Phát triển tư duy cho học sinh là một nhiệm vụ của việc dạy học môn Toán ở trường phổ thông. Tư duy lôgic được tạo bởi nhiều yếu tố liên quan đến những lĩnh vực khác nhau. Sau đây chúng tôi để cập đến ba phương diện gắn liền với ba lĩnh vực của lôgic.
* Phát triển các yếu tố tư duy về khái niệm
Các yếu tố liên quan đến tư duy về các đối tượng được phản ánh trong khái niệm, bao gồm các thuộc tắnh chung, thuộc tắnh riêng, thuộc tắnh bản chất, thuộc tắnh không bản chất, thuộc tắnh không bản chất, thuộc tắnh đặc trưngẦ - Định nghĩa khái niệm: Phân biệt được khái niệm định nghĩa được với khái niệm không được định nghĩa, cấu trúc của định nghĩa, sử dụng ký hiệu để diễn đạt định nghĩa và phát biểu được định nghĩa thành lời, các cách định nghĩa khái niệm, các định nghĩa khác nhau (tương đương) của một khái niệmẦ
- Phân chia khái niệm và vận dụng vào phân chia trường hợp trong giải toán.
- Hệ thống hóa khái niệm: Xem xét mỗi khái niệm trong các hệ thống khác nhau và vai trò của mỗi khái niệm trong các hệ thống đó, dùng ký hiệu toán học biểu thị các mối liên hệ của mỗi khái niệm trong các hệ thống khác nhauẦ * Phát triển các yếu tố tư duy về các mệnh đề
Các yếu tố liên quan đến tư duy về mệnh đề (phán đoán) bao gồm:
- Mệnh đề: Nhận ra mệnh đề và các phát biểu không phải là mệnh đề, giá trị chân lý của mệnh đề.
- Tạo ra mệnh đề phức hợp (công thức) nhờ sử dụng các phép toán mệnh đề (biểu hiện qua các liên từ lôgic) để kết nối các mệnh đề đã có; bảng giá trị chân lý của các mệnh đề phức hợp, các mệnh đề tương đương và các phép biến đổi tương đương (các cách diễn đạt tương đương của cùng một nội dung). - Các mệnh đề chứa biến (hàm mệnh đề) đơn giản và phức tạp, vận dụng trong trình bày kiến thức toán.
* Phát triển các yếu tố liên quan đến suy luận
Cùng với tư duy về khái niệm và phán đoán, suy luận là lĩnh vực tư duy lôgic cốt lõi. Các yếu tố liên quan đến suy luận gồm:
- Sử dụng đúng các lược đồ suy luận (các quy tắc suy luận) Việc hình thành thói quen sử dụng đúng các quy tắc suy luận cho học sinh, tùy từng trường hợp có thể thực hiện thông qua một trong ba hình thức hay phối hợp các hình thức; khái quát hóa hình thành sơ đồ hình thức một cách tường minh cho học sinh; giáo viên thực hiện và chỉ cho học sinh làm theo ngay trong mỗi lần sử dụng một quy tắc suy luận; luyện tập những hoạt động ăn khớp với các quy tắc suy luận như tìm tiền đề đầy đủ của một kết luận hay tìm hệ quả lôgic của một kiến thức cho trước.
- Lập luận có căn cứ.
- Sử dụng các bước suy luận để hoàn thành một chứng minh từ đơn giản đến phức tạp.
- Phân chia các trường hợp và lập luận chứng minh theo quy tắc suy luận quy nạp hoàn toàn.
* Phát triển các yếu tố liên quan đến ngôn ngữ
Ngôn ngữ là phần hình thức đồng hành cùng tư duy. Mỗi khái niệm đều biểu thị bởi thuật ngữ, ký hiệu, hiểu đúng thuật ngữ, ký hiệu là bước đầu tiên không thể thiếu của quá trình tư duy toán học. Sử dụng đúng qui tắc ngữ pháp mới diễn đạt được đúng suy nghĩ của mình và hiểu được ý người khác, thu thập đúng thông tin trong quá trình tư duy. Sau đây là việc sử dụng các công thức của đại số vị từ để diễn đạt một số kiến thức toán trong chương trình phổ thông (để tránh sự rườm rà, chúng tôi không ghi ra miền biến thiên của các biến tử, nhưng độc giả có thể dễ dàng nhận ra mỗi biến từ trong các công thức được trình bày dưới đây biến thiên trong tập hợp nào).
- Diễn đạt tắnh chất các phép toán:
∀x∈N,∀y∈N(x+y= y+x)
+ Tắnh chất giao hoán của phép nhân trên tập hợp số tự nhiên N; ∀x∈N,∀y∈N(x.y = y.x)
+ Tắnh chất kết hợp của phép cộng trên tập hợp số tự nhiên N: ∀x∈N,∀y∈N,z∈N(x+(y+z)=(x+y)+z)
+ Tắnh chất kết hợp của phép nhân trên tập hợp số tự nhiên N: ∀x∈N,∀y∈N,z∈N(x.(y.z)=(x,y).z)
(Các tắnh chất trên tương tự trên các tập hợp Z, Q, R, C) + Sự tồn tại phần tử đơn vị (số 1) đối với phép nhân trên N.
Khi khẳng định số 1 là đơn vị đối với phép nhân trong N ta dùng công thức: ∃1∀x∈N∈N(x.1=1.x=x)
Khi khẳng định số 0 là phần tử trung hòa đối với phép cộng trong Z ta dùng công thức ∃0∀x∈Z (x+0=0+x= x);
+ Tắnh chất mỗi số nguyên n có số đối trong Z được biểu thị bởi công thức: ∀x∈Z,∃y∈Z(x+ y= y+x=0)
- Sử dụng công thức của đại số vị từ để diễn đạt định nghĩa một số khái niệm:
+ Định nghĩa khái niệm dãy số thực (xn) có giới hạn l khi n dần ra dương vô cực được biểu thị bởi công thức:
xn có giới hạn l khi n dần tới +∞
))( ( ) (( , 0 . ε ε > ∃ ∈ ∀ ∈ > ⇒ − < ∀ ⇔đn m N n N n m xn l
+ Định nghĩa khái niệm hàm số f(x) (với tập xác định D f) có giới hạn l khi x dần x0 theo ngôn ngữ Ộε −δỢ được biểu thị bởi công thức:
f(x) có giới hạn là l khi x dần tới x0
))) ) ( ( ) 0 (( 0 , 0 0 . ε δ δ ε > ∃ > ∀ ∈ < − < ⇒ − < ∀ ⇔đn x Df x x f x l
+ Định nghĩa khái niệm hàm số f(x) (với tập xác định Df ) có giới hạn l khi x dần x0 theo ngôn ngữ dãy số được biểu thị bởi công thức:
f(x) có giới hạn là l khi x dần tới x0
⇔đ.n∀(xn)⊂Df((xn →x0)⇒(f(xn)→l));Ầ
2.1.2. Kiến thức tập hợp trong môn Toán THPT