- Bài tập phỏt hiện căn cứ và bỏc bỏ vấn đề
e. Dạng 5: Bài tập cú liờn quan đến chu vi, diện tớch và thể tớch cỏc hỡnh hỡnh học
2.4.2.3. Bài tập suy luận logic
- Cỏc bài toỏn suy luận logic là cỏc bài toỏn khi giải khụng cần tớnh toỏn cồng kềnh mà đũi hỏi người giải phải biết vận dụng những tri thức đó cú để suy diễn, lập luận đưa đến kết luận cần tỡm.
- Cỏc bài toỏn suy luận logic cú tỏc dụng bồi dưỡng năng lực phõn tớch cỏc yếu tố đó cho trong bài toỏn. Điều quan trọng nhất là phải chú ý đến những chi tiết trong giả thiết để từ đú cú những giải phỏp nhanh nhạy, thụng minh. Do vậy, cựng là một bài tập nhưng nếu chỳ ý khai thỏc cỏc chi tiết nhỏ nhất, gõy bất ngờ nhất, người giải sẽ tỡm ra được cỏch giải nhanh nhất và thụng minh nhất.
Trong hỡnh học, bài toỏn loại này thường xuất hiện ở cỏc dạng toỏn sau:
a. Dạng 1: Bài tập vẽ hỡnh
Vớ dụ:Cho hỡnh tam giỏc ABC. Trờn AB lấy điểm M sao cho AM bằng
53 3
AB. Nối CM ta được hỡnh tam giỏc CAM. Hóy tỡm điểm N trờn cạnh AC sao cho diện tớch hỡnh tam giỏc NBC bằng
32 2
diện tớch hỡnh tam giỏc CAM.
NA A
Với bài tập này, học sinh chưa thể vẽ ngay được hỡnh. Vỡ vậy để giải quyết vấn đề này cỏc em phải so sỏnh, đối chiếu diện tớch cỏc hỡnh tam giỏc để tỡm ra hỡnh chứa điểm và đoạn thẳng cần vẽ cú diện tớch bằng với diện tớch tam giỏc MBC.
Do đú ta cú cỏch vẽ như sau: Vỡ AM = 5 3 AB nờn S. CAM = 5 3 S. ABC; S. CMB = 3 2 S. ABC S. NBC = S. MBC nờn MN song song BC.
Như vậy để vẽ điểm N thoả món yờu cầu của bài toỏn thỡ N phải thuộc AC và NM phải song song với BC.
Tương tự ta cú cỏc bài tập sau:
Bài 69
Cho hỡnh tam giỏc ABC. Trờn đỏy BC lấy điểm I. Nối AI ta được hỡnh tam giỏc AIC. Hóy tỡm điểm E trờn cạnh AC sao cho nối EB ta được hỡnh tam giỏc BEC cú diện tớch bằng diện tớch hỡnh tam giỏc AIC.
Bài 70
Cho một hỡnh tứ giỏc. Hóy vẽ thờm trờn hỡnh số đoạn thẳng ít nhất để cú được 9 hỡnh tứ giỏc.
b. Dạng 2: Bài tập cắt ghộp hỡnh
Ví dụ: Bạn Lan cú một số tam giỏc cú 3 cạnh bằng nhau với hai màu: trắng và xỏm, với chiều dài cạnh là 1 cm. 3 tam giỏc xỏm và 1 tam giỏc trắng cú thể được xếp thành 1 tam giỏc đều cạnh 2 cm. 6 tam giỏc xỏm và 3 tam giỏc trắng cú thể xếp thành một tam giỏc đều cú cạnh là 3 cm. Hỏi bạn Lan
a. Cần bao nhiờu tam giỏc màu xỏm và bao nhiờu tam giỏc màu trắng để xếp tam giỏc đều cú cạnh 6 cm?
b. Nếu muốn xếp một cỏch tương tự như vậy để tạo nờn tam giỏc đều cú cạnh 10 cm thỡ bạn Lan cần bao nhiờu tam giỏc màu xỏm và bao nhiờu tam giỏc màu trắng?
c. Nếu muốn xếp tam giỏc đều cạnh 20 cm thỡ bạn Lan cần bao nhiờu tam giỏc màu trắng?
Đõy là bài tập yờu cầu cỏc em phải ghộp những tam giỏc đó cho (xỏm và trắng) thành một hỡnh tam giỏc cú đặc điểm chung là cỏc cạnh của chỳng bằng nhau và chỳng được xếp xen kẽ nhau.
Bài tập này cũng tương đối khú với học sinh nhưng được được trỡnh bày dưới dạng hợp của cỏc bài toỏn đơn, từ dễ đến khú, từ trực quan đến trừu tượng và việc rút ra quy tắc ghộp hỡnh vẫn là dựa trờn cú sở suy luận logic gắn với trực quan nờn cũng khụng hoàn toàn là khú với cỏc em.
Để giải được bài tập này, dưới sự hướng dẫn của giỏo viờn cỏc em phỏt hiện ra hỡnh tam giỏc cú cạnh là 2 cm được ghộp gồm 2 hỡnh xỏm và 1 hỡnh trắng ; đến hỡnh tam giỏc cú cạnh là 3 cm thỡ cần cú 6 xỏm và 3 trắng. Từ đú, giỏo viờn giỳp cỏc em phỏt hiện ra quy luật : 6 xỏm và 3 trắng = 3 xỏm + 3 xỏm và 1 trắng + 2 trắng ; đến hỡnh 4 cm thỡ lại cần cú 10 xỏm và 6 trắng tức là bằng 3 xỏm + 4 xỏm và 1 trắng + 2 trắng + 3 trắng... cứ như thế cỏc em sẽ phỏt hiện ra quy luật xếp : cứ tăng thờm 1cm thỡ sẽ bằng tổng số tam giỏc của hỡnh cú số đo nhỏ hơn nú 1cm cộng với chớnh số đo của hỡnh đú (tam giỏc xỏm) và số đo của hỡnh đú trừ đi 1 (tam giỏc trắng ).
Như vậy việc ghộp hỡnh khụng thể thực hiện cỏc thao tỏc ghộp thụng thường mà phải sử dụng phộp suy luận logic để ghộp.
Ta nhận thấy như sau:
- Nếu xếp tam giỏc đều cú cạnh 2 cm thỡ cần cú 3 xỏm và 1 trắng tức là 3 xỏm và 1 trắng
- Nếu xếp tam giỏc đều cú cạnh 3 cm thỡ cần cú 6 xỏm và 3 trắng tức là 3 + 3 xỏm và 1 + 2 trắng
- Nếu xếp tam giỏc đều cú cạnh 4 cm thỡ cần cú 10 xỏm và 6 trắng tức là 3 + 3 + 4 xỏm và 1 + 2 + 3 trắng
a. Nếu xếp tam giỏc đều cú cạnh 6 cm thỡ cần cú
3 + 3 + 4 + 5 + 6 tam giỏc xỏm và 1 + 2 + 3 + 4 + 5 tam giỏc trắng tức là: 21 tam giỏc xỏm và 15 tam giỏc trắng
b. Nếu xếp tam giỏc đều cú cạnh 10 cm thỡ cần cú 55 tam giỏc xỏm và 45 tam giỏc trắng
c. Nếu xếp tam giỏc đều cú cạnh 20 cm thỡ cần cú 210 tam giỏc xỏm và 190 tam giỏc trắng.
Tương tự ta cú cỏc bài tập sau:
Bài 71
Hai khối hỡnh nào trong cỏc khối hỡnh dưới đõy cú thể ghộp được với nhau để tạo thành một hỡnh lập phương ?
A B C D
Bài 72
Những hỡnh nào trong số cỏc hỡnh 1, 2, 3, 4 cú thể ghộp với nhúm A là hợp logic nhất ?
Nhúm A
Nhúm B
Bài 73
Hựng muốn xõy một toà nhà 4 tầng từ những khối hỡnh lập phương
a. Hỏi Hựng cần bao nhiờu khối hỡnh lập phương ?
b. Nếu muốn xõy một toà nhà tương tự nhưng cao 8 tầng thỡ Hựng cần bao nhiờu khối hỡnh lập phương ?
Bài 74
Minh và Hà dựng những mảnh bỡa hỡnh vuụng cú độ dài cạnh là 1 cm để ghộp thành hỡnh vuụng. Biết rằng hỡnh vuụng của Minh ghộp nhiều hơn hỡnh vuụng của Hà là 20 mảnh. Nếu dựng tất cả cỏc mảnh đó ghộp để cựng ghộp thành một hỡnh chữ nhật thỡ Minh và Hà sẽ cú một hỡnh chữ nhật cú chiều dài và chiều rộng là bao nhiờu ?
c. Dạng 3: Bài tập nhận dạng hỡnh
Bài toỏn nhận dạng là những bài toỏn mà học sinh được làm quen từ khi cũn chưa đến nhà trường phổ thụng. Bài tập này phần đa cỏc em vẫn giải theo lối nụm na là đếm trực tiếp. Tuy nhiờn đối với dạng toỏn rốn luyện tư duy logic thỡ đũi hỏi cỏc em phải biết cỏch đếm tức là suy luận một cỏch cú căn cứ. Khụng phải việc đếm hỡnh là phải đờm từ 1, 2, 3, ... mà đũi hỏi phải cú úc tư duy, phỏn đoỏn và loại trừ. Rèn luyện cho học sinh cú thúi quen đếm hỡnh một cỏch khoa học sẽ gúp phần hỡnh thành cho cỏc em những kiến thức sơ đẳng nhất về tổ hợp và suy luận logic, tạo điều kiện cho cỏc em cú thể học tốt kiến thức toỏn ở cỏc bậc học tiếp.
Vớ dụ: a. Trờn cỏc hỡnh sau, mỗi hỡnh cú bao nhiờu hỡnh tam giỏc ?
b. Cú bao nhiờu hỡnh tam giỏc được tạo thành khi nối đỉnh A của tam giỏc ABC với 1500 điểm khỏc nhau trờn cạnh BC ?
B A A C AHình 11 C A1 A B A2 Hình 2 C A3 A2 A B A1 Hình 3
- Hướng dẫn: để rốn luyện cho học sinh cú thúi quen nhận dạng và đếm hỡnh một cỏch khoa học, chỳng ta cú thể cho học sinh từng bước làm quen với cỏc bước triển khai của bài toỏn từ bước thấp nhất tương ứng với bài toỏn đơn giản nhất đến cỏc bài toỏn phức tạp hơn.
Ở đõy, mức 1 chỉ yờu cầu học sinh nhận dạng được hỡnh tam giỏc khi kẻ 1 đoạn thẳng. Ở bước này học sinh cú thể vẫn sử dụng thúi quen đếm thụng thường hay là đếm nụm na mà nhỡn một cỏi đó thấy ngay.
Tiếp theo mức 2, nhận dạng hỡnh khi kẻ 2 đoạn thẳng, rồi 3 đoạn thẳng, ... học sinh vẫn cú thể đếm bằng trực giỏc
Nhưng khi yờu cầu cỏc em đếm xem cú bao nhiờu hỡnh tam giỏc khi kẻ 1000, 1500 tam giỏc thỡ cỏc em khụng thể đếm được bằng thúi quen nụm na được nữa.
Vỡ vậy phải hỡnh thành cho cỏc em phương phỏp đếm bằng cỏch như sau: Ta cho học sinh nhận xột số điểm ở trờn đoạn thẳng BC. Nếu số điểm là 1 thỡ như thế nào ? Số điểm là 2 thỡ như thế nào ?...
Nếu số điểm trờn BC là 1 thỡ :
1 + 1 = 2 và 1 + 2 = 3. Khi đú trờn hỡnh vẽ cú 3 tam giỏc Nếu số điểm trờn BC là 2 thỡ :
2 + 1 = 3 và 1 + 2 + 3 = 6. Khi đú trờn hỡnh vẽ cú 6 tam giỏc Nếu số điểm trờn BC là 3 thỡ :
3 + 1 = 2 và 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Khi đú trờn hỡnh vẽ cú 10 tam giỏc
Nếu số điểm trờn BC là thỡ khi đú trờn hỡnh vẽ cú 10 số tam giỏc như sau : 1 + 2 + ... + n + (n + 1) (tam giỏc)
Từ đú cỏc em lập luận để giải bài toỏn a. - Hỡnh 1 cú 3 tam giỏc
- Hỡnh 2 cú 6 tam giỏc - Hỡnh 3 cú 10 tam giỏc b. Ta cú nhận xột như sau:
Số điểm cựng nằm trờn BC Số hỡnh tam giỏc trờn hỡnh vẽ
0 1
2 1 + 2 + 3 = 6
3 1 + 2 + 3 + 4 = 10
... ...
1500 1 + 2 + 3 + ... + 1500 + 1501
n 1 + 2 + ... + n + (n + 1)
Số tam giỏc cú trờn hỡnh vẽ khi nối đỉnh A với 1500 điểm khỏc nhau trờn cạnh BC là: 1 + 2 + ... + 1500 + 1501
= (1501 + 1) x 750 + 751 = 1127251 (hỡnh tam giỏc)
Như vậy qua dạng bài tập này đó tập dượt cho cỏc em đi từ suy luận đơn giản đến phức tạp. Đồng thời rốn luyện cho học sinh cú khả năng khỏi quỏt húa và phộp suy luận tương tự. Đõy chớnh là những tiền đề quan trong để cỏc em cú thể lý giải cỏc vấn đề một cỏch cú cơ sở.
Tương tự ta cú cỏc bài tập sau:
Bài 75
Cú thể tỡm thấy ở hỡnh dưới đõy rất nhiều hỡnh chữ nhật. Trong số đú cú bao nhiờu hỡnh chữ nhật chứa phần tụ đậm?
Bài 76
Cho hỡnh vuụng PKLH. Nối cỏc trung điểm của cỏc cạnh hỡnh vuụng PKLH ta được hỡnh vuụng thứ hai; nối cỏc cạnh hỡnh vuụng thứ hai ta được hỡnh vuụng thứ ba; và cứ như vậy.
a. Hóy tỡm cỏc hỡnh tam giỏc cú trong hỡnh vẽ như vậy khi vẽ đến hỡnh vuụng thứ 5.
b. Hóy tỡm cỏc hỡnh tam giỏc cú trong hỡnh vẽ như vậy khi vẽ đến hỡnh vuụng thứ 300; thứ 2007.
c. Biết hỡnh vuụng thứ ba cú diện tớch là 640 cm2. Hỏi phải vẽ đến hỡnh vuụng thứ mấy thỡ tổng diện tớch tất cả cỏc hỡnh vuụng đó vẽ được là 5115 cm2 ?
Bài 77
Cú một khối hỡnh được tạo nờn từ những hỡnh lập phương cú cựng đơn vị. Nếu nhỡn từ trờn xuống khối hỡnh cú dạng như sau:
Nếu nhỡn từ đằng trước khối hỡnh cú dạng như sau :
Nếu nhỡn từ bờn phải khối hỡnh cú dạng như sau :
Hỏi cần cú bao nhiờu hỡnh lập phương để ghộp nờn hỡnh này ? Bài 78
a. Hỡnh tỏm cạnh cú bao nhiờu đường chộo (đường chộo là đoạn thẳng nối hai đỉnh khụng liền nhau)?
b. Hỡnh 12 cạnh cú bao nhiờu đường chộo? Bài 79
Cho hỡnh tam giỏc ABC. Từ hai đỉnh B và C, ta kẻ 3 đường thẳng xuống cạnh đối diện. Như thế ta sẽ được 16 vựng trống khụng đố lờn nhau. Nếu kẻ từ mỗi đỉnh 4 đường thẳng thỡ sẽ nhận được mấy vựng trống khụng đố lờn nhau ?
Bài 80
Hỡnh nào khỏc với 3 hỡnh cũn lại?
d. Dạng 4: Bài tập xếp hỡnh
Dạng bài tập này giỳp học sinh rốn luyện khả năng quan sỏt, phõn tớch và tổng hợp cỏc hỡnh chi tiết trong một cấu hỡnh.
Dạng bài tập này cú nhiều cỏch giải nhưng đại đa số cỏc em thường làm mũ, thử rồi chọn. Vỡ vậy việc làm đỳng nhiều khi mang tớnh chất ngẫu nhiờn. Do đú, để giải được bài này nhất là những bài cú yờu cầu phức tạp cỏc em phải sử dụng cỏc cụng cụ suy luận là những tớnh chất trong số học, cỏc khỏi niệm hỡnh học, khả năng suy luận và loại bỏ,...
Chẳng hạn như: khi gặp bài toỏn mà những đoạn thẳng cho trước cú số đo là những số tự nhiờn thỡ khi dựng cỏc đoạn thẳng này để xếp thành
cỏc hỡnh vuụng, tam giỏc cú cỏc cạnh bằng nhau, hỡnh chữ nhật,... mà khụng làm thay đổi số đo của cỏc đoạn thẳng cho trước phải chỳ ý đến chu vi của cỏc hỡnh. Nếu là hỡnh chữ nhật thỡ tổng độ dài cỏc cạnh (chu vi) phải là số chia hết cho 2; nếu là hỡnh vuụng thỡ tổng độ dài cỏc cạnh phải chia hết cho 4.
Vớ dụ: Bạn Minh cú 7 mẩu que với độ dài lần lượt là: 1cm; 2cm; 3cm; 4cm; 5cm; 6cm; 7cm. Vậy bạn Minh cú thể sử dụng cả 7 que đú để xếp thành một hỡnh vuụng mà khụng phải cắt bớt một mẩu que nào khụng?
Hướng dẫn: Để giải được bài này trước khi làm học sinh phải cú bước suy luận: với 7 que đú cú độ dài là tổng cỏc số tự nhiờn nếu muốn xếp thành hỡnh vuụng mà khụng làm thay đổi kớch thước của que thỡ phải số đo chu vi của hỡnh xếp được (hay chớnh là tổng của cỏc que) phải là số chia hết cho 4.
Tổng độ dài của 7 que là: 1 + 2 + 3 + … + 7 = 38 (cm)
Vỡ hỡnh vuụng cú 4 cạnh bằng nhau nờn số đo mỗi cạnh được xếp là: 38 : 4 = 9,5 (cm)
Vỡ khụng được cắt bất cứ mẩu que nào cho nờn bạn Minh khụng thể xếp được hỡnh vuụng.
Tương tự ta cú cỏc bài tập sau:
Bài 81
Nam cú 7 mẩu que với độ dài lần lượt là: 1 cm; 5cm; 9 cm; 13 cm; 17 cm; 21 cm; 25 cm. Hỏi Nam cú thể dựng cả 7 mẩu que đú để xếp thành một hỡnh chữ nhật mà khụng phải cắt bất cứ mẩu que nào hay khụng?
Bài 82
Bạn Hồng cú 9 mẩu que với độ dài lần lượt là: 3 cm; 5 cm; 7 cm; 9 cm; 11 cm; 13 cm; 15 cm; 17 cm; 19 cm. Hỏi
a. Bạn Hồng cú thể sử dụng cả 9 que đú để xếp thành một hỡnh vuụng mà khụng phải cắt bất cứ mẩu que nào hay khụng?
b. Nếu bạn Hồng bỏ bớt đi một que thỡ bạn cú thể xếp được hỡnh vuụng khụng? Nếu xếp được thỡ bạn phải bỏ đi que cú độ dài là bao nhiờu?
Bài 83
Cú 8 đoạn que mà độ dài mỗi đoạn lần lượt là : 1 cm; 2 cm; 3 cm; 4 cm; 5 cm; 6 cm; 7 cm; 8 cm. Hỏi cú thể xếp nối cỏc que đú thành
- Một hỡnh vuụng? - Một hỡnh chữ nhật?
- Một hỡnh tam giỏc cú 3 cạnh bằng nhau? - Một hỡnh cú 5 cạnh bằng nhau?
Bài 84
Cú ba loại que với số lượng và cỏc độ dài như sau:
16 que cú độ dài 1 cm; 20 que cú độ dài 2 cm; 25 que cú độ dài 3 cm. Hỏi cú thể xếp tất cả cỏc que đú thành một hỡnh chữ nhật được khụng?
Bài 85
Bạn Hoa muốn xếp 2007 hỡnh tam giỏc thành một hàng ngang theo cỏch sau. Hỏi bạn Hoa cần bao nhiờu mẩu que? (cỏc mẩu que cú độ dài bằng nhau)
e. Dạng 5: Bài tập cú liờn quan đến chu vi, diện tớch và thể tớch cỏc hỡnh hỡnh học hỡnh học
Cỏc bài toỏn liờn quan đến chu vi và diện tớch cỏc hỡnh hỡnh học là những bài toỏn khụng xa lạ với cỏc em học sinh lớp 5 nhưng cả trong chương trỡnh và cả trong quỏ trỡnh giảng dạy, giỏo viờn thường chỉ chỳ ý đến cỏc bài tập mang tớnh chất tớnh toỏn. Vỡ vậy việc rốn tư duy logic cho học sinh qua dạy cỏc bài toỏn liờn quan đến chu vi và diện tớch bị hạn chế. Trờn cơ sở những kiến thức về hỡnh học kết hợp với cỏc kiến thức về số học chỳng ta cú