trường hợp riờng lẻ. Phần tiếp theo yờu cầu học sinh rút ra kết luận trong trường hợp tổng quỏt bằng cỏch tỡm ra mối liờn hệ giữa cỏc phần riờng lẻ ở trờn.
- Những bài tập dạng này là những bài tập khú cú tỏc dụng rốn luyện cho học sinh tư duy một cỏch logic, giỳp cỏc em biết phõn tớch, so sỏnh, đối chiếu, tỏch được những dấu hiệu bản chất ra khỏi những dấu hiệu khụng bản chất. Từ đú giỳp cỏc em bước đầu rốn luyện thao tỏc khỏi quỏt húa.
2.4.3.1. Dạng 1: Bài tập vẽ hỡnh
Vớ dụ:
1. Từ 1 điểm ngoài đường thẳng và 3 điểm trờn đường thẳng ta vẽ được bao nhiờu hỡnh tam giỏc?
2. Từ 1 điểm ngoài đường thẳng và 4 điểm trờn đường thẳng ta vẽ được bao nhiờu hỡnh tam giỏc?
3. Từ 1 điểm ngoài đường thẳng và 5 điểm trờn đường thẳng ta vẽ được bao nhiờu hỡnh tam giỏc?
4. Từ 1 điểm ngoài đường thẳng và n điểm trờn đường thẳng ta vẽ được bao nhiờu hỡnh tam giỏc?
Trong bài tập này những cõu 1, 2, 3 là cỏc trường hợp riờng lẻ với nhiều cấp độ khỏc nhau. Để tỡm ra đỏp số ở cõu 4 đũi hỏi cỏc em phải tớnh toỏn, đối chiếu để rỳt ra quy luật vẽ hỡnh trong trường hợp tổng quỏt. Đú là từ một điểm ngoài đường thẳng và hai điểm trờn đường thẳng bao giờ cũng vẽ được một tam giỏc. Đồng thời cỏc em cũng phải rút ra được quy luật nhận dạng tam giỏc theo cỏc đoạn thẳng trờn cựng một đường thẳng. Số đoạn thẳng trờn cựng một đường thẳng được tớnh theo cụng thức n x (n - 1) : 2. Khi tỡm được số đoạn thẳng cỏc em sẽ suy ra được số tam giỏc được tạo thành trong trường hợp tổng quỏt.
2.4.3.2. Dạng 2: Bài tập nhận dạng hỡnh
Vớ dụ: Hoa vẽ một hỡnh tam giỏc. Sau đú qua cỏc đỉnh của tam giỏc đú
Hoa kẻ 3 đoạn thẳng chỳng cắt nhau tạo thành tam giỏc mới. Qua cỏc đỉnh của tam giỏc mới Hoa lại kẻ 3 đoạn thẳng và cứ tiếp tục làm như thế. Sau một số lần vẽ khụng rừ là bao nhiờu lần, Hoa đếm được tất cả cú 196 hỡnh tam giỏc. Hỏi Hoa đếm đỳng hay sai ?
Ta gọi tam giỏc ban đầu Hoa vẽ là tam giỏc số 1
Sau khi vẽ tam giỏc ABC, hỡnh vẽ sẽ tăng thờm 4 hỡnh tam giỏc là 3 tam giỏc đỏnh dấu x và tam giỏc MNP.
Khi vẽ xong tam giỏc EGK thỡ sẽ tăng thờm 4 hỡnh tam giỏc là 3 hỡnh tam giỏc đỏnh dấu xx và hỡnh tam giỏc EGK.
…
Như vậy cứ mỗi lần vẽ 3 đoạn thẳng đi qua đỉnh một hỡnh tam giỏc mà chỳng cắt nhau tạo thành hỡnh tam giỏc mới thỡ số hỡnh tam giỏc mới tăng thờm là 4 hỡnh. Sau một số lần vẽ số hỡnh tam giỏc tăng thờm sẽ là: k x 4 (k là số lần vẽ) Tổng số hỡnh tam giỏc là:
k x 4 + 1 (hỡnh ban đầu đỏnh số 1) = số chẵn +1= số lẻ
nhưng kết quả đếm của Hoa là 196 (là một số chẵn) nờn bạn Hoa đếm sai
Tương tự ta cú cỏc bài tập sau:
Bài 129
Cho hỡnh tam giỏc MNK. Nối điểm giữa cỏc cạnh của hỡnh tam giỏc MNK ta được hỡnh tam giỏc thứ hai. Nối điểm giữa cỏc cạnh của hỡnh tam giỏc thứ hai ta được hỡnh tam giỏc thứ ba và cứ tiếp tục như vậy.
a. Tỡm số tam giỏc khi vẽ đến hỡnh thứ tư
b. Tỡm số tam giỏc như vậy khi vẽ đến hỡnh tam giỏc thứ 150; thứ 500
MC C B N A M P x x x E G K
Bài130
Cho hỡnh vuụng PKLH
Nối cỏc trung điểm của cỏc cạnh hỡnh vuụng PKLH ta được hỡnh vuụng thứ hai; Nối cỏc cạnh hỡnh vuụng thứ hai ta được hỡnh vuụng thứ ba; và cứ như vậy.
a. Hóy tỡm cỏc hỡnh tam giỏc cú trong hỡnh vẽ như vậy khi vẽ đến hỡnh vuụng thứ 5.
b. Hóy tỡm cỏc hỡnh tam giỏc cú trong hỡnh vẽ như vậy khi vẽ đến hỡnh vuụng thứ 7.
c. Cho n là một số tự nhiờn nào đú, tỡm xem khi vẽ đến hỡnh vuụng thứ n thỡ được bao nhiờu tam giỏc?
d. Hóy tỡm cỏc hỡnh tam giỏc cú trong hỡnh vẽ như vậy khi vẽ đến hỡnh vuụng thứ 300; thứ 2007.
2.4.3.3. Dạng 3: Bài tập xếp hỡnh
Vớ dụ: Bỡnh cú một số tam giỏc cú 3 cạnh bằng nhau với hai màu: trắng và xỏm, với chiều dài cạnh là 1 cm. 3 tam giỏc xỏm và 1 tam giỏc trắng cú thể được xếp thành 1 tam giỏc đều cạnh 2 cm. 6 tam giỏc xỏm và 3 tam giỏc trắng cú thể xếp thành một tam giỏc đều cú cạnh là 3 cm.
d. Cần bao nhiờu tam giỏc màu xỏm và bao nhiờu tam giỏc màu trắng để xếp tam giỏc đều cú cạnh 6 cm?
e. Nếu muốn xếp một cỏch tương tự như vậy để tạo nờn tam giỏc đều cú cạnh 10 cm thỡ cần bao nhiờu tam giỏc màu xỏm và bao nhiờu tam giỏc màu trắng?
f. Nếu muốn xếp tam giỏc đều cạnh 20 cm thỡ cần bao nhiờu tam giỏc màu trắng?
Ta nhận thấy như sau:
- Nếu xếp tam giỏc đều cú cạnh 2 cm thỡ cần cú 3 xỏm và 1 trắng tức là 3 xỏm và 1 trắng
- Nếu xếp tam giỏc đều cú cạnh 3 cm thỡ cần cú 6 xỏm và 3 trắng tức là 3 + 3 xỏm và 1 + 2 trắng
- Nếu xếp tam giỏc đều cú cạnh 4 cm thỡ cần cú 10 xỏm và 6 trắng tức là 3 + 3+ 4 xỏm và 1 + 2 + 3 trắng
a. Nếu xếp tam giỏc đều cú cạnh 6 cm thỡ cần cú
3 + 3 + 4 + 5 + 6 tam giỏc xỏm và 1 + 2 + 3 + 4 + 5 tam giỏc trắng tức là : 21 tam giỏc xỏm và 15 tam giỏc trắng
b. Nếu xếp tam giỏc đều cú cạnh 10 cm thỡ cần cú 55 tam giỏc xỏm và 45 tam giỏc trắng
c. Nếu xếp tam giỏc đều cú cạnh 20 cm thỡ cần cú 210 tam giỏc xỏm và 190 tam giỏc trắng.