c. Các bài toán chứng minh bằng quy nạp Bài toán 1:
2.3.3.2.Các vắ dụ và các bài tập có nội dung thực tế đưọc úng dụng trong lắ thuyết và bài tập chương Mệnh đề Tập hợp.
lắ thuyết và bài tập chương Mệnh đề- Tập hợp.
sinh kiến thức mở đầu về lôgắc toán và tập họp. Các khái niệm và các phép toán về mệnh đề và tập hợp sẽ giúp chúng ta diễn đạt các nội dung toán học thêm rõ ràng và chắnh xác, đồng thời giúp chúng ta hiểu đầy đủ hơn về suy luận và chứng minh trong toán học. Bởi vậy chương này có ý nghĩa quan trọng đối với việc học tập môn toán. Ta sẽ minh chứng điều đó qua một bài số học thể hiện được tắnh ứng dụng rộng rãi của mệnh đề để củng cố.
*Ứng dụng trong dạy lắ thuyết
Ta có thể sử dụng những sự vật, hiện tượng trong đời sống hằng ngày để làm vắ dụ. Chẳng hạn:
1. ỘPari là thủ đô của nước PhápỢ là mệnh đề đúng. 2. ỘViệt Nam nằm ở Châu ÂuỢ là mệnh đề sai. 3. Ộ20 là số chẵnỢ là mệnh đề đúng.
4. Ộ15 lớn hơn 30Ợ là mệnh đề sai.
5. Các câu sau: ỘCuốn sách này giá bao nhiêu tiền?Ợ. ỘBao giờ lớp mình đi thăm quan Hà Nội?Ợ.
ỘTất cả hãy anh dũng tiến lênỢ đều không phải là mệnh đề.
Phép toán trên mệnh đề.
- Phép phủ định.
Vắ Dụ 1: Nếu c = ỘChuyến tàu TN1 hôm nay bãi bỏỢ thì mệnh đề phủ định
C có thể diễn đạt như sau: ỘChuyến tàu TN1hôm nay không bãi bỏỢ.
Nếu qua xác minh mệnh đề C đúng (hoặc sai) thì mệnh đề phủ định C sẽ sai (hoặc đúng).
- Phép hội
Vắ Dụ 2.a:
ỘThành phố Hồ Chắ Minh là thành phố lớn nhất trong cả nước nhưng không phải là thủ đôỢ là hội của hai mệnh đề:
và b = ỘThành phố Hồ Chắ Minh không phải là thủ đôỢ, Ở đây G(a) = 1.
G(b)= 1.
Nên G(a ∧b) = 1.
Vắ Dụ 2.b: ỘChồng cày, vợ cấy, con trâu đi bừaỢ.
* Chú ý: Đôi khi trong mệnh đề có liên từ ỘvàỢ nhưng không có nghĩa là mệnh đề hội.
- Phép tuyển.
Vắ Dụ 3.a: ỘTháng 12 có 31 ngày hoặc 2 + 2 = 4Ợ là tuyển của hai mệnh đề: a = ỘTháng 12 có 31 ngàyỢ.
và b = Ộ2 + 2 = 4Ợ ở đây G(av b) = 1.
Vắ Dụ 3.b: Ộ20 là số lẻ hoặc chia hết cho 3Ợ là mệnh đề sai.
Cần nhấn mạnh với Vắ dụ 3.a, 3.b là những vắ dụ về mệnh đề hội theo toán học nhưng trong thực tế ta không sử dụng những mệnh đề kiểu như thế.
*Áp dụng mệnh đề - tập hợp vào phần bài tập +Sử dụng biểu đồ Ven đề giải bài toán tập hợp.
Bài 1: Trong một buôn làng của người dân tộc, cư dân có thể nói được tiếng dân tộc, có thế nói được tiếng kinh hoặc nói được cả hai thứ tiếng. Kết qủa của một đợt điều tra cơ bản cho biết:
- Có 912 người nói tiếng dân tộc; - Có 653 người nói tiếng kinh;
- Có 435 người nói được cả hai thư tiếng. Hỏi buôn làng có bao nhiêu cư dân?
Giải:
Ta vẽ hai hình tròn. Hình A ký hiệu cho số cư dân nói tiếng dân tộc. Hình B kắ hiệu cho số cư dân nói tiếng kinh. Ta gọi số phần tử của một tập hữu hạn A bất kỳ là n(A).
Như vậy:
n(A) = 912; n(B) = 653; n(A n B) =435.
Ta cần tìm số phần tử của tập hợp A hợp B. Trước hết, ta cộng các số n(A) và n(B). Nhưng nếu vậy thì những phần tử thuộc vào giao của A và B được kể làm hai lần. Do vậy từ tổng n(A) + n(B) ta phải trừ đi n(A ∩B) và được: n (A ∩ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) (1)
Thay các giá trị này của n(A); n(B); n(A ∩ B) ta được
N (A ∪ B) = 912 + 653 - 435 =1130.Đáp số: Cư dân của buôn làng 1130 người. Đáp số: Cư dân của buôn làng 1130 người.
Từ bài toán trên công thức (1) đúng với mọi tập hợp A, B bất kỳ.
Bài 2: Trong một khoảng thời gian nhất định, tại một địa phương, Đài khắ tượng thủy văn đã thống kê được:
+) Số ngày mưa: 10 ngày; +) Số ngày có gió: 8 ngày; +) Số ngày lạnh: 6 ngày;
+) Số ngày mưa và gió: 5 ngày; +) Số ngày mưa và lạnh : 4 ngày; +) Số ngày lạnh và có gió: 3 ngày;
+) Số ngày mưa, lạnh và có gió: 1 ngày.
Vậy có bao nhiêu ngày thời tiết xấu (Có gió, mưa hay lạnh)?
Giải
Ký hiệu những ngày mưa là A, những ngày có gió là B, những ngày lạnh là C. Theo giả thiết ta có: n(A) = 10, n(B) = 8,
n(C) = 6, n(A∩B) = 5, n(A∩C) = 4, n(B∩C) = 3, n(A∩B∩C) = 1. Để tìm số ngày thời tiết xấu ta sử dụng biểu đồ Ven. Ta cần tắnh n(A∪B∪C) Xét tổng n(A) + n(B) + n(C):
Trong tổng này, mỗi phần tử của A giao B, B giao C, C giao A được tắnh làm hai lần nên trong tổng n(A) + n(B) + n(C) ta phải trừ đi tổng (n(A ∩B) + (B∩C) + (C∩A)). Xét n(A∩B∩C): trong tổng n(A) + n(B) + n(C) được tắnh 3 lần, trong n(A∩B) + (B∩C) + (C∩A) cũng được tắnh 3 lần. Vì vậy n(A∪B∪C) = n(A) + n(B) + n(C) - (n(A∩B) + (B∩C) + (C∩A)) + n(A∩B∩C) = 10 + 8 + 6 - (5 + 4 + 3) +1 = 13.
Vậy số ngày thời tiết xấu là 13 ngày.
*Số gần đúng và sai số.
Số gần đúng và sai số là những khái niệm cơ bản của các ngành toán học ứng dụng. Vì nói chung trong đo đạc, tắnh toán ta nhận được các số liệu gặp trong thực tế là những số gần đúng. Vắ dụ: Khi đọc các thông tin sau em hiểu đó là số đúng hay gần đúng. Ộ Bán kắnh đường xắch đạo của trái đất là 6378 km, khoảng cách từ mặt trời đến trái đất là 148600000 km.Ợ
Qua đó học sinh nhận thấy được các số liệu trong đo đạc, tắnh toán thường chỉ là số gần đúng . số gần đúng có sai số tuyệt đối càng nhỏ càng biểu thị chắnh xác kết quả.
Những bài toán có nội dung thực tế, những hoạt động cụ thể ứng dụng toán học vào thực tiễn luôn đem lại sự hướng thú cho học sinh. Qua hoạt động đó các em dễ dàng khắc sâu kiến thức. Ta có thể cho học sinh tự làm một số bài toán sau:
Vắ dụ 1(SGK đại số 10 trang 21): Các nhà thiên văn tắnh được thời gian để trái đất quay một vòng quanh mặt trời là 365 ngày ổ 1/4 ngày. Còn bạn
A B C 10 8 6 5 4 1
Nam tắnh đi từ nhà đến trường là 30 phút ổ1 phút.
Trong hai phép đo trên phép đo nào chắnh xác hơn ?
Giải
Nhận thấy phép đo của các nhà thiên văn có sai số tuyệt đối không vượt quá 1/4 ngày, nghĩa là 6 giờ hay 360 phút.
Còn phép đo của Nam có sai số tuyệt đối không vượt quá 1 phút.
Thoạt nhìn, ta thấy phép đo của Nam chắnh xác hơn của các nhà thiên văn (so sánh 1 phút với 360 phút). Tuy nhiên, 1/4 ngày hay 260 phút là độ chắnh xác của phép đo một chuyển động trong 365 ngày,còn 1 phút là độ chắnh xác của phép đo một chuyển động trong 30 phút. So sánh hai tỉ số: 1460 1 360 4 1 = =0,0006849... 30 1 = 0,033...
Ta phải nói phép đo của các nhà thiên văn chắnh xác hơn nhiều.
Vắ dụ 2: Dân sốViệt nam hiện tại vào khoảng 83.106 người (83 triệu người).ở đây , k=6 nên độ chắnh xác của số gần đúng này là
21 1
.106
=500000. Do đó ta biết được dân số Việt Nam trong khoảng 82,5 triệu người đến 83,5 triệu người.
Vắ dụ 3: Một cái sân hình chữ nhật với chiều rộng là x=2,56 ổ0,01 m và chiều dài là y= 4,2 m ổ0,01m. Chúng minh rằng chu vi p của sân là p=13,52m ổ0,04 m.
Giải:
Giả sử x= 2,56 +u, y= 4,2 +v là giá trị đúng của chiều rộng và chiều dài của sân. Ta có p=2(x+y)=2(2,56+4,2)+2(u+v) =13,52+2(u+v)
Theo giả thiết -0,01 ≤ u≤ 0,01 và -0,01 ≤ v≤ 0,01, suy ra -0,04 ≤2(u + v) ≤0,04
Thành thử p=13,52m ổ 0,04m
Qui tròn số của số gần đúng căn cứ vào độ chắnh xác cho trước. Cho số gần đúng a với độ chắnh xác d (tức là a = a + d ). Khi được yêu cầu qui tròn số a mà không nói rõ qui tròn đến hàng nào thì ta qui tròn a đến hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó.
Tóm lại sau khi học được số gần đúng, sai số học sinh phải nắm được khái niệm số gần đúng, sai số tương đối, độ chắnh xác của một số gần đúng và biết cách viết số qui tròn của số gần đúng căn cứ vào độ chắnh xác cho trước và đặc biệt biết ứng dụng trong thực tế.