7. Cấu trúc luận văn
3.2.1.1. Tạo nhu cầu bên trong
a) Giáo viên cần làm cho HS cảm nhận được cái hay, cái đẹp của Toán
học; khai thác những chi tiết, sự kiện hấp dẫn, lí thú, những ứng dụng thực tiễn liên quan đến nội dung dạy học nhằm tạo ấn tượng cho HS, để kiến thức lôi cuốn,
kích hoạt học sinh, thúc đẩy nhu cầu bên trong của học sinh phát triển kiến thức một cách tự giác, để học sinh sống trong niềm vui của việc chiếm lĩnh kiến thức.
Bởi lẽ, theo Jean-Marc Denommé và Madeleine Roy: “Các hành động dạy và hành động học không chỉ nằm trong một cấu trúc nhận thức mà còn nằm trong một cấu trúc xúc cảm. Đó là sự xuất hiện hứng thú. Sự xúc cảm đi trước nhận thức và mở cửa cho nhận thức.” (dẫn theo [12, tr. 69, 70])
“Toán học là khoa học suy diễn, là khoa học mẫu mực về sự chính xác. Vẻ đẹp của Toán học được thể hiện ở tính lôgic và chặt chẽ của nó. Cái hay của Toán
học ở chỗ ứng dụng phong phú và rộng rãi trong các nghành khoa học khác và trong đời sống, không chỉ ở kiến thức mà còn ở phương pháp Toán học. Đó chính là các thao tác của hoạt động nhận thức: Phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, tương tự hóa, khái quát hóa, nhìn nhận vấn đề dưới nhiều góc độ, xem xét một đối tượng trong mối quan hệ với các đối tượng khác”. [24, tr 37]. Nó còn thể hiện trong vẻ đẹp của của các con số; vẻ đẹp của những kết quả, định lí; cái hay của một phép chứng minh thanh nhã và tinh tế hay đôi khi đứng trước một bài toán đầy phức tạp, khó khăn nhưng nó lại có một lời giải ngắn gọn, độc đáo đến bất ngờ.
Ví dụ 3.1. Liên hệ thực tế khi dạy bài “Đường Elip” (HH 10)
Khi vào bài, để dạy bài “Đường elip” , nhằm gây hứng thú nhận thức ở HS, GV nên liên hệ các hình ảnh của đường elip trong thực tế: “Đường elip là một đường quen thuộc với chúng ta, bóng của một đường tròn in trên mặt đất bằng phẳng thường là đường elip. Đổ một ít nước vào một cốc thủy tinh. Nếu đặt đứng cốc trên mặt bàn nằm ngang, thì mặt thoáng của nước được giới hạn bởi đường tròn, nhưng nếu ta nghiêng cốc nước đi một ít, thì mặt thoáng đó, lại được giới hạn bởi một đường elip. Quỹ đạo chuyển động của trái đất, và nói chung của các hành tinh trong hệ mặt trời là các đường elip”.
Phần liên hệ này sẽ rất đạt, làm tăng hưng phấn học tập của HS, nếu GV hỗ trợ bài giảng bằng cách sử dụng máy tính nối với máy chiếu để trình chiếu những hình ảnh minh họa đồng thời, cho HS xem video clip chụp từ vệ tinh hình ảnh quỹ đạo của trái đất quay quanh mặt trời, quỹ đạo chuyển động của mặt trăng quanh trái đất.
Ví dụ 3.2. Ứng dụng của Toán học trong thực tiễn
Trong chương trình SGK hiện nay rất quan tâm đến các ứng dụng thực tiễn của Toán học, được thể hiện qua các bài đọc thêm. Chẳng hạn như: “Người ta đã đo khoảng cách từ trái đất đến mặt trăng như thế nào?”, “Tỷ lệ vàng”, “Thuyền buồm chạy ngược chiều gió”, “Những vấn đề có liên quan đến kinh tuyến và vĩ tuyến của Trái Đất”, “Hình đa diện đều”, v.v. . Trong quá trình dạy học, giáo viên nên khuyến khích HS đọc các bài đọc thêm này. Bởi vì qua đó HS sẽ hiểu biết
thêm về khả năng ứng dụng rộng rãi của Toán học trong khoa học và đời sống, nên các em sẽ bị Toán học hấp dẫn, khiến HS yêu mến Toán học hơn. Từ đó thúc đẩy các em học tập Toán một cách tự giác, tích cực.
Ngoài ra, GV cũng có thể lồng ghép một cách ngắn gọn các nội dung liên hệ thực tế ngay trong các pha dạy học trên lớp. Ví dụ: Sau khi dạy khái niệm hai mặt phẳng song song, GV có thể đặt câu hỏi để HS tự liên hệ: Em hãy tìm hình ảnh của hai mặt phẳng song song trong thực tế? Đó là các bậc cầu thang, hai mặt đối diện của một hộp diêm .v.v... Hoặc khi dạy định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng, GV có thể yêu cầu HS tìm hình ảnh của định lí này tại nơi giao nhau của các bức tường trong lớp học. Hay khi dạy về mặt tròn xoay, GV có thể chỉ ra cho HS thấy hình ảnh mặt tròn xoay có mặt rất nhiều nơi trong các vật dụng sinh hoạt hàng ngày như lọ hoa, nón lá, bình gốm, v.v...
Những liên hệ như vậy, mặc dù rất ngắn gọn, tiết kiệm thời gian trên lớp, nhưng nó cũng giúp cho HS thấy được sự gần gũi, thân quen của Toán học với đời sống thực tiễn. Bởi lẽ, Toán học là một công cụ phản ánh thực tiễn thông qua con đường trừu tượng hóa.
Ví dụ 3.3. Lời giải đẹp . Xét bài toán: Cho tứ diện ABCD thõa mãn:
2 2 2 2 2 2 AB +CD = AC +BD = AD +BC (1) Chứng minh rằng, tứ diện có ba góc phẳng ở đỉnh A cùng nhọn, cùng tù hoặc cùng vuông. Lời giải : Từ (1), ta có: 2 2 2 2 AB +CD = AD +BC · · 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . .cos 2 . .cos AB BC AD CD AB AC BC AD AC CD AB AC BAC AD AC CAD ⇔ − = − ⇔ + − = + − ⇔ =
⇔cos·BAC,cosCAD· cùng dấu hoặc cùng bằng 0
A
B
C
D
⇔BAC CAD· ,· cùng nhọn, cùng tù hoặc cùng vuông.
Chứng minh tương tự, ta có: ·BAC BAD,· cũng cùng nhọn, cùng tù hoặc cùng vuông. Suy ra, điều phải chứng minh.
Nhận xét: Lời giải trên thật đẹp đẽ, nó đã vận dụng định lí cosin trong tam
giác một cách thật linh hoạt, uyển chuyển. Ngay từ bước đầu tiên của lời giải, chúng ta đã thấy sự khéo léo của nó, bắt đầu là thao tác chuyển vế rồi sau đó thêm bớt AC2. Phải có một độ nhạy bén nhất định, mới có khả năng nhìn thấy được bài toán này có mối liên hệ với định lí cosin để mà vận dụng như thế.
Ví dụ 3.4. Cái đẹp của một phép chứng minh đơn giản
Bài toán : Cho hai đường thẳng cắt nhau a và b nằm trong mặt phẳng ( )α . Chứng minh rằng nếu đường thẳng d vuông góc với cả a và b, thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong ( )α .
Lời giải :
Kí hiệu , , ,a b c dr r r ur lần lượt là vectơ chỉ phương của các đường thẳng a, b, c,
d, trong đó c là đường thẳng bất kì nằm trong mp ( )α .
Từ giả thiết của bài toán ta có: .d aur r=0, .d bur r=0. Bây giờ, ta chứng minh .d cur r=0. Thật vậy: , ,a b cr r r đồng phẳng và ,a br r là hai vectơ không cùng phương nên
. .
c m a n b= +
r r r
. Do đó : d c d m a n bur r ur. = ( .r+ .r) =m d a n d b m. .ur r+ . .ur r= .0+n.0 0.= W
Nhận xét:
1. Từ kết quả của bài toán trên dẫn tới định lí quan trọng sau của Hình học không gian: “Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau
b a α c d a aur br cr d ur Hình 3.2
nằm trong cùng một mặt phẳng thì đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đó”. (SGK HH 11)
2. Với bài toán trên, nếu chứng minh bằng phương pháp tổng hợp thì cần kẻ thêm đường phụ, rất phức tạp. Trong khi đó, cách chứng minh ở trên, nhờ sử dụng tích vô hướng là rất đẹp, ta chỉ cần lập luận ngắn gọn, tưởng chừng không thể rút ngắn thêm được nữa, nó cực kì tiết kiệm, không mang một điều gì thừa. Qua đó, HS thấy cái đẹp của một phép chứng minh, cái hay của khái niệm tích vô hướng trong việc ứng dụng giải bài tập.
b) Tấm gương và sự mẫu mực của người thầy
Để học trò yêu thích, tích cực học môn của mình, thì chính thầy giáo trước tiên phải tỏ ra phấn khởi với môn mà mình dạy. Thầy cần chuẩn bị giáo án thật chu đáo, lời nói phải hấp dẫn, uyển chuyển lôi cuốn HS học tập
“Hình ảnh GV luôn say mê với các bài toán, say mê với các điều mới lạ cũng cuốn hút HS của họ. Tình yêu của GV với việc tìm tòi và sáng tạo các bài toán mới là tấm gương cho HS noi theo. Qua đó dần dần hình thành ở HS thói quen khai thác bài toán, tìm kiếm kiến thức chứ không dừng lại ở một vấn đề cụ thể”. [24, tr. 33].
Xã hội càng phát triển thì những yêu cầu đối với người thầy càng tăng. Những kiến thức mà thầy, cô truyền dạy có thể qua đi theo tháng năm của sự phát triển xã hội, nhưng đạo đức, nhân cách của người thầy sẽ còn đọng mãi trong lòng các thế hệ học trò.
Chính vì vậy, đòi hỏi người thầy phải không ngừng hoàn thiện về tri thức, đạo đức, nhân cách và cả tinh thần tự học. Trong bối cảnh khoa học - công nghệ phát triển như vũ bão hiện nay, trường học không còn là nơi cung cấp kiến thức duy nhất, người học được tiếp cận với rất nhiều nguồn thông tin, làm tăng hiểu biết của họ lên rất nhiều, thì tấm gương tự học của người thầy càng trở nên quan trọng hơn bao giờ hết. Là thầy, phải chinh phục trò bằng nhân cách, đạo đức, bằng kiến thức sâu rộng của mình, phải “biết mười dạy một”, để luôn là tấm gương
sáng, biểu tượng của văn hóa, đại diện cho văn minh thời đại để học sinh noi theo.
c) Khai thác, sử dụng hợp lí các phần mềm dạy học để hỗ trợ, làm tăng tính trực quan cho bài giảng
Để tăng tính trực quan trong day học, thì việc khai thác, sử dụng hợp lí các phần mềm dạy học là yêu cầu đối với GV dạy bộ môn Toán. Qua đó, có thể hình thành ở HS các hình ảnh cảm tính của đối tượng nghiên cứu, gợi cho HS các tình huống có vấn đề, tạo điểm tựa nâng đỡ tư duy HS, tạo nên sự hứng thú trong các giờ học Toán.
Với bộ môn Hình học thì yếu tố trực quan lại càng quan trọng, nhất là trong một số bài học, việc minh họa các ý tưởng hình học động hay tính chất không gian của hình hoặc khi cần quan sát hình dưới nhiều góc độ. .. là rất cần thiết. Chẳng hạn, các bài học về phép biến hình, mặt tròn xoay, minh họa các thiết diện cônic hay một số các bài học về hình học không gian.
Ngày nay các phần mềm dạy học phong phú, đa dạng, trong đó có rất nhiều phần mềm hình học có thể khai thác để rèn luyện kĩ năng thực hành cho HS. Chẳng hạn với phần mềm Cabri, Sketchpad, ... HS có thể rèn luyện kỹ năng dựng hình, tìm hiểu các bài toán quỹ tích một cách rất hiệu quả.
Ví dụ 3.5. Sau khi HS đã học khái niệm, tính chất phép đối xứng trục trong
SGK, GV có thể cho HS làm một số ví dụ nhằm áp dụng các kết quả và khắc sâu thêm những kiến thức đã biết của HS. Chẳng hạn: Sử dụng phần mềm hình học Sketchpad thực hiện hướng dẫn HS giải bài toán sau thông qua một số hoạt động.
Bài toán 1. Cho góc nhọn xOy và đường thẳng d cắt cạnh Oy tại S. Hãy dựng một đường thẳng m vuông góc với d cắt các cạnh Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho hai điểm A, B cách đều đường thẳng d.
- Hoạt động 1.
Quan sát hình vẽ và phân tích.
Giả sử đã tìm được đường thẳng m thỏa mãn thì khi đó A, B là hai điểm đối xứng với nhau qua đường thẳng d. Qua hình ảnh trực quan (Hình 3.3) trên màn hình HS nhận thấy điểm A vừa thuộc Ox, vừa thuộc ảnh của cạnh
Oy qua phép đối xứng trục d.
- Hoạt động 2. Dựng đường thẳng m.
Gọi Sy’ là ảnh của Oy qua phép đối xứng trục d nói trên. Ta có điểm A cần tìm là giao điểm của Sy’ với cạnh Ox. Do
đó ta dựng đường thẳng m bằng cách dựng đường thẳng đi qua A và vuông góc với d.
- Hoạt động 3. Chứng minh đường thẳng vừa dựng trên là thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Từ hình ảnh minh họa và cách dựng trên, HS không khó khăn khi chứng minh đường thẳng dựng trên thỏa mãn
- Hoạt động 4. Biện luận.
Sử dụng con trỏ cho thay đổi vị trí của d trên màn hình (Sketchpad vẫn giữ nguyên tính chất d cắt Oy). HS quan sát được:
Khi d thay đổi nhưng không vuông góc với Ox hoặc Oy thì tồn tại đường
thẳng m cắt Ox, Oy lần lượt tại A và B và nhận d làm trục đối xứng.
Khi d⊥Ox hoặc d⊥Oy thì thấy không tồn tại đường thẳng m vuông góc
với d và đồng thời cắt Ox, Oy.
Từ đó HS kết luận được bài toán chỉ có nghiệm hình khi d đồng thời không vuông góc với Ox, Oy.
y x d m A S O B Hình 3.3 y x d m y' A S O B Hình 3.4
Bài toán 2. Cho góc nhọn xOy và một điểm A thuộc miền trong của góc này, điểm B trên Ox. Tìm trên cạnh Oy điểm C sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất.
Xây dựng các Hoạt động
- Hoạt động 1. Đo chu vi tam giác ABC với C bất kì trên Oy.
Lấy bất kì điểm C bất kì trên Oy. Sử dụng thuộc tính Length trong Measure để thực hiện đo độ dài các đoạn thẳng AB, BC và CA. Vào Graph\New Function xây dựng một hàm P x( )=x. Dùng thuộc tính
Calculate trong Measure gán cho x là
AB BC CA+ + , khi đó chu vi của tam giác ABC sẽ
được Sketchpad đo và hiện trên màn hình (Hình 3.5).
- Hoạt động 2. Quan sát, dự đoán vị trí C.
Để nguyên hình vẽ (Hình 3.5). HS có thể vẫn chưa phát hiện ra cách giải, khi đó GV hướng dẫn HS thay cạnh AC bằng một đoạn khác bằng nó. Gọi A’ là ảnh của A qua phép đối
xứng trục Oy. Dùng con trỏ cho thay đổi vị trí của C trên Oy. HS quan sát giá
trị chu vi và thấy khi chu vi nhỏ nhất thì B, C và A’ có vẻ như chúng thẳng hàng
(Hình 3.6).
- Hoạt động 3. Thử chứng minh dự đoán.
HS dễ dàng chứng minh được dự đoán trên là đúng. Thật vậy
' '
AB BC CA AB BC C+ + = + + ≥AB BA+ . Dấu “=” xảy ra khi B, C, A’ thẳng hàng
- Hoạt động 4. Kiểm tra lại kết quả.
Chọn đường Oy làm gương (trục đối xứng) bằng cách kích đúp vào đường
Oy, sử dụng thuộc tính Reflect trong Transform để dựng đoạn CA’. Sau đó thực
Hình 3.5 x y A' O A B C Hình 3.6
hiện lại một số thao tác như trong Hoạt động 1 để tính AB BC CA+ + 'và so sánh với kết quả thu được từ Hoạt động 2.
- Hoạt động 5. Mở rộng Bài toán.
Yêu cầu HS mở rông Bài toán ở các góc nhìn nhận đối tượng khác nhau. Chẳng hạn HS có thể mở rộng như sau: “Cho góc nhọn xOy và một điểm A thuộc miền trong của góc này. Tìm trên cạnh Ox điểm B, trên cạnh Oy điểm C sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất”.