Các kiến thức về hình học không gian được giảng dạy ở lớp 11 và lớp 12. Nếu như ở THCS các khái niệm hình học không gian được xây dựng rời rạc thông qua các hình khối cụ thể, “trộn lẫn định nghĩa với tính chất”, thì ở THPT giới thiệu một cách hệ thống về hình học không gian bằng phương pháp tiên đề, thông qua phương tiện trực quan tượng trưng là hình vẽ - hình chiếu song song của các hình hình học lên mặt phẳng. Cụ thể chương trình lớp 11 giới thiệu về quan hệ giữa các đối tượng điểm, đường thẳng, mặt phẳng trong không gian (quan hệ liên thuộc, song song, vuông góc). Chương trình lớp 12 tiếp nối theo chương trình lớp 11 nhưng chủ yếu thiên về mặt định lượng (tính thể tích khối chóp, khối cầu, lăng trụ …). Do mục đích của luận văn chúng tôi chỉ phân tích chương trình, SGK ở lớp 11 và tập trung vào hình biểu diễn, quy tắc vẽ và đọc hình biểu diễn liên quan đến các đối tượng điểm, đường thẳng, mặt phẳng cũng như mối quan hệ liên thuộc, quan hệ song song của chúng.
2.3.1. Tiếp cận các khái niệm, định lý, tính chất Mặt phẳng Mặt phẳng
Khái niệm mặt phẳng, đối tượng cơ bản thứ 3 (ngoài điểm và đường thẳng) trong không gian được mô tả thông qua các hình ảnh thực tế kèm theo quy ước biểu diễn và ký hiệu.
[9, tr44]:
Trong thực tế hình ảnh của mặt phẳng được đưa ra làm ví dụ đều có giới hạn. Hai cách biểu diễn đều có ưu và nhược điểm. Cách dùng miền góc tuy thể hiện được sự không giới hạn của mặt phẳng nhưng lại khó hình dung ở học sinh. Cách dùng hình bình hành là một hình có giới hạn nên có thể tạo nên sự hiểu lầm đối với học sinh nhưng lại giúp học sinh có thể hình dung được cụ thể hơn về mặt phẳng và SGK cũng đã dùng cách biểu diễn này trong tất cả các hình minh họa cho các tính chất, định lí trong SGK.
Một cách tiếp cận khác về mặt phẳng
Khi trình bày các tính chất thừa nhận trong hình học không gian, SGK đã gián tiếp giới thiệu một cách kí hiệu khác về mặt phẳng dựa trên sự xác định một mặt phẳng.
[9, tr46]:
“Như vậy một mặt phẳng hoàn toàn xác định nếu biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng. Ta kí
hiệu mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C là mặt phẳng (ABC) hoặc mp (ABC) hoặc (ABC).”
Sau đó đến hoạt động 3 trang 47 SGK có câu hỏi kèm theo hình minh họa như sau:
“Cho tam giác ABC, M là điểm thuộc phần kéo dài của đoạn BC. Hãy cho biết M có thuộc mặt phẳng (ABC) không và đường thẳng AM có nằm trong mặt phẳng (ABC) không?”
Với hình minh họa như vậy có thể đưa đến một nhận định là một tam giác (đa giác) có thể biểu diễn cho một mặt phẳng (cũng phù hợp với việc trước đó đã dùng hình bình hành để biểu diễn cho mặt phẳng) và làm cho mặt phẳng bị giới hạn trong miền của tam giác (đa giác) đó. Thực chất phải hiểu mp(ABC) chính là mặt phẳng chứa tam giác ABC khi kéo dài các cạnh của tam giác ra vô tận, điều mà SGK đã không nói rõ. Việc đồng nhất tên gọi của mặt phẳng với tên gọi của đa giác (trong chương trình hầu hết là tam giác và tứ giác) chỉ để thuận tiện cho việc gọi tên một mặt phẳng xác định. Nhưng vì không nói rõ nên vô hình trung đã đưa đến một nhận định không đúng. Ngay cả [10, tr56] cũng ghi rõ: “Hoạt động 3 nhằm tập cho học sinh chứng minh điểm M thuộc mặt phẳng (ABC) bằng cách chứng minh M thuộc một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng đó.”. Theo chúng tôi sẽ tốt hơn nếu dùng hoạt động 3 để giúp học sinh hiểu rõ ý “mp(ABC) chính là mp chứa tam giác ABC khi kéo dài các cạnh của tam giác ra vô tận”.
Và cũng từ thời điểm này trở về sau SGK đã sử dụng tên gọi của đa giác như là tên gọi của mặt phẳng chứa đa giác đó. Tất cả các câu hỏi, các hoạt động, các ví dụ, bài tập đều đã dùng cách này.
Ví dụ: Hoạt động 4 trang 48 với hình vẽ minh họa: “Trong mặt phẳng (P), cho hình bình
hành ABCD. Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (P). Hãy chỉ ra một điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) khác điểm S.”
Mặt khác, khi giới thiệu khái niệm hình chóp, [9, tr51] trình bày:
“Trong mặt phẳng ( )α cho đa giác lồi
1 2 n
1 2 n
A , A ,..., A ta được các tam giác SA A ,SA A ,...,SA A1 2 2 3 1 n. Hình gồm đa giác
1 2 n
A A ...A và n tam giác SA A ,SA A ,...,SA A1 2 2 3 1 n gọi là hình chóp, kí hiệu là
1 2 n
S.A A ...A . Ta gọi S là đỉnh và đa giác A A ...A1 2 n là mặt đáy. Các tam giác
1 2 2 3 1 n
SA A ,SA A ,...,SA A được gọi là các mặt bên; các đoạn SA ,SA ,...,SA1 2 n
được gọi là các cạnh bên; các cạnh của đa giác đáy gọi là các cạnh đáy của hình chóp. Ta gọi hình chóp có đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác, … lần lượt là hình chóp tam giác, tứ giác, ngũ giác, …(h.2.24).”
Trong cách định nghĩa này các mặt bên của hình chóp chính là các tam giác và tên của các mặt phẳng chứa các mặt bên và mặt đáy hình chóp cũng chính là tên của các mặt bên (các tam giác) và tên của đa giác đáy. Học sinh sẽ đồng nhất mặt phẳng chứa mặt bên (mặt đáy) của hình chóp cũng chính là mặt bên (đa giác đáy) đó và chỉ “gói gém” trong miền của mặt bên (miền của đa giác đáy). Chính điều này sẽ gây khó khăn trong việc muốn mở rộng các mặt phẳng chứa mặt bên của hình chóp. Hơn nữa cách định nghĩa này cũng ngầm ẩn chỉ ra cách vẽ hình biểu diễn của đối tượng hình chóp và cách đọc hình biểu diễn đó.
Ngoài ra còn một số kí hiệu mặt phẳng khác cũng dựa trên sự xác định của mặt phẳng như:
- Mặt phẳng xác định bởi đường thẳng d và điểm A không thuộc d, kí hiệu là mp(A,d) hay (A, d) hoặc mp(d, A) hay (d, A)
- Mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng a, b cắt nhau hoặc song song, kí hiệu là mp(a, b) hay (a, b) hoặc mp(b, a) hay (b, a).
Điểm thuộc mặt phẳng
Giới thiệu quan hệ liên thuộc của điểm và mặt phẳng thông qua hình vẽ [9, tr45]:
“Hình 2.4 cho ta hình biểu diễn của điểm A thuộc mặt phẳng ( )α , còn điểm B không thuộc ( )α .”
Trong hoạt động này, điểm nằm trong miền giới hạn của hình bình hành (hình biểu diễn của mp( )α ) được hiểu là điểm nằm trong mặt phẳng và điểm không nằm trong miền giới hạn của hình bình hành được hiểu là nằm ngoài mặt phẳng và cũng chỉ xét trường hợp điểm nằm ngoài bên trên hình bình hành, không xét trường hợp nằm ngoài bên dưới, bên trái và bên phải hình bình hành. Mặc dù trong hình vẽ này, nếu lấy một điểm C nằm trên đường thẳng AB và nằm trong miền giới hạn của hình bình hành thì điểm C vẫn nằm ngoài mặt phẳng ( )α .
Hình biểu diễn của một hình không gian
Khái niệm này được định nghĩa thô sơ:“Để nghiên cứu hình học không gian người ta thường vẽ các hình không gian lên bảng, lên giấy. Ta gọi hình vẽ đó
là hình biểu diễn của một hình không gian”. Đây cũng là lần xuất hiện đầu tiên một “định nghĩa” về “hình vẽ”, với vai trò “nghiên cứu hình học không gian”: Định nghĩa trên hàm chứa sự phân biệt giữa hình biểu diễn với hình hình học, hình biểu diễn là sự “thể hiện” hình hình học lên mặt phẳng.
SGK cho ví dụ về một vài hình biểu diễn của hình lập phương và hình chóp tam giác:
Tiếp theo, SGK trình bày các yêu cầu khi vẽ hình biểu diễn:
“Để vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian người ta dựa vào những quy tắc sau đây.
- Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.
- Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau.
- Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ liên thuộc giữa điểm và đường thẳng. - Dùng nét liền để biểu diễn cho đường nhìn thấy và nét đứt đoạn biểu diễn cho đường bị che khuất.
Các quy tắc khác sẽ được học ở phần sau.”
Nhận xét:
Thực tế, để biểu diễn một đường thẳng ta chỉ vẽ một đoạn thẳng để biểu diễn cho một phần của đường thẳng đó.
Như vậy, đến thời điểm này, lần đầu tiên các quy tắc để vẽ hình biểu diễn của một hình hình học trong không gian được chính thức giới thiệu một cách tường minh, không còn là sự chỉ dẫn ngầm ẩn thông qua các hình biểu diễn của các hình khối ở lớp 8. Học sinh buộc phải tuân thủ theo các quy tắc này để vẽ hình biểu diễn của một hình hình học trong không gian.
Hơn nữa, các quy tắc này như là sự phát biểu bằng lời cách thức chuyển đổi tính chất hình học và tính chất không gian trên hình vẽ. Học sinh sẽ dựa vào đó để chuyển các tính chất đọc được trên hình biểu diễn thành các tính chất trên hình hình học. Những quy tắc này đồng thời cũng hợp thức hóa công cụ biểu diễn các
hình hình học khi nghiên cứu các khái niệm, định lý, tính chất ở các bài học tiếp theo, đòi hỏi minh họa các mối quan hệ định tính gồm quan hệ liên thuộc, song song, vuông góc giữa các đối tượng cơ bản.
Lần gặp gỡ thứ hai khái niệm hình biểu diễn được thực hiện thông qua sự hợp thức hóa bằng định nghĩa “Hình biểu diễn của một hình không gian trên mặt phẳng”. Lưu ý rằng trước đó học sinh đã được học khái niệm và tính chất của phép chiếu song song. [9, tr72-73]: Các tính chất của phép chiếu song song
“Định lí 1:
a. Phép chiếu song song biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.
b. Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
c. Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
d. Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng.”
[9, tr74]:
“Hình biểu diễn của hình H trong không gian là hình chiếu song song của hình H trên một mặt phẳng theo một phương chiếu nào đó hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó”.
Không có hình minh họa thể hiện nghĩa của khái niệm, mà chỉ đưa ra hoạt động 3 nhằm giới thiệu một số hình biểu diễn của hình lập phương, qua đó nhấn mạnh yêu cầu của hình biểu diễn phải trực quan, dễ tưởng tượng ra hình thực.
a) b) c)
Hình b giúp học sinh củng cố “quy tắc bảo toàn song song” của hình biểu diễn. Hình a và c, theo chúng tôi nhấn mạnh phương chiếu và góc nhìn nhiều hơn. Hình a khá quen thuộc, dễ hình dung ra hình thực, hình c là trường hợp đặc biệt,
Hình biểu diễn của “các hình thường gặp” được SGK giới thiệu gồm những hình phẳng quen thuộc:
+ Hình thang : Một hình thang bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một hình thang tùy ý cho trước, miễn là tỉ số độ dài hai đáy của hình biểu diễn phải bằng tỉ số độ dài hai đáy của hình thang ban đầu. Song SGK không có hình vẽ minh họa.
+ Hình tròn: Người ta thường dùng hình elip để biểu diễn cho hình tròn. Có hình vẽ minh họa tuy nhiên điều này không có ý nghĩa nhiều vì hình tròn chỉ xuất hiện một lần trong sách bài tập.
Nhận xét:
- Với việc được học phép chiếu song song và các tính chất của phép chiếu song song cùng với việc nắm bắt được định nghĩa của hình biểu diễn của một hình hình học trong không gian trên mặt phẳng qua phép chiếu song song học sinh có thể rút ra các quy tắc đọc hình biểu diễn sau:
* Ba điểm thẳng hàng trên hình biểu diễn được hiểu là ba điểm thẳng hàng theo thứ tự đó trên hình hình học ban đầu.
* Đường thẳng, tia, đoạn thẳng trên hình biểu diễn được hiểu là đường thẳng, tia, đoạn thẳng trên hình hình học ban đầu.
* Hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau trên hình biểu diễn được hiểu là hai đường thẳng song trên hình hình học ban đầu.
* Tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng trên hình biểu diễn cũng chính là tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng trên hình hình học ban đầu.
- Các hình biểu diễn mẫu của các hình thường gặp cho phép mở rộng phạm vi hoạt động của hình biểu diễn. Học sinh có thể dựa vào các kí hiệu bằng nhau, kí hiệu góc vuông để suy ra tính chất của hình hình học ban đầu.
Lần gặp gỡ này đã cung cấp một cách gián tiếp cho học sinh khá nhiều quy tắc đọc hình biểu diễn nhưng nó lại được giới thiệu ở bài cuối cùng của chương quan hệ song song mặc dù trước đó học sinh đã phải tiến hành vẽ hình biểu diễn và đọc các hình biểu diễn để trả lời các câu hỏi và giải các bài tập trong SGK. Do vậy theo chúng tôi nó không mang nhiều ý nghĩa. Nó sẽ hiệu quả hơn nếu như được giới thiệu ngay ở bài đầu tiên của chương quan hệ song song.
[9, tr60] trình bày:
Nhận xét:
• Trường hợp đường thẳng d song song với mặt phẳng ( )α được thể hiện
bằng một đoạn thẳng nằm ngoài hình bình hành và song song với 2 cạnh nằm ngang của hình bình hành. Đoạn thẳng biểu diễn cho đường thẳng d và hình bình hành tượng trưng cho mặt phẳng ( )α .
• Trường hợp đường thẳng d cắt mặt phẳng ( )α tại 1 điểm được thể hiện bằng cách làm nổi rõ giao điểm nằm bên trong hình bình hành. Phần đường thẳng được coi là bị che khuất được thể hiện bằng những nét đứt. Hình biểu diễn mẫu này cho phép hình dung sự “đâm xuyên” của đường thẳng qua mặt phẳng nhờ phối hợp nét đứt và nét liền khi biểu diễn cho đường thẳng nhưng có trở ngại là giao điểm phải nằm bên trong hình bình hành.
• Trường hợp đường thẳng d nằm trong mặt phẳng ( )α được thể hiện bằng
một đoạn thẳng nằm hoàn toàn trong hình bình hành và trên đoạn thẳng đó làm nổi rõ một số điểm của đường thẳng với mục đích muốn nhắc lại tính chất thừa nhận 3. (Tính chất thừa nhận 3, tr 47, SGK Hình học 11: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.)
Như vậy, với cách biểu diễn mẫu này cho phép chúng tôi dự đoán một số quy tắc đọc hình sẽ hình thành ở học sinh như sau:
- Nếu một đoạn thẳng (biểu diễn cho đường thẳng d) được vẽ nằm ngoài hình bình hành hoặc đa giác phẳng (biểu diễn cho mặt phẳng ( )α ) và song song với một cạnh của hình bình hành hoặc cạnh của đa giác phẳng sẽ được đọc là đường thẳng d song song với mặt phẳng ( )α . Chúng tôi gọi quy tắc này là QTss .
- Nếu một đoạn thẳng (biểu diễn cho đường thẳng d) được vẽ nằm hoàn toàn trong hình bình hành hoặc đa giác phẳng (biểu diễn cho mặt phẳng ( )α ) sẽ được đọc là đường thẳng d nằm trong mặt phẳng ( )α . Chúng tôi gọi quy tắc này là QTtrong .
- Nếu một đoạn thẳng (biểu diễn cho đường thẳng d) có một đầu mút nằm ngoài hình bình hành hoặc đa giác phẳng (biểu diễn cho mặt phẳng ( )α ) và đầu mút kia nằm trong hình bình hành hoặc đa giác phẳng sẽ được đọc là đường thẳng
d cắt mặt phẳng ( )α . Đầu mút nằm trong hình bình hành hoặc đa giác phẳng chính là giao điểm của d và ( )α . Chúng tôi gọi quy tắc này là QTcat .
- Từ ba phán đoán trên cho phép phán đoán rằng: nếu một đoạn thẳng (biểu