3.3.1. Phân tích bài toán 1
Trong bài toán 1, chúng tôi muốn tìm hiểu các quy tắc đọc hình vẽ nào đã được hình thành nơi học sinh sau khi họ đã lĩnh hội kiến thức về vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng với những hình biểu diễn mẫu được SGK lựa chọn giới thiệu. Do đó chúng tôi đặt ra cho học sinh một bộ câu hỏi về việc đọc hình vẽ xoay quanh đối tượng tri thức là vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng. Học sinh được yêu cầu trả lời 5 tình huống khác nhau và có giải thích câu trả lời của mình.
- Chúng tôi sử dụng hình bình hành để biểu diễn cho mặt phẳng ( )α và các đoạn thẳng biểu diễn cho các đường thẳng D1, D2, D3, D4, giống như cách sử dụng của SGK.
- Các đường thẳng D1, D2, D3, D4 được vẽ và thay đổi ở nhiều vị trí khác nhau tương ứng với các quy tắc chúng tôi cần kiểm chứng.
- Chúng tôi sử dụng chung một mặt phẳng ( )a để học sinh có thể đối chiếu, so sánh các trường hợp về vị trí của đường thẳng d với nhau và cho phép có sự tác động qua lại của các quy tắc đọc hình. Chúng tôi nghĩ rằng khi học sinh có cái nhìn trên cơ sở so sánh, đối chiếu qua lại với nhau như vậy thì câu trả lời của họ sẽ chính xác hơn và việc kiểm chứng của chúng tôi cũng sẽ khách quan hơn.
- Chúng tôi sử dụng các câu khẳng định để mô tả vị trí tương đối của các đường thẳng D1, D2, D3, D4 với mặt phẳng ( )a . Đối với mỗi khẳng định được đưa ra, học sinh có 3 lựa chọn (Đúng/ Sai/ Không thể kết luận) để nhận định về khẳng định đó. Mặt khác, yêu cầu giải thích sự lựa chọn cho phép chúng tôi tìm hiểu rõ hơn về quan niệm, về cách đọc hình vẽ của học sinh. Học sinh có thể đưa ra một
lựa chọn đúng nhưng với một lời giải thích sai cũng cho phép chúng tôi biết được học sinh đã sử dụng quy tắc nào để đọc hình.
- Những chiến lược mong đợi học sinh sử dụng bao gồm:
Câu Chiến lược
Giải thích Cái có thể quan sát
1a Strong Sử dụng QTtrong
để đọc hình vẽ
- Đúng vì đường thẳng D1 nằm hoàn toàn trong mp( )a .
- Đúng vì mọi điểm của đường thẳng D1 đều nằm trong mp( )a .
1b Scat Sử dụng QTcat để đọc hình vẽ
- Đúng vì một đầu mút của D2 nằm trong mp( )a .
1c Sss Sử dụng QTss để đọc hình vẽ
- Đúng vì đường thẳng D3 song song với hai cạnh nằm ngang của hình bình hành biểu diễn cho mp( )a .
1d Sngoai Sử dụng QTngoai
để đọc hình vẽ
- Sai vì đường thẳng D4 nằm ngoài mp( )a .
Scat Sử dụng QTcat để đọc hình vẽ
- Sai vì đường thẳng D4 khi kéo dài sẽ cắt mp( )a tại một điểm.
1e Sss Sử dụng QTss để đọc hình vẽ
- Sai vì đường thẳng D4 không song song với đường thẳng nào nằm trong mp( )a . Scat Sử dụng QTcat để
đọc hình vẽ
- Sai vì đường thẳng D4 khi kéo dài sẽ cắt mp( )a tại một điểm.
Câu trả lời đúng cho tất cả các câu hỏi trong bài toán 1 là “Không thể kết luận” vì: tùy theo phương chiếu của phép chiếu song song mà các hình đường thẳng D1, D2, D3, D4 có thể nằm trong, cắt hay song song với mp( )a đều được biểu diễn bởi cùng một hình.
3.3.2. Phân tích bài toán 2
Nếu ở bài toán 1 hình vẽ được đưa ra giống như hình vẽ SGK đã sử dụng khi giới thiệu về vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng thì trong bài toán 2, chúng tôi muốn nghiên cứu sự vận hành của các quy tắc đọc hình vẽ nói trên trong trường hợp của hình chóp, hình khối xuất hiện nhất trong phần bài tập.
Chúng tôi muốn tìm hiểu xem biến hình khối (trong trường hợp này là hình chóp tam giác) có ảnh hưởng như thế nào đến các quy tắc đọc hình vẽ của học sinh.
- Cả 6 câu hỏi thành phần đều sử dụng hình chóp tam giác SABC.
- Các câu 2a, 2b, 2c đều chung một khẳng định “Đường thẳng d nằm trong mp(SBC)”. Sự khác biệt của các câu này là vị trí của đoạn thẳng biểu diễn đường thẳng d so với tam giác SBC biểu diễn cho mp(SBC). Chỉ trong câu 2b thì vị trí đường thẳng d mới thể hiện giống như QTtrong, nghĩa là đoạn thẳng biểu diễn cho đường thẳng d nằm hoàn toàn ở miền trong của tam giác SBC biểu diễn cho mp(SBC). Hình vẽ trong câu 2a thể hiện giống như QTcat, hình vẽ trong câu 2c thể hiện giống như QTngoai. Lựa chọn như vậy nhằm mục đích tìm hiểu xem biến hình khối ảnh hưởng như thế nào đến việc vận dụng các quy tắc đã nêu ở trên của học sinh.
- Tương tự, các câu 2e, 2f cũng chung một khẳng định “Đường thẳng d song song với mp(SBC)”. Chúng tôi chỉ thay đổi vị trí của đoạn thẳng biểu diễn đường thẳng d so với tam giác SBC biểu diễn cho mp(SBC). Hình vẽ câu 2e được thể hiện giống như trong QTss, nghĩ là đoạn thẳng biểu diễn đường thẳng d song song với một cạnh của tam giác SBC biểu diễn cho mp(SBC). Hình vẽ trong câu 2f thể hiện giống như QTngoai. Cũng vậy, với sự thay đổi vị trí như vậy, chúng tôi muốn tìm hiểu xem các quy tắc đọc hình sẽ được vận hành như thế nào khi có sự tham gia của hình khối.
- Những chiến lược mong đợi:
Câu Chiến lược
Giải thích Cái có thể quan sát
2a Sđiem Xem đường thẳng và mặt phẳng có bao nhiêu điểm chung
- Đúng vì đường thẳng d cắt SC và BC. Do đó nó có 2 điểm thuộc mp(SBC) nên d nằm trong mp(SBC).
Strong Sử dụng QTtrongđể
đọc hình vẽ
- Đúng vì đường thẳng d có một phần nằm hoàn toàn trong mp(SBC).
2b Strong Sử dụng QTtrongđể
đọc hình vẽ
- Đúng vì đường thẳng d nằm hoàn toàn trong mp(SBC).
- Đúng vì mọi điểm của đường thẳng d đều nằm trong mp(SBC).
để đọc hình vẽ 2d Scat Sử dụng QTcat để
đọc hình vẽ
- Đúng vì một đầu mút của d nằm trong mp(SBC).
2e Sss Sử dụng QTss để đọc hình vẽ
- Đúng vì đường thẳng d song song với BC thuộc mp(SBC).
2f Sss Sử dụng QTss để đọc hình vẽ
- Sai vì đường thẳng d không song song với đường thẳng nào nằm trong mp(SBC).
Câu trả lời đúng cho tất cả các câu hỏi trong bài toán 2 là “Không thể kết luận” vì: Đối với các câu 2a, 2b, 2c, 2f thì đường thẳng d có thể nằm trong, song song hoặc cắt mp(SBC) . Đối với câu 2d thì đường thẳng d có thể nằm trong, song song hoặc cắt mp(SAB). Đối với câu 2e thì đường thẳng d có thể nằm trong hoặc song song với mp(SBC). Tùy theo phương chiếu của phép chiếu song song mà các hình đường thẳng d nằm trong, cắt hay song song với mp (SBC), mp(SAB) đều có cùng một hình biểu diễn.
3.3.3. Phân tích bài toán 3
Trong bài toán 3, chúng tôi yêu cầu học sinh tiến hành giải một bài toán hình học không gian mà yêu cầu của nó liên quan đến việc tìm giao điểm của một đường thẳng và một mặt phẳng giống như những bài toán trong SGK và SBT. Trong yêu cầu của bài toán, chúng tôi đưa vào cụm từ “nếu có” để bài toán được chính xác về mặt khoa học vì tính đặc thù của bài toán được thiết kế. Chúng tôi sẽ làm rõ việc này trong phần phân tích chiến lược và biến didactic dưới đây.
Chúng tôi cung cấp sẵn hình vẽ để học sinh không mất thời gian vào việc vẽ hình và tập trung vào việc đọc hình vẽ để giải quyết bài toán.
a) Các chiến lược dự kiến:
Trong phân tích ở chương 2, vì kiểu nhiệm vụ T2 Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng chỉ có 2 kỹ thuật là τdt và τmpvà cũng vì mục đích
chính để kiểm chứng R1 nên bài toán 3 được thiết kế chỉ cần sự dụng đến kỹ thuật
dt
τ mà không cần dùng đến kỹ thuật τmp. Do vậy, chúng tôi chỉ đưa ra 2 chiến lược trong đó một chiến lược chúng tôi mong đợi học sinh sử dụng để hợp thức quy tắc R1 và một chiến lược đúng.
Chiến lược Giải thích Cái có thể quan sát Sđt Sử dụng kỹ thuật τdt : “Để tìm giao điểm của một đường thẳng và một mặt phẳng ta có thể đưa về việc tìm giao điểm của đường thẳng đó với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng đã cho.” Cách 1: ( ') ( ') NE FC E NE FBB E FC FBB Cách 2: ' ( ') ' ( ') NE FB K NE FBB K FB FBB Cách 3: ( ') ( ') NE FB K NE FBB K FB FBB Cách 4: ' ( ') ' ( ') NE BB K NE FBB K BB FBB Cách 5: ( ') ( ) ( ') ( ') FBB SBC NE SB K NE FBB K SB FBB
Sđúng Có kiểm tra xem giao
điểm vừa tìm có phải là điểm chung duy nhất của đường thẳng và mặt phẳng hay không. Nghĩa là có xem xét đến việc kiểm tra xem đường thẳng có nằm trong mặt phẳng hay không. ( ') ( ') NE FC E NE FBB E FC FBB Mặt khác, vì tứ giác SADN là hình bình hành (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) nên SN / /AD/ /BB'. Suy ra 4 điểm S N B B, , , ' đồng phẳng. Mà (FBB') ( SBB') nên N (FBB'). Do đó, NE (FBB'). Vậy NE và (FBB')
không có giao điểm.
b) Các biến didactic, giá trị được lựa chọn và ảnh hưởng của chúng lên các chiến lược
Để kiểm chứng R1 được thuyết phục, chúng tôi chọn kết quả là “không tồn tại giao điểm vì đường thẳng NE nằm trong mặt phẳng (FBB’)”. Chiến lược Sđt chỉ chú ý đến việc tìm một đường thẳng nằm trong (FBB’) sao cho đường thẳng đó cắt NE, giao điểm của hai đường thẳng chính là giao điểm cần tìm. Do đó, với thiết kế của bài toán 3 thì chiến lược Sđt sẽ dẫn đến sai lầm.
V1mp: Tên gọi mặt phẳng
Do sự lựa chọn giá trị của biến V1gđ ở trên, nghĩa là không tồn tại giao điểm vì đường thẳng nằm trong mặt phẳng nên thay vì chọn mp(SBC) chúng tôi chọn một mặt phẳng tuy cũng là mp(SBC) nhưng với tên gọi khác, đó là mp(FBB’) vì những lí do sau đây:
+ Nếu chọn mp(SBC) thì dễ dàng thấy E là một giao điểm, không tạo thuận lợi cho chiến lược Sđt.
+ Mp(FBB’) có nhiều đường thẳng khi kéo dài có thể cắt đường thẳng NE, tạo thuận lợi cho chiến lược Sđt và làm cho việc kiểm chứng R1 thuyết phục hơn.
V1đp: Kỹ thuật chứng minh đường thẳng thuộc mặt phẳng
Chúng tôi chọn kỹ thuật chứng minh dựa trên tiên đề “hai đường thẳng song song tạo thành một mặt phẳng” (xem chứng minh trong chiến lược đúng) với mong muốn không “triệt tiêu” chiến lược đúng Sđúng.
3.3.4. Phân tích bài toán 4
Trong bài toán 4, học sinh được yêu cầu xét vị trí tương đối của một đường thẳng và một mặt phẳng. Tuy vậy, mục đích chính của bài toán 4 nhằm tìm hiểu những thao tác học sinh sẽ sử dụng khi chứng minh một đường thẳng song song với một mặt phẳng nhằm kiểm chứng quy tắc R2. Do tính đặc thù của bài toán được thiết kế nên để chính xác về mặt toán học, chúng tôi chọn kiểu nhiệm vụ “Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng”. Điều này sẽ được làm rõ hơn trong phần phân tích các biến didactic.
Cũng giống như bài toán 3, chúng tôi cung cấp sẵn hình vẽ để học sinh không mất thời gian vào việc vẽ hình và tập trung vào việc đọc hình vẽ để giải quyết bài toán.
a) Các chiến lược dự kiến:
Chiến lược Giải thích Cái có thể quan sát
Sđt Sử dụng kỹ thuật τdt:
“Để tìm giao điểm của
Cách 1: ( ) ( ) ( ) IJK SBC SN IJK S
một đường thẳng và một mặt phẳng ta có thể đưa về việc tìm giao điểm của đường thẳng đó với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng đã cho.” Cách 2: ( ) ( ) SN IK E SN IJK E IK IJK Cách 3: ( ) ( ) SN JK E SN IJK E JK IJK Cách 4: ( ) ( ) SN BK E SN IJK E BK IJK Cách 5: ( ) ( ) SN CK E SN IJK E CK IJK Sss (Chiến lược mong đợi) Sử dụng kỹ thuật τss1 :“Tìm trong mặt phẳng một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.”
Vì tứ giác SADN là hình bình hành (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) nên SN / /AD/ /IJ . Mà IJ (IJK) nên SN / /(IJK).
Sđúng Có kiểm tra điều kiện
đường thẳng có nằm ngoài mặt phẳng hay không.
Vì tứ giác SADN là hình bình hành (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) nên SN / /AD/ /IJ . Suy ra 4 điểm S N I J, , , đồng phẳng, cùng thuộc (SBC).
Vì (IJK) ( SBC) nên SN (IJK)
b) Các biến didactic, giá trị được lựa chọn và ảnh hưởng của chúng lên các chiến lược
V2vttđ: Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Để R2 được kiểm chứng một cách thuyết phục chúng tôi chọn giá trị là “SN nằm trong mp(IJK)”. Khi đó cả hai chiến lược Sđt và Sssđều dẫn đến sai lầm.
Chúng tôi chọn đường thẳng SN nằm ngang, song song với cạnh nằm ngang IJ của tam giác IJK, biểu diễn cho mặt phẳng (IJK). Sự lựa chọn này sẽ giúp cho chiến lược Sss được ưu tiên sử dụng hơn chiến lược Sđt.
V2mp: Tên gọi mặt phẳng
Chúng tôi chọn mp(IJK), thực ra cũng chính là mp(SBC), thay cho mp(SBC) vì mp(IJK) với tên gọi của nó sẽ không thấy ngay điểm chung của nó với đường thẳng SN, tạo thuận lợi cho 2 chiến lược Sđt và Sss.
V2hbd: Hình biểu diễn mặt phẳng
Chúng tôi chọn mp(IJK) mà hình biểu diễn nó có nhiều đường thẳng khi kéo dài sẽ cắt được SN, tạo cơ hội cho chiến lược Sđt. Đặc biệt, trong hình biểu diễn của mp(IJK) có chứa đường thẳng IJ mà đoạn thẳng IJ đủ dài để dễ dàng nhận ra trước hết bằng trực giác tính chất IJ // SN. Sự lựa chọn này tạo thuận lợi cho chiến lược Sss (chiến lược mà chúng tôi mong đợi học sinh sử dụng) và giúp cho chiến lược Sss có ưu thế hơn chiến lược Sđt .
Ngoài ra, chúng tôi cũng muốn giải thích vì sao chúng tôi không sử dụng mặt phẳng như trong bài toán 3. Lý do chính đó là mặt phẳng sử dụng trong bài toán 3 sẽ không tạo thuận lợi cho chiến lược Sss và hạn chế chiến lược Sđt. Chẳng hạn như nếu điểm K thuộc SC (tương ứng điểm F thuộc SC trong bài toán 3) thì chiến lược Sss sẽ ít có cơ hội xuất hiện vì dễ dàng thấy rằng khi đó CK kéo dài sẽ cắt SN tại S.
V2đp: Kỹ thuật chứng minh đường thẳng thuộc mặt phẳng
Giá trị được lựa chọn giống giá trị của biến V1đp trong bài toán 3 nhằm mục đích không “triệt tiêu” hoàn toàn chiến lược Sđúng.
3.4. Phân tích hậu nghiệm
3.4.1. Phân tích bài toán 1 và 2 (kiểm chứng H1) a) Bài toán 1 a) Bài toán 1
Trước tiên, chúng tôi sẽ thực hiện một phân tích tổng thể mà không cần kiểm tra những lời giải thích.
Bảng thống kê các câu trả lời của học sinh trong Bài toán 1
1a 1b 1c
Đ S K Đ S K Đ S K