Toán học là khoa học suy diễn, mọi khái niệm trong toán học, ngoài một số ắt khái niệm nguyên thủy, đều phải được định nghĩa. Mọi khẳng định trong toán học, ngoài một số ắt tiên đề được thừa nhận, đều phải được chứng minh, việc chứng minh phải được thực hiện thông qua một số bước lập luận. Ở mỗi bước lập luận phải được xuất phát từ các tiền đề đã có và phải vận dụng các quy tắc suy luận đã được xác lập, các quy tắc suy luận thường sử dụng nhiều nhất gồm các quy tắc suy luận của đại số mệnh đề và đại số vị từ. Ngoài các quy tắc suy luận trên, các luật, các đẳng thức cũng có thể chuyển hóa thành các quy tắc suy luận và được sử dụng trong lập luận. Sau đây là lược đồ khái quát của một chứng minh trong môn Toán và vấn đề dạy học sinh tìm đường lối chứng minh một kết luận trong môn Toán:
* Lược đồ chứng minh
Giả sử cho trước giả thiết A và yêu cầu chứng minh kết luận B, khi đó để chứng minh B ta cần thiết lập một dãy các suy luận. Bn => Bn-1 =>Ầ => B0
trong đó B0 chắnh là B và B0 là A cùng với các kiến thức (những điều đúng) đã có. Trong dãy suy luận này mỗi Bi-1 là một điều kiện đủ của Bi với mọi i = 1, 2, Ầ,n . Như vậy mỗi cách thiết lập được dãy B0, Bi,Ầ, Bn, trong đó là Bi là điều kiện đủ của Bi-1 như trên là một cách chứng minh kết luận B. Bởi vì một kết luận Bi-1 có thể có nhiều điều kiện đủ, nên có thể có nhiều cách chứng minh. Trên thực tế khi tìm cách chứng minh một kết luận ta thường gặp những khó khăn là không biết bắt đầu từ kiến thức nào, khai thác các giả thiết nào. Có một gợi ý là nên bắt đầu từ việc phân tắch điều phải chứng minh. Phải chi tách điều phải chứng minh thành hội của những thành phần (điều cần chứng minh) đơn
giản nhất có thể được và thiết lập việc chứng minh cho mỗi thành phần được tách ra đó. Việc tìm cách chứng minh mỗi vấn đề được tách ra đó có thể vận dụng phương pháp phân tắch đi lên (hay còn gọi là phép suy ngược) được trình bày dưới đây.
* Phương pháp suy ngược để phát hiện cách chứng minh một kết luận.
Để chứng minh một kết luận A nào đó ta cần tìm một điều kiện đủ của A. Thông thường cùng một kết luận A có thể có nhiều điều kiện đủ, trong các điều kiện đủ đó ta chỉ cần chọn lấy một điều kiện, ký hiệu là A1, lập luận của bước thứ nhất sẽ là: Để chứng minh A ta chỉ cần chứng minh A1. Vấn đề được quy về chứng minh A1. Tiếp tục quá trình này cho đến khi Ộta chỉ cần chứng minh An Ợ mà bản thân An là giả thiết hay những điều đúng đã được chứng minh trước. Ta có lược đồ. - Vấn đề cần chứng minh A. - Để chứng minh A, ta chỉ cần chứng minh A1 ; - Để chứng minh A1, ta chỉ cần chứng minh A2; -Ầ - Để chứng minh An−1 , ta chỉ cần chứng minh An;
- An là giả thiết hay những điều đúng đã được chứng minh. Vậy A được chứng minh.
Chú ý rằng, trong mỗi bước việc lựa chọn điều kiện đủ nào là thắch hợp ta cần có sự phân tắch, đối chiếu nội dung phát biểu trong điều kiện đủ đó với nội dung các giả thiết đã cho. Thông thường, các điều kiện đủ có nội dung gần với giả thiết nhất được ưu tiên lựa chọn trước. Cũng nói thêm, về mặt lập luận trong lược đồ2 trên ở mỗi bước chứng minh Ai ta chỉ cần chứng minh Ai+1 chứ không phải là cần chứng minh Ai+1.