Bảng thống kê các chiến lược được sử dụng trong bài toán 4
Chiến lược Giải thích Số lượng %
Sđt SN cắt (IJK) tại một điểm 5 2.5% Sss
(Hợp thức R2) SN // (IJK) 179 87.7%
Sđúng (Phủ nhận R2)
Đường thẳng SN nằm trong (IJK)
18 8.8%
Khác 2 1%
Tổng 204 100%
Bảng thống kê cho thấy chiến lược Sss được học sinh sử dụng nhiều (179/204 học sinh), đúng với mong đợi của chúng tôi khi thiết kế bài toán 4. Chiến lược Sđt chỉ có 5 học sinh sử dụng. Các học sinh này tìm cách kéo dài SN và các đoạn thẳng nằm trong mp(IJK) để chúng cắt nhau rồi tìm giao điểm. Có thể thấy rằng do yêu cầu của bài toán là “xét vị trí tương đối” nên chiến lược Sđt vẫn được học sinh quan tâm đến. Tuy vậy, với mục đích chính là kiểm chứng giả thuyết R2, từ sự lựa chọn các giá trị của biến mà chiến lược Sss đã được học sinh ưu tiên sử dụng. Khi thấy đường thẳng đã cho song song với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng, 179 học sinh này đã nhanh chóng kết luận ngay là đường thẳng đã cho song song với mặt phẳng. Họ không hề quan tâm đến việc kiểm tra điều kiện đường thẳng đó không thuộc mặt phẳng hay không. Một vài học sinh vẫn ghi một cách máy móc rằng “SN (IJK)” mà không hề kiểm tra xem điều đó có đúng hay không. Điển hình như:
Học sinh 11A1_27 và 11A1_15 đã sử dụng chiến lược Sđt và kết luận SN cắt (IJK)
Học sinh 11A7_8 cũng sử dụng Sss nhưng có ghi thêm điều kiện
( )
SN IJK . Tuy nhiên học sinh này chỉ ghi một cách máy móc mà không kiểm tra xem điều đó có thực sự xảy ra hay không.
Chỉ có 18/204 học sinh cho câu trả lời đúng. Học sinh 11A1_7 đã trả lời đúng như sau:
Tóm lại, kết quả phân tích trên đã cho phép chúng tôi hợp thức giả thuyết R2.
KẾT LUẬN CHƯƠNG 3
Những kết quả thu được từ thực nghiệm đã cho phép chúng tôi hợp thức giả thuyết về các quy tắc đọc hình vẽ của học sinh. Đó là:
H1: Tồn tại một cách ngầm ẩn nơi học sinh các quy tắc đọc hình vẽ về vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng. Cụ thể là các quy tắc: QTss,
QTtrong, QTcat, QTngoai .
- QTss : Nếu một đoạn thẳng (biểu diễn cho đường thẳng d) được vẽ nằm ngoài hình bình hành hoặc đa giác phẳng (biểu diễn cho mặt phẳng ( )α ) và song song với một đoạn thẳng nào đó nằm trong hình bình hành hoặc trong đa giác phẳng (kể cả trường hợp đoạn thẳng đó là cạnh của hình bình hành hoặc cạnh của đa giác) sẽ được đọc là đường thẳng d song song với mặt phẳng ( )α .
- QTtrong : Nếu một đoạn thẳng (biểu diễn cho đường thẳng d) được vẽ nằm hoàn toàn trong hình bình hành hoặc đa giác phẳng (biểu diễn cho mặt phẳng
( )α ) sẽ được đọc là đường thẳng d nằm trong mặt phẳng ( )α .
- QTcat : Nếu một đoạn thẳng (biểu diễn cho đường thẳng d) có một đầu mút nằm ngoài hình bình hành hoặc đa giác phẳng (biểu diễn cho mặt phẳng ( )α ) và đầu mút kia nằm trong hình bình hành hoặc đa giác phẳng sẽ được đọc là đường thẳng d cắt mặt phẳng ( )α . Đầu mút nằm trong hình bình hành hoặc đa giác phẳng chính là giao điểm của d và ( )α .
- QTngoai : Nếu một đoạn thẳng (biểu diễn cho đường thẳng d) nằm ngoài hình bình hành hoặc đa giác phẳng (biểu diễn cho mặt phẳng ( )α ) sẽ được đọc là đường thẳng d nằm ngoài mặt phẳng ( )α .
Những quy tắc trên là những quy tắc đọc hình được hình thành do sự lựa chọn của thế chế khi thể chế sử dụng các quy ước vẽ hình biểu diễn và các hình biểu diễn mẫu để học sinh tiếp cận ban đầu khi học lý thuyết về vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng mặc dù điều này chưa bao giờ là ý định dạy học.
Thực nghiệm cũng cho phép kết luận hình khối trong hình học không gian cũng có một ảnh hưởng nhất định lên việc đọc hình của học sinh. Ngoại trừ quy tắc QTss đã ít chịu tác động từ hình khối.
Ngoài ra thực nghiệm cũng cho phép chúng tôi kiểm chứng sự tồn tại của hai quy tắc hợp đồng về phía học sinh khi gặp giải quyết hai kiểu nhiệm vụ “Tìm
giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng” và “Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng”. Cụ thể:
R1: Khi gặp bài toán “Tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng
( )α ” học sinh chỉ có trách nhiệm tìm trên hình biểu diễn một đường thẳng nằm trong mặt phẳng ( )α cắt đường thẳng a tại một điểm rồi kết luận đó là giao điểm cần tìm mà không có trách nhiệm kiểm tra xem đường thẳng a có thỏa mãn điều kiện không nằm trong và không song song với mặt phẳng ( )α
hay không?
R2: Khi gặp bài toán “Chứng minh đường thẳng a song song với mặt
phẳng ( )α ” học sinh chỉ có trách nhiệm tìm trên hình biểu diễn một đường thẳng nằm trong mặt phẳng ( )α song song với a rồi kết luận mà không có trách nhiệm kiểm tra xem đường thẳng a có thỏa mãn điều kiện không nằm trong mặt phẳng ( )α hay không?
Do đó, trong giảng dạy tri thức này, giáo viên cần đưa ra những hình vẽ, những bài toán làm bộc lộ sai lầm của học sinh khi họ sử dụng các quy tắc cũng như các chiến lược trên. Từ những sai lầm đó học sinh sẽ có cơ hội hoàn thiện kiến thức của mình.
KẾT LUẬN
Việc tổng hợp các tài liệu, phân tích chương trình, SGK, SBT, SGV toán phổ thông cũng như kết quả thu được từ thực nghiệm đã cho phép chúng tôi trả lời những câu hỏi đặt ra trong phần mở đầu của luận văn. Cụ thể, các kết quả chính đạt được trong luận văn gồm có:
Tóm tắt một số kết quả đã nghiên cứu về hình hình học và hình biểu diễn của một hình học. Chúng tôi đã tìm hiểu cách xây dựng hình biểu diễn của một hình hình học, các khái niệm hình biểu diễn mẫu, hình biểu diễn đầy đủ và các yêu cầu được đặt ra đối với một hình biểu diễn. Có rất nhiều cách để xây dựng hình biểu diễn của một hình hình học nhưng phép chiếu song song được lựa chọn để xây dựng hình biểu diễn vì nó bảo toàn nhiều tính chất từ hình hình học nhất. Trên cơ sở phép chiếu song song, việc vẽ hình biểu diễn là một sự chuyển dịch các tính chất của hình hình học trong không gian lên hình biểu diễn trên mặt phẳng và ngược lại thông qua những quy tắc đọc hình biểu diễn mà những tính chất của hình biểu diễn sẽ cho phép suy ra những tính chất của hình hình học.
Khi nghiên cứu mối quan hệ thể chế đối với hình biểu diễn, trường hợp vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng chúng tôi nhận thấy chương trình Toán hình học không gian ở trường phổ thông ở Việt Nam cũng sử dụng phép chiếu song song để thành lập các hình biểu diễn. Ngoài ra thể chế cũng sử dụng các quy ước, các hình biểu diễn mẫu để minh họa cho các khái niệm, định lí, tính chất. Trong thể chế, không có quy tắc đọc hình biểu diễn nào được đưa ra một cách tường minh. Ở lớp 8, việc đọc hình vẽ chủ yếu dựa vào việc đọc các hình khối mà chủ yếu là hình hộp chữ nhật. Ở lớp 11, theo chúng tôi chính việc lựa chọn sử dụng các quy ước và các hình biểu diễn mẫu của thể chế đã hình thành một cách ngầm ẩn các quy tắc đọc hình biểu diễn liên quan đến vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng. Kết quả phân tích trong bài toán 1 của phần thực nghiệm đã chứng thực điều này. Và chúng tôi cũng muốn tìm hiểu xem những quy tắc đọc hình này có bền vững không khi học sinh đọc các hình biểu diễn có sự tham gia của hình khối, ở đây là hình chóp_đối tượng mà học sinh tiếp xúc nhiều
nhất trong phần bài tập. Kết quả thực nghiệm từ bài toán 2 đã giúp chúng tôi trả lời vấn đề này. Đối tượng hình chóp đã ảnh hưởng đến các quy tắc đọc hình của học sinh.
Từ việc phân tích các tổ chức toán học liên quan đến tri thức vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng, chúng tôi có thể giải thích được những sai lầm của học sinh thường mắc phải khi giải các bài toán về vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng. Cụ thể là với hai kiểu nhiệm vụ “tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng” và “chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng” học sinh không có trách nhiệm kiểm tra điều kiện đường thẳng có nằm trong mặt phẳng hay không nên đã dẫn đến những sai lầm. Những phân tích từ hai bài toán thực nghiệm 3 và 4 đã kiểm chứng điều chúng tôi vừa nêu.
Do hạn chế về mặt thời gian nên trong luận văn này, chúng tôi chỉ mới tiến hành nghiên cứu việc đọc hình liên quan đến đối tượng tri thức vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng và chỉ tiến hành thực nghiệm trên đối tượng là học sinh THPT. Bên cạnh đó, luận văn cũng chỉ mới nghiên cứu những sai lầm có thể giải thích bằng công cụ didactic của học sinh khi giải bài toán hình học không gian về vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng. Còn rất nhiều mối quan hệ khác của các đối tượng trong không gian và những sai lầm khác của học sinh khi giải một bài toán hình học không gian mà luận văn chưa đề cập đến. Luận văn cũng chưa tiến hành thực nghiệm tìm hiểu các quy tắc đọc hình do sự lựa chọn của thể chế hình thành ở học sinh lớp 8. Việc nghiên cứu những vấn đề này có thể là những đề tài mới trong tương lai.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Bộ Giáo dục và Đào tạo – Vụ Giáo dục trung học (2007), Tài liệu bồi dưỡng GV thực hiện chương trình, SGK 11, NXB Giáo dục.
2. Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thanh Quang (2002), Sai lầm phổ biếnkhi giải toán, NXB Giáo dục.
3. Lê Thị Hoài Châu (2004), Phương pháp dạy học hình học ở trường THPT,
NXB ĐHQG Tp.HCM.
4. Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) (2004), Hình học 8, tập 2, NXB Giáo dục. 5. Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) (2004), SGV Hình học 8, tập 2, NXB Giáo dục 6. Hoàng Chúng (2001), Phương pháp dạy học hình học ở trường THCS, NXB Giáo dục.
7. Văn Như Cương, Trần Văn Hạo, Ngô Thúc Lanh (2000), Tài liệu hướng dẫn giảng dạy Toán 11, NXB Giáo dục.
8. Phạm Gia Đức, Phạm Đức Quang (2002), Hoạt động hình học ở trường THCS,
NXB Giáo dục.
9. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) (2007), Hình học 11, NXB Giáo dục.
10. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (chủ biên) (2007), SGV Hình học 11, NXB Giáo dục.
11. Nguyễn Mộng Hy (chủ biên) (2007), Bài tập hình học 11, NXB Giáo dục. 12. Nguyễn Mộng Hy (chủ biên) (1991), Sách giáo viên hình học 11, NXB Giáo dục.
13. Nguyễn Bá Kim (chủ biên) (1994), Phương pháp dạy học môn toán, NXB giáo dục.
14. Bùi Văn Nghị (2008), Phương pháp dạy học những nội dung cụ thể môn toán, NXB Đại học sư phạm.
15. Đào Tam (2007), Phương pháp dạy học hình học ở trường trung học phổ thông,NXB Đại học sư phạm.
16. Nguyễn Cảnh Toàn (1966), Phân loại các tính chất hình học, NXB Giáo dục. 17. Annie Bessot, Claude Comiti, Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến (2009), Những yếu tố cơ bản của Didactic Toán, NXB ĐHQG Tp.HCM.
18. B.I.Acgunop, M.B.Ban (1974), Hình học sơ cấp (Tập 1), NXB Giáo dục, Hà Nội. 19. Edwin E. Moise, Floyd L. Downs, Geometry, Addison-Wesley Publishing Company.
20. Hamid Chaachoua, Người dịch: Đoàn Hữu Hải, Hình học không gian. Thực trạng về việc đọc hình vẽ của học sinh cuối cấp trung học cơ sở.
21. Ray C. Jurgensen, Richard G. Brown, John W. Jurgensen, Geometry, Houghton Mifflin Company.
22. V.O.Goocđôn, M.A.Xêmenxôp-Oghiepxki, Người dịch: Nguyện Đình Điện, Hoàng Văn Thân (1988), Giáo trình hình học họa hình, NXB Đại học và trung học chuyên nghiệp Hà Nội.
23. The Pohlke-Schwarz Theorem and its Relevancyin the Didactics of Mathematics, http://math.unipa.it/~grim/quad17_sklenarikova-pemova_07.pdf
Luận văn:
24. Huỳnh Bảo Châu (2006), Nghiên cứu didactic về kiến thức không gian và kiếnthức hình học trong dạy học hình học ở trường tiểu học – trường hợp hình chữ nhật, Luận văn Thạc sĩ.
25. Phạm Hoàng Nhi (2010), Nghiên cứu didactic về hình vẽ ở trường phổ thông. Bước chuyển từ hình học phẳng sang hình học không gian, Luận văn Thạc sĩ. 26. Trần Thị Kim Nhung (2007), Nghiên cứu didactic về hình vẽ trong dạy học hình học. Trường hợp: Bước chuyển từ tiểu học sang trung học cơ sở, Luận văn Thạc sĩ.
27. Bùi Gia Quang, Sử dụng các tổ hợp đồ dùng dạy học để dạy phần hình học không gian (ở lớp cuối cấp PTTH ) trong cải cách giáo dục, Luận án Phó tiến sĩ KHGD.
28. Lê Thị Thùy Trang (2010), Một nghiên cứu didactic về vị trí tương đối của hai đường thẳng trong dạy học hình học không gian ở trường phổ thông, Luận văn Thạc sĩ.
PHỤ LỤC * Phiếu thực nghiệm
- Bài toán 1 - Bài toán 2 - Bài toán 3 - Bài toán 4 * Bài làm của học sinh
- Bài toán 1 - Bài toán 2 - Bài toán 3 - Bài toán 4
Trường: ... Lớp:………. STT: ... Họ và tên: ...
Bài toán 1: Giả sử hình bình hành biểu diễn cho mp( )a và các đoạn thẳng biểu diễn cho đường thẳng D1; D2; D3; D4. Xét vị trí tương đối của các đường thẳng D1; D2; D3; D4 với mp( )a . Em hãy cho ý kiến về các phát biểu sau đây bằng cách đánh dấu vào các ô vuông tương ứng. Giải thích sự lựa chọn đó của em.
1a. Đường thẳng D1 nằm trong (thuộc) mp( )a . □Đúng □Sai □Không thể kết luận
Giải thích: ………..
………
1b. Đường thẳng D2 cắt mp( )a . □Đúng □Sai □Không thể kết luận
Giải thích: ………..
………
1c. Đường thẳng D3 song song với mp( )a . □Đúng □Sai □Không thể kết luận
Giải thích: ………..
………
1d. Đường thẳng D4 nằm trong mp( )a . □Đúng □Sai □Không thể kết luận
Giải thích: ………..
………
1e. Đường thẳng D4 song song với mp( )a . □Đúng □Sai □Không thể kết luận
Giải thích: ………..
Trường: ... Lớp:………. STT: ...
Họ và tên: ...
Bài toán 2: Cho hình chóp SABC như hình vẽ dưới đây và một đoạn thẳng biểu diễn cho đường thẳng d. Em hãy cho ý kiến về các phát biểu sau đây bằng cách đánh dấu vào các ô vuông tương ứng. Giải thích sự lựa chọn đó của em. 2a Đường thẳng d nằm trong mp(SBC). □Đúng □Sai □Không thể kết luận Giải thích: ……… ……… ……… ……… ……… ……… 2b Đường thẳng d nằm trong mp(SBC). □Đúng □Sai □Không thể kết luận Giải thích: ……… ……… ……… ……… ……… ……… 2c Đường thẳng d nằm trong mp(SBC). □Đúng □Sai □Không thể kết luận Giải thích: ……… ……… ……… ……… ……… ………
2d
Đường thẳng dcắt mp(SAB)
□Đúng □Sai □Không thể kết luận Giải thích: ……… ……… ……… ……… ……… ……… 2e Đường thẳng d song song mp(SBC) □Đúng □Sai □Không thể kết luận Giải thích: ……… ……… ……… ……… ……… ……… 2f Đường thẳng d song song với mp(SBC). □Đúng □Sai □Không thể kết luận Giải thích: ……… ……… ……… ……… ……… ………
Trường: ... Lớp:………. STT: ...
Họ và tên: ...
Bài toán 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AD. Gọi M là trung điểm SD và N là điểm đối xứng của điểm A qua điểm M. Gọi E, F là hai điểm trên cạnh SC sao cho SE < SF. Gọi B’ là điểm đối xứng của điểm B qua điểm C. Tìm giao điểm (nếu có) của đường thẳng NE và mp(FBB’). ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Trường: ... Lớp:………. STT: ...
Họ và tên: ...
Bài toán 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AD. Gọi M là trung điểm của SD và N là điểm đối xứng của điểm A qua điểm M. Trên đường thẳng BC lấy hai điểm I, J sao cho B và C nằm giữa I, J. Gọi K là điểm thuộc miền trong tam giác SBC. Xét vị trí tương đối của đường thẳng SN và