a) Bài toán 1
Trước tiên, chúng tôi sẽ thực hiện một phân tích tổng thể mà không cần kiểm tra những lời giải thích.
Bảng thống kê các câu trả lời của học sinh trong Bài toán 1
1a 1b 1c
Đ S K Đ S K Đ S K
57.4% 1% 41.6% 75% 4% 21% 85.8% 2% 12.2%
Đ: Chọn Đúng S: Chọn Sai K: Không thể kết luận Câu trả lời đúng được chúng tôi in đậm.
Câu trả lời mong đợi được chúng tôi tô đen.
Từ bảng thống kê ta thấy:
* Tỉ lệ giữa các câu trả lời “Không thể kết luận” so với tổng số câu trả lời thay đổi từ câu hỏi này sang câu hỏi khác. Nó dao động từ 12% đến 42%. Đối với các câu hỏi 1b, 1c, 1d, 1e, các câu trả lời đúng nghĩa là “Không thể kết luận”
chiếm khoảng từ 15% đến 23%; trong khi đó, đối với câu hỏi 1a thì câu trả lời đúng tăng lên gần như gấp đôi chiếm khoảng 42% các câu trả lời. Chúng tôi có thể lý giải về sự biến đổi này như sau:
- Sự thay đổi này phụ thuộc vào bản chất của từng câu hỏi. Điều này cho thấy sự ảnh hưởng của các quy tắc đọc hình lên học sinh thay đổi qua từng câu hỏi.
- Khó nói đối với các câu trả lời “Không thể kết luận” vì một câu trả lời như thế trái với mong đợi của chúng tôi khi thiết kế các câu hỏi.
- Có thể có những học sinh chọn “Không thể kết luận” nhưng theo nghĩa là “Tôi không biết trả lời”. Tuy nhiên sau khi xem xét và thống kê các câu trả lời chúng tôi nhận thấy rằng số câu trả lời “Không thể kết luận” mà không đưa ra lời giải thích nào là rất ít. Chỉ có khoảng 14/1020 câu trả lời như vậy. Vì vậy có thể xem như các học sinh đã không trả lời theo nghĩa “Tôi không biết trả lời”.
* Chúng tôi cũng tiến hành so sánh những câu trả lời phổ biến (được học sinh chọn nhiều) với những câu trả lời mong đợi trong phân tích tiên nghiệm đối với toàn bộ các câu hỏi và rút ra những nhận xét sau đây:
1d 1e
Đ S K Đ S K
Sngoai Scat Sss Scat
5 101 66 32 10 108 39 47
167 147
- Những câu trả lời phổ biến cũng chính là các câu trả lời mà chúng tôi mong đợi. Những câu trả lời mong đợi chiếm trung bình khoảng 75% các câu trả lời, trừ câu hỏi 1a trong đó câu trả lời mong đợi chỉ chiếm khoảng 57%.
- Tỉ lệ những câu trả lời không tương ứng với câu trả lời mong đợi và câu trả lời đúng là rất ít, chiếm từ 1% đến 5% trên tổng số các câu trả lời.
Như đã nói ở trên, rất khó nói đối với các câu trả lời “Không thể kết luận”. Tuy rằng “Không thể kết luận” là câu trả lời đúng nhưng đi kèm với một lời giải thích sai cũng sẽ cho phép chúng ta biết được ảnh hưởng của các quy tắc đọc hình lên cách giải thích của học sinh. Hay như, bằng việc phân tích những lời giải thích, hai câu trả lời khác nhau đối với cùng một câu hỏi bởi hai học sinh khác nhau có thể có cùng một nguồn gốc. Trong trường hợp này, tập các số liệu từ bảng thống kê là chưa đủ để đưa ra một kết luận khách quan và chính xác. Do vậy, sau đây chúng tôi sẽ tiến hành kiểm tra và phân tích các lời giải thích.
Câu hỏi 1a
Các câu trả lời phù hợp với mong đợi của chúng tôi, nghĩa là “Đúng”. * 57/117 học sinh đã giải thích với những lập luận dựa trên tính hiển nhiên trực giác: “Nhìn hình ta thấy” ; “Hiển nhiên”.
* 60/117 học sinh đã giải thích rằng: “Đúng, vì D1 nằm hoàn toàn trong hình bình hành” hoặc “Đúng vì mọi điểm của D1 đều nằm trong mp( )a ”.
Đó là do ảnh hưởng của quy tắc QTtrong đến cách đọc hình vẽ của học sinh.
Tuy nhiên số lượng học sinh chọn câu trả lời đúng là “Không thể kết luận”
cũng khá cao 85/204 học sinh , chiếm 41.6%. Dù vậy, các lời giải thích chủ yếu là
“Không thể kết luận vì D1 có thể nằm lơ lửng ở trên mp( )a ” hoặc “D1 có thể song song với ( )a ” hoặc “Không đủ điều kiện để kết luận”. Số câu trả lời với lời giải thích đúng là rất ít, chỉ có 21/85, chiếm 24.7%.
Câu hỏi 1b
* Có 153/204 câu trả lời như chúng tôi mong đợi với những giải thích chủ yếu như sau: “Đúng vì D2 có 1 điểm chung với ( )a ” (lời giải thích này chiếm đa số trong 153 câu trả lời) hoặc “Đúng vì D2 xuyên thẳng qua ( )a ” hoặc “Nhìn hình ta thấy”. Những lời giải thích như vậy xuất phát từ việc sử dụng QTcat để đọc hình vẽ. Ngoài ra có một số lượng học sinh chọn “Đúng” sau khi cho D2 cắt cạnh nằm ngang của hình bình hành hoặc vẽ thêm một đường thẳng nằm trong ( )a để cắt
được D2. Điều này cho thấy có một sự ảnh hưởng của R1 lên việc đọc hình của học sinh trong trường hợp đường thẳng cắt mặt phẳng. Chúng tôi đã không tính đến những nhận xét này.
* Có 51/204 học sinh có câu trả lời “Sai” hoặc “Không thể kết luận” chủ yếu đưa ra lời giải thích là “D2 không cắt đường thẳng nào nằm trong ( )a ”. Một lần nữa điều này lại cho thấy ảnh hưởng của R1 trong bài toán giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng. Một số học sinh cũng lựa chọn “Sai” hoặc “Không thể kết luận” với lời giải thích “thiếu các nét đứt”. Số câu trả lời “Không thể kết luận” kèm theo lời giải thích đúng là rất ít.
Câu hỏi 1c
* 175/204 học sinh, chiếm gần 86%, chọn câu trả lời “Đúng” với lời giải thích “vì D3 song song với một cạnh của mp( )a ” hoặc “D3 song song với một cạnh của hình bình hành”. Điều này cũng phù hợp với mong đợi của chúng tôi, chứng tỏ quy tắc QTss đã ảnh hưởng rất mạnh mẽ trong tình huống này.
* 25/204 học sinh chọn câu trả lời “Không thể kết luận” với lời giải thích đúng “vì D3 có thể nằm trong mp( )a ”.
Câu hỏi 1d
* Trong số 167/204 học sinh chọn câu trả lời “Sai” có 101/167 (chiếm 60.1%) câu trả lời với lời giải thích “Sai vì D4 nằm ngoài mp( )a ”. Học sinh đã chịu ảnh hưởng của QTngoai khi đọc hình vẽ. 66 câu trả lời còn lại chịu ảnh hưởng của QTcat với lời giải thích như sau “Sai vì khi kéo dài D4 sẽ cắt mp( )a tại một điểm”.
* 32 câu trả lời “Không thể kết luận” trong đó chỉ có 10 câu trả lời kèm theo lời giải thích đúng và các học sinh còn lại hoặc giải thích không rõ ràng hoặc đồng nhất lựa chọn “Không thể kết luận” với lựa chọn “Sai” cùng lời giải thích
“kéo dài D4 sẽ cắt ( )a ”. Câu hỏi 1e
* Trong số 147/204 học sinh lựa chọn “Sai” thì có 108 học sinh (chiếm 73.5% số câu lựa chọn “Sai”) đã sử dụng chiến lược Sss với lời giải thích như sau
“Sai vì D4 không song song với bất kì đường thẳng nào nằm trong ( )a ” hoặc “Sai vì D4 không song song với cạnh của mp( )a ”. Những lời giải thích như vậy đã dựa trên quy tắc QTss. Những lựa chọn sai còn lại chịu ảnh hưởng của QTcat sử dụng
chiến lược Scat cùng lời giải thích là “Sai vì khi kéo dài thì D4 sẽ cắt ( )a ”hoặc
“Sai vì khi kéo dài thì D4 sẽ cắt cạnh của mp( )a ”.
* Có 10/204 học sinh chọn “Đúng” với lời giải thích rằng “vì D4 song song với một đường thẳng nằm trong ( )a ” và vẽ đường thẳng đó bên trong hình bình hành biểu diễn cho mp( )a . Những câu trả lời này là hệ quả của QTss.
* Các câu trả lời còn lại (47/204) với lựa chọn là “Không thể kết luận” nhưng chỉ có 2 câu trả lời kèm theo một lời giải thích đúng. Những lời giải thích còn lại cũng giống như những lời giải thích của các học sinh lựa chọn “Sai”, đó là
“Không thể kết luận vì D4 có thể song song hoặc cắt mp( )a ”. Có thể nói, tuy lựa chọn “Không thể kết luận”nhưng việc đọc hình của các học sinh này đều chịu ảnh hưởng của QTss và QTcat. Hơn nữa, ta thấy, những lời giải thích này hầu như không xét đến trường hợp D4 nằm trong mp( )a . Do đó, có thể nói rằng, trong tình huống này, quy tắc QTngoai cũng đã chi phối đến cách đọc hình của học sinh.
Tóm lại, từ những sự phân tích trên đây, chúng tôi đã kiểm chứng được giả thuyết H1 đã đưa ra. Mặt khác, chúng tôi cũng biết được trong các quy tắc đọc hình hình thành ở học sinh thì quy tắc QTss có ảnh hưởng mạnh mẽ nhất và
QTtrong có ảnh hưởng ít nhất nhưng vẫn có trên 50% học sinh chịu tác động. Ngoài ra, trong trường hợp đường thẳng cắt mặt phẳng, chúng tôi cũng nhận thấy có sự chi phối nhất định của R1 mà việc kiểm chứng nó sẽ được thực hiện trong bài toán 3.
b) Bài toán 2
Mục đích của bài toán 2 nhằm tìm hiểu xem biến hình khối (ở đây chúng tôi lựa chọn hình chóp tam giác, loại hình khối học sinh tiếp xúc nhiều nhất khi học hình học không gian) ảnh hưởng như thế nào đến việc đọc hình của học sinh khi vận dụng các quy tắc đã nêu gồm có QTtrong, QTngoai, QTcat, QTss . Do đó, chúng tôi sẽ lập bảng thống kê câu trả lời theo các quy tắc đọc hình cần kiểm chứng sự ảnh hưởng của biến hình khối trên cơ sở so sánh với số lượng câu trả lời của các quy tắc đọc hình tương ứng không có hình khối trong bài toán 1.
Như vậy chúng tôi sẽ tiến hành lập bảng thống kê và so sánh như sau: Câu hỏi 2a và 2b sẽ được so sánh với câu hỏi 1a, ứng với QTtrong. (Bảng 2.1)
Câu hỏi 2d sẽ được so sánh với câu hỏi 1b, ứng với QTcat. (Bảng 2.3)
Câu hỏi 2e sẽ được so sánh với câu hỏi 1c, ứng với QTss. (Bảng 2.4)
Câu hỏi 2f sẽ được so sánh với câu hỏi 1e, ứng với QTss. (Bảng 2.5)
Câu trả lời đúng được in đậm và câu trả lời mong đợi được tô đen.
Từ bảng thống kê chúng tôi sẽ tìm hiểu xem biến hình khối đã ảnh hưởng như thế nào đến từng quy tắc đọc hình của học sinh.
* Đối với quy tắc QTtrong (Bảng 2.1):
Từ Bảng 2.1 chúng tôi thấy rằng số câu lựa chọn “Đúng” theo mong đợi của chúng tôi đã giảm xuống, số câu lựa chọn “Sai” hoặc “Không thể kết luận” đã tăng lên. Sau đây chúng tôi sẽ kiểm tra những lời giải thích. Các học sinh lựa chọn
“Sai” hoặc “Không thể kết luận” đã có cùng lời giải thích rằng “vì đường thẳng d có thể cắt mp(SBC)” hoặc “vì đường thẳng d có thể nằm ngoài mp(SBC)”. Có rất ít học sinh có lời giải thích đúng vì họ đã không xét đến trường hợp đường thẳng d song song với mp(SBC). Có thể nói quy tắc QTss đã có ảnh hưởng trong trường hợp này. Như vậy, biến hình khối đã ảnh hưởng đến việc sử dụng quy tắc QTtrong
khi đọc hình vẽ của học sinh.
* Đối với quy tắc QTngoai (Bảng 2.2):
Câu hỏi Đ S K 2a 71 21 112 2b 60 19 125 131 32.1% 40 9.8% 237 58.1% 1a 117 57.4% 2 1% 85 41.6% Câu hỏi Đ S K 2c 12 6% 107 52.4% 85 41.6% 1d 5 2.5% 167 81.9% 32 15.6%
Trường hợp này thật sự rõ ràng, số câu trả lời mong đợi đã giảm từ 81.9% xuống 52.4% và số câu trả lời đúng tăng từ 15.6% lên 41.6%. Chúng tôi tiến hành kiểm tra những lời giải thích. 12 học sinh lựa chọn “Đúng” vì “mp(SBC) có thể kéo dài ra”. Những học sinh lựa chọn “Không thể kết luận” chủ yếu giải thích như sau “đường thẳng d có thể nằm trong hoặc cắt mp(SBC)”. Rất ít học sinh có lời giải thích đúng, QTss đã chi phối trong tình huống này, các học sinh đã không nghĩ đến việc đường thẳng d có thể song song với mp(SBC) vì rõ ràng trên hình vẽ không có đường thẳng nào song song với d. Dưa trên bảng thống kê và những lời giải thích này có thể thấy rằng QTngoai cũng đã bị tác động bởi biến hình khối.
* Đối với quy tắc QTcat (Bảng 2.3):
Lựa chọn “Đúng” giảm xuống và lựa chọn “Không thể kết luận” với lời giải thích “vì đường thẳng d có thể nằm trong mp(SBC) hoặc cắt mp(SBC)” tăng lên nên có thể nói rằng cả hai quy tắc QTcat và QTngoai đều chịu ảnh hưởng của biến hình khối. Cũng như 2 tình huống trên, rất ít học sinh có lời giải thích đúng,
QTss đã chi phối trong tình huống này, các học sinh đã không nghĩ đến việc đường thẳng d có thể song song với mp(SBC) vì rõ ràng trên hình vẽ không có đường thẳng nào song song với d. Mặt khác, những lựa chọn “Đúng” tuy có giảm xuống nhưng vẫn còn chiếm hơn một nửa số câu trả lời. Khi xem xét những lời giải thích của các học sinh này, chúng tôi thấy rằng rất nhiều học sinh đã giải thích như sau “Đúng vì d cắt SA tại một điểm” và một số học sinh còn đặt tên và làm nổi rõ giao điểm đó. Điều này chứng tỏ, R1 cũng đã ảnh hưởng đến việc đọc hình của học sinh trong tình huống này.
* Đối với quy tắc QTss (Bảng 2.4):
Câu hỏi Đ S K 2d 111 54.4% 15 7.4% 78 38.2% 1b 153 75% 8 4% 43 21%
Số liệu từ Bảng 2.4 cho ta thấy số câu trả lời “Không thể kết luận” có tăng nhưng không nhiều hay nói cách khác số lựa chọn “Đúng” có thay đổi nhưng không đáng kể. Những lời giải thích đưa ra vẫn là “Đúng vì đường thẳng d song song với BC”. Như vậy, trong trường hợp này quy tắc QTss đã ít chịu tác động của biến hình khối hay có thể khẳng định quy tắc QTss có ảnh hưởng rất lớn đến quy tắc đọc hình của học sinh.
* Đối với quy tắc QTss (Bảng 2.5):
Số lựa chọn “Đúng” vẫn ổn định với lời giải thích “d có thể song song với một đường thẳng nào đó nằm trong (SBC). Số lựa chọn “Không thể kết luận” có tăng lên nhưng lựa chọn “Sai” vẫn chiếm đa số. Khi xem xét những lời giải thích của những học sinh chọn “Không thể kết luận” thì đa số học sinh đều giải thích giống như lời giải thích của các học sinh lựa chọn “Sai” đó là “kéo dài d có thể cắt (SBC)” hoặc “d không song song với bất kì cạnh nào của (SBC)”. Như vậy, quy tắc QTss vẫn là quy tắc được học sinh sử dụng trong tình huống này mà ít chịu sự ảnh hưởng của biến hình khối.
Tóm lại, từ những phân tích chi tiết trên đây, chúng tôi có thể kết luận rằng, biến hình khối đã có ảnh hưởng nhất định đến các quy tắc đọc hình của học sinh. Cụ thể là các quy tắc QTtrong, QTngoai, QTcat. Còn quy tắc QTss đã ít chịu tác động của biến hình khối. Ngoài ra trong tình huống liên quan đến đường thẳng cắt
Câu hỏi Đ S K 2e 161 78.9% 6 3% 37 18.1% 1c 175 85.8% 4 2% 25 12.2% Câu hỏi Đ S K 2f 9 4.4% 113 55.4% 82 40.2% 1e 10 5% 147 72% 47 23%
mặt phẳng, khi kiểm tra những lời giải thích, chúng tôi thấy rằng có sự ảnh hưởng của R1 lên cách đọc hình của học sinh.