d. Cần quan tâm tới việc tập cho HS làm quen dần với các dạng toán sau đây:
2.3.2.1. Vận dụng vào chứng minh toán học
Trong toán học, một chứng minh là một cách trình bày thuyết phục (sử dụng những chuẩn mực đã được chấp nhận trong lĩnh vực đó) rằng một biểu thức toán học là đúng đắn. Chứng minh có được từ lặp luận suy diễn chứ không phải là tranh luận kiểu quy nạp hoặc theo kinh nghiệm. Có nghĩa là, một chứng minh phải biểu diễn cho thấy một phát biểu là đúng với mọi trường hợp, không có ngoại lệ. Một mệnh đề chưa được chứng minh nhưng được chấp nhận đúng được gọi là một phỏng đoán.
Phát biểu đã được chứng minh thường được gọi là định lý. Một khi định lý đã được chứng minh, nó có thể được dùng làm nền tảng để chứng minh các phát biểu khác. Một định lý cũng có thể được gọi là bổ đề, đặc biệt nếu nó được dự định dùng làm bước đệm để chứng minh một định lý khác.
Định lý toán học thường được biểu diễn dưới dạng một mệnh đề kéo theo hoặc một mệnh đề tương đương.
* Các phương pháp chứng minh thường dùng trong giải toán THPT
Trong chứng minh trực tiếp sử dụng quy tắc suy luận có sơ đồ sau :
B A A B
A⇒ , ( Nghĩa là : từ A suy ra B, A đúng thì B đúng).Kết luận có được bằng
cách phối hợp một cách lôgic các tiên đề, định nghĩa, và các định lý trước đó. Hay ta tìm các mệnh đề: A1, A2,..., Ansao cho A⇒ A1, A1⇒ A2,..., An ⇒B thì
BA⇒ . A⇒ .
Vắ dụ:Chứng minh n không chia hết cho 3 thì n2không chia hết cho 3. Giải:
Đặt A = Ộ n không chia hết cho 3 Ợ; B = Ộ n=3kổ1Ợ; C = Ộ n2 =9k2ổ6k+1Ợ; D = Ộ n2 =3k(3kổ2)+1Ợ; E = Ộ n2 không chia hết cho 3 Ợ.
Dễ thấy: A ⇒ B, B⇒ C, C⇒ D, D⇒ E là đúng.
Vậy A ⇒ E tức là n không chia hết cho 3 thì n2không chia hết cho 3 (n∈
Z).
+) Chứng minh bằng phản chứng
Trong chứng minh bằng phản chứng (còn được gọi là reductio ad
absurdum, tiếng La tinh có nghĩa là "thu giảm đến sự vô lý"), người ta sẽ chứng minh nếu một phát biểu nào đó xảy ra, thì dẫn đến mâu thuẫn về lôgic, vì vậy phát biểu đó không được xảy ra. Phương pháp này có lẽ là phương pháp phổ biến nhất trong chứng minh toán học.
Cơ sở lôgic của phương pháp này là:
BA A C B A C B A ⇒ ⇒ ∧ ⇒ ∧ _ , _ _
Để chứng minh A⇒ Bđúng, giả thiết A đúng giả sử B sai ( _
Bđúng ), từ đó ta chỉ ra C sao cho: A∧B_ ⇒C, A∧B_ ⇒C_ . Tức là 0 0 _ _ _ = ⇔ = ∧ ⇔ ∧ ⇒ ∧B C C A B A
A ( vô lý ). Từ đó kết luận của giả sử là sai suy ra B đúng hay A⇒ B đúng.
Giải:
Giả sử 2 là số hữu tỷ, ta sẽ biểu diễn được
b a
=
2 trong đó a và b là các số nguyên khác không có ước chung lớn nhất bằng 1 (theo định nghĩa số hữu tỷ). Do đó, b 2 =a. Bình phương hai vế cho ra 2b2 = a2. Vì vế trái chia hết cho 2, nên vế phải cũng phải chia hết cho 2 (vì chúng bằng nhau và đều là số
nguyên). Do đó a2 là số chẵn, có nghĩa là a cũng phải là số chẵn. Dẫn đến ta có thể viết a = 2c, trong đó c cũng là số nguyên. Thay vào phương trình ban đầu cho ra 2b2 = (2c)2 = 4c2. Chia hai vế cho 2 ta được b2 = 2c2. Nhưng khi đó, tương tự như trên, b2 chia hết cho 2, nên b phải là số chẵn. Nhưng
nếu a và b đều là số chẵn, chúng sẽ có chung một ước số là 2. Điều này trái với giả thuyết, do đó điều giả sử trên là sai , từ đó kết luận rằng 2 là số vô tỷ.
+) Chứng minh bằng quy nạp toán học
Trong cách chứng minh bằng quy nạp toán học, đầu tiên "trường hợp cơ sở" sẽ được chứng minh, sau đó sẽ dùng một "luật quy nạp" để chứng minh (thường là vô tận) các trường hợp khác. Vì trường hợp cơ sở là đúng, tất cả các trường hợp khác cũng phải đúng, thậm chắ nếu ta không thể chứng minh trực tiếp tất cả chúng là đúng vì số lượng vô tận của nó. Nguyên tắc quy nạp toán học như sau: Cho N = { 1, 2, 3, 4,... } là tập các số tự nhiên và P(n)là một phát biểu toán học liên quan tới một số tự nhiên n thuộc N sao cho
(i) P(1) là đúng, tức là, P(n) là đúng khi n = 1
(ii)P(n + 1) là đúng bất cứ khi nào P(n) đúng, tức là, P(n) đúng thì với P(n + 1) cũng đúng.
Khi đó P(n) là đúng với mọi số tự nhiên n.
Các nhà toán học thường dùng cụm từ "chứng minh bằng quy nạp" để nói tắt cho chứng minh bằng quy nạp toán học. Tuy vậy, thuật ngữ "chứng minh
bằng quy nạp" cũng được dùng trong logic để nói đến một tranh luận sử dụng suy diễn quy nạp.
Vắ dụ: Chứng minh n<2n, ∀n∈Z+. Giải: Giả sử P(n) = Ộ n<2n, ∀n∈Z+ Ợ là mệnh đề. Bước 1: P(1) đúng vì 1< 21 = 2. Bước 2: Giả sử P(n) đúng ∀n∈Z+ tức là: n<2n Ta cần chứng minh: P(n + 1) đúng. Thật vậy: vì n
n<2 , cộng 1 vào hai vế của giả thiết quy nạp ta có: 1+n<1+2n <2n+2n =2n+1
Theo giả thiết quy nạp ta có: n<2n, ∀n∈Z+ nên n+1<2n+1 đúng ∀n∈Z+. Vậy n
n<2 , ∀n∈Z+.
Như đã trình bày ở trên mối quan hệ giữa khả năng tu duy lôgic và hiệu quả học tập môn Toán là hai vấn đề có mối quan hệ chặt chẽ với nhau. Để học tốt môn Toán người học phải có khả năng nhất định về tư duy lôgic. Ngược lại khả năng tư duy lôgic được hình thành và phát triển tốt hơn trong học tập môn Toán. Vì thế, việc hình thành khả năng tư duy cho học sinh là một quá trình lâu dài, đòi hỏi sự quan tâm ngay từ đầu và duy trì bền bỉ trong suốt quá trình dạy học của người giáo viên. Mọi bài toán, mọi đối tượng toán học đều ẩn chứa trong đó yếu tố lôgic học. Vì vậy, trong mọi hoạt động toán học dù chắnh khoá hay ngoại khoá, dù kiến thức mới hay luyện tập, ôn tập, dù đối tương học sinh khá giỏi hay yếu kém đều có thể thực hiện được vấn đề rèn luyện tư duy lôgic. Thực tiễn sư phạm cho thấy, khi học loại toán chứng minh thì khả năng tư duy của các em được bộc lộ rõ nhất. Khai thác hợp lắ lớp bài toán chứng minh sẽ nâng cao hiệu quả trong việc rèn luyện tư duy cho học sinh.
Trong chương trình toán ở trường THCS vì lắ do sư phạm, không có chương nào, thậm chắ không có bài nào dạy riêng về vấn đề lôgic toán học. Tuy nhiên, ngay từ cấp học này rất nhiều kắ hiệu và ngôn ngữ của lôgic đã đưa vào sử dụng. Các kắ hiệu và ngôn ngữ, liên từ lôgic toán được giới thiệu và hình thành dần dần trong các phần kiến thức liên quan. Các phương pháp suy luận, chứng minh, các quy tắc kết luận lôgic thông thường chỉ được hình thành một cách Ộngấm ngầmỢ thông qua hành loạt những hoạt động cụ thể chưa đụng chúng trong quá trình học tập bộ môn. Và cũng ở cấp học này học sinh cũng đã bược đầu làm quen với loại toán chứng minh. Học sinh cũng sẽ biết qua hai phương pháp để chứng minh một kết luận: phương pháp chứng minh trực tiếp và phương pháp chứng minh phản chứng. Tuy nhiên ở lớp dưới thì giáo viên chưa có điều kiện để làm sáng tỏ điều này còn đến cấp THPT thì thì điều này được dạy tường minh thông qua bài Ộmệnh đềỢ. Về tri thức phương pháp chứng minh trực tiếp và chứng minh gián tiếp đã trình bày ở trên,
Để giúp học sinh phát triển tư duy lôgic thông qua loại toán chứng minh giáo viên có thể áp dụng các biện pháp sau :
- Giúp học sinh nắm vững bản chất lôgic của loại toán chứng minh trực tiếp.
Sử dụng quy tắc suy luận có sơ đồ sau :
B A A B
A⇒ , ( Nghĩa là : từ A suy ra B, A đúng thì B đúng).
- Hướng dẫn học sinh thiết lập sơ đồ phân tắch bài toán từ đó trình bày tốt lời giải.
Để rèn luyện khả năng chứng minh hình học nói riêng và chứng minh toán học nói chung cho HS, chúng ta có thể tham khảo thêm cách làm của Walsch: Một con đường có hiệu quả để phát triển ở HS năng lực chứng minh toán học là tạo điều kiện cho họ tập luyện dần dần những hoạt động ăn khớp với một chiến lược giải toán chứng minh hình học. Chiến lược này kết tinh lại ở HS như một
bộ phận kinh nghiệm mà họ thu lượm được trong quá trình giải những bài toán này. Đương nhiên, sự kết tinh này không nên để diễn ra một cách tự phát mà trái lại cần có những biện pháp được thực hiện một cách có mục đắch, có ý thức của thầy giáo. Thầy giáo luôn lặp đi, lặp lại một cách có dụng ý những chỉ dẫn hoặc câu hỏi như:
- Hãy vẽ một hình theo những dữ kiện của bài toán. Những khả năng có thể xảy ra?
- Giả thiết nói gì? Giả thiết còn có thể biến đổi như thế nào?
- Từ giả thiết suy ra được điều gì? Những định lắ nào có giả thiết giống hoặc gần giống với giả thiết của bài toán?
- Kết luận nói gì? Điều đó có thể được phát biểu như thế nào?
- Những định lắ nào có kết luận giống hoặc gần giống với kết luận của bài toán?
- Đã biết bài nào tương tự hay chưa?
- Có cần kẻ thêm đường phụ hay không? v.v...
Những chỉ dẫn kiểu như các câu hỏi này gắn liền với những bài toán cụ thể nhưng được phát biểu một cách tổng quát để HS có thể vận dụng vào những tình huống khác nữa. Với thời gian, họ sẽ ý thức được những câu hỏi hoặc chỉ dẫn này được thầy giáo sử dụng lặp đi, lặp lại nhiều lần, sẽ dần dần lĩnh hội và vận dụng chúng như một chiến lược giải toán chứng minh hình học
- Hướng dẫn học sinh phương pháp bác bỏ mệnh đề.
Về phương pháp thì bác bỏ mệnh đề A chắnh là phải xác định rằng A sai bằng cách vạch rõ rằng từ A (và một số mệnh đề đã được thừa nhận là đúng)lấy làm tiền đề, có thể rút ra kết luận lôgic là một mệnh đề sai B. Mệnh đề B sai do đó mệnh đề A sai.
Vắ dụ 1: Chứng tỏ rằng kết luận sau là sai: ỘMọi số đều bằng bình phương của nóỢ
Trước hết cần yêu càu các em phát biểu lại kết luận trên bằng kắ hiệu: ∀x:x2 =x
Cho học sinh tìm giá trị cụ thể của x mà tại đó mệnh đề trên là sai (chẳng hạn: x=2).
Vắ dụ 2: Chứng tỏ mệnh đề sau là sai: ỘCó một tam giác có ba góc đều nhỏ hơn 60oỢ.
Trước hết hãy để học sinh nhận định muốn chứng minh mệnh đề trên là sai thì nghĩa là cần chứng minh điều gì?
Khi đó giáo viên có thể làm rõ cho học sinh cách suy luận như sau: Có một tam giác có 3 góc nhỏ hơn 60o
⇓
Tổng số đo 3 góc trong của tam giác đó nhỏ hơn 180o. Theo phân tắch trên, ta có: R⇒S
S là mệnh đề sai ( Trái với định lắ đã biết), vậy R cũng sai.
Vắ dụ 3 : Chứng minh rằng: 3 là một số vô tỷ.
Để chứng minh bài toán này ta sử dụng phương pháp gián tiếp, chứng minh bằng phương pháp phản chứng.
Trước hết cho học sinh lập mệnh đề phủ định của mệnh đề trên, tức là : 3 là một số hữu tỷ.
Hướng dẫn học sinh thiết lập sơ đồ chứng minh : - 3 là số hữu tỷ thì suy ra điều gì?
n m
=
3 , trong đó : m,n∈Nvà U(n,m)=1 (1) - Từ việc biểu diễn trên ta thu được đẳng thức nào ? m2 =3.n2 (2)
- Từ đẳng thức trên rút ra được kết luận gì ?
m2 =3.n2 và Ư(m,n)=1 , suy ra m chia hết cho 3. (3)
- Từ kết luận trên suy ra được điều gì? m=3k, k∈N (4)
- Từ giả thiết ban đầu ta đã có các kết luận (1), (2), (3), (4). Từ các kết luận này có thể suy ra điều gì?
Từ (2) và (4), ta có: 2 2
.3k 3k
n = suy ra n chia hết cho 3 (5).
Từ (3) và (5) , ta có 3 là một ước chung của n và m ( mâu thuẫn (1)). Cứ như thế hệ thống các câu hỏi lặp đi lặp lại nhiều lần sẽ hình thành cho các em kỹ năng tự phân tắch và tìm lời giải cho bài toán.
Cùng với tri thức về phương pháp giải quyết bài toán chứng minh và các biện pháp nêu trên chắc chắn sẽ giúp học sinh phát triển tư duy, đặc biệt là tư duy lôgic.
* Một số vắ dụ về các bài toán chứng minh
Trong dạy học đại số 10 có một chủ đề rất dễ để khai thác và phát triển tư duy cho HS đó là chủ đề Bất đẳng thức. Dưới đây là một số vắ dụ về chứng minh bất đẳng thức sử dụng các phương pháp chứng minh nêu trên