... xdx 2 1
42
x 2 1
++
££
+-
ò
.
V. ỨNG DỤNG CỦA TÍCHPHÂN
A. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1. Diện tích hình thang cong
1
Chuyên đề
TÍCH PHÂN
CÔNG THỨC
Bảng nguyên hàm
Nguyên hàm của ... Tính tíchphân
2
4
0
I cos xdx
p
=
ò
.
Hƣớng dẫn:
Đặt
tx=
2
0
I 2 t cos tdt 2
p
Þ = = = p -
ò
LL
.
Ví dụ 8. Tính tíchphân
e
1
I sin(ln x)dx=
ò
.
ĐS:
(sin 1 cos1)e 1
I
2
-+
=
.
III. TÍCH ... dx
C=
2
0
2 ln2
x
dx
3. Tính các tíchphân sau:
A=
3
3cos
0
sin
x
e xdx
B=
4
1
ln
e
x
dx
x
C
*
=
23
2
5
4
dx
xx
D
*
=
2
1
1 -1
x
dx
x
4. Tính các tíchphân sau:
I=
1
sin(ln )
e
x
dx
x
...
...
22
1123
24
−
+
+
+
+
+
−
=
+−
x
D
x
C
x
B
x
A
xx
x
Đẳng thức tíchphân :
www.giasubienhoa.net Trang 8
Muốn chứng minh đẳng thức trong tíchphân ta thường dùng cách đổi biến số và nhận
xét một số đặc điểm sau .
* Cận tíchphân , chẵn lẻ ...
dxxI
∫
−=
∗
π
2009
0
8
2cos1
Tích phân từng phần :
Cho hai hàm số
u
và
v
có đạo hàm liên tục trên đoạn
[ ]
ba,
, thì ta có :
[ ]
∫ ∫
−=
b
a
b
a
b
a
vduuvudv
Trong lúc tính tính tíchphân từng phần ta ... )
∫∫∫
≤
1
0
1
0
2
1
0
dxxgdxxfdxxgxf
Một số ứng dụng của tíchphân thường gặp :
1)Tính diện tích :
Cho hai hàm số
( ) ( )
xfxf &
liên tục trên đoạn
[ ]
ba,
. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
các đường...
... I
2
+ I
3
= I
1
= ln2/8
-2-
Tích Phân_ Quách Duy Tuấn
51.[ĐHGT_00] I =
+
2/
2/
2
sin4
)cos(
x
dxxx
Tách đợc 1 hàm lẻ và 1 hàm chẵn, I = (ln3)/2
V. Tíchphân hàm số chứa dấu gttđ
52.[ĐH ...
C
xx
xx
+
++
+
15
13
ln
8
1
2
2
21.[ĐHNN_B01] I =
+
1
1
22
)1( x
dx
Đặt x = tgt, I = 1/2 + /4
III. Tíchphân hàm mũ, lôgarit
22.[ĐHNT TPHCM_94] I =
+
13
sin
2
x
xdx
Đặt t = -x, I = /2
Chú ý: ... I = 2
2
/3
70.[§H Hång §øc_A01] I =
∫
−
2/
0
)sincos(
π
dxxx
→ §Æt t = π/2 – x, I = 0
-5-
Tích Phân_ Quách Duy Tuấn
15.[ĐHNTHN_99] I =
++
1
0
22
)23( xx
dx
16
9
ln
3
2
+
16.[ĐHTM_99] I...
... Phơng pháp hiệu quả để tính tíchphân là phơng pháp đổi biến số. Có hai dạng đổi biến số
a. Phép biến đổi dạng 1. Để tính
( )
b
a
f x dx
- SGK đà đề ra quy tắc tính tíchphân bằng phép biến đổi ... ta cha tìm đợc nguyên hàm của tất cả các hàm số.
3. Để tính tích phân, trớc hết ta có thể áp dụng định nghĩa và các tính chất của tích phân.
VD:
1
0
1 x dx
Giải: Ta có
1 nếu 0 x 1
1
1nếu 1 ... pháp tíchphân từng phần: Dựa vào công thức
( )
b
b b
a a
a
udv uv vdu
=
Trong đó u=u
(x)
, v=v
(x)
là những hàm số có đạo hàm, liên tục.
áp dụng công thức trên ta có quy tắc tíchphân từng...
... +++-+=-+
êú
êú
+++++
ëû
ëû
ịịịị
Dạng 6: Tính tíchphân bất định:
P(x)
Idx
Q(x)
=
ị
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 10
Vấn đề 3: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂNTÍCH
Phương pháp phântích thực chất là ... PHÁP CHUNG
Trần Só Tùng Tíchphân
Trang 37
Dạng 3: Tính tíchphân bất định:
n
2n
(x)dx
I,vớia0
(axbxc)
l+m
=¹
++
ị
và n nguyên dương.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Phân tích:
b
x(2axb)
2a2a
ll
l+m=++m- ... thực hiện phép phân tích:
2
12
x1AB
.
axxxx
axbxc
ỉư
l+m
=+
ç÷
++
èø
Ví dụ 7: Tính tíchphân bất định:
32
2
(2x10x16x1)dx
I
x5x6
-+-
=
-+
ị
Giải:
Trần Só Tùng Tíchphân
Trang 11...
... cách viết vi phân hóa trong tích phân
Ví dụ: Tính các tích phân: 1.
5
cos sinx xdx
∫
2.
cos
tgx
dx
x
∫
3.
1 ln x
dx
x
+
∫
I. TÍNH TÍCHPHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN
1. Định ... + +
cotgx
ln sin x C+
Phương pháp 1:
• Phântíchtíchphân đã cho thành những tíchphân đơn giản có công thức trong bảng nguyên hàm
cơ bản
• Cách phântích : Dùng biến đổi đại số như mũ, lũy ...
)(
)(
aut
but
ax
bx
=
=
⇒
=
=
Bước 3: Chuyểntíchphân đã cho sang tíchphân theo biến t ta được
[ ]
∫
=
∫
=
)(
)(
)()('.)(
bu
au
b
a
dttfdxxuxufI
(tiếp tục tính tíchphân mới)
Tính các tíchphân sau:
1)
2
3 2
0
cos...
... MỘT CÁCH GIẢI BÀI TÍCHPHÂN TỪNG PHẦN
TRONG KÌ THI TUYỂN SINH
Trong phương pháp tíchphân từng phần việc vận dụng linh hoạt
phương pháp giúp học sinh ... vấn đề đặt ra
nếu ta thêm một số c trong lúc tìm v (tức là dv = v’(x)dx thì v = v(x)+c ) thì
nhiều bài toán trở nên đơn giản rất nhiều.Sau đây là một số ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính tích phân:
1
0
ln( ... +
Khi đó:
1
1
0
0
1
0
( 1)ln( 1)
1
e
e
e
I x x dx
e x
−
−
−
= + + −
= − =
∫
Ví dụ 2: Tính tích phân:
3
2
1
3 ln
( 1)
x
K dx
x
+
=
+
∫
Giải
Đặt
2
3 ln
1
1
( 1)
1 1
dx
u x
du
x
dx
dv
x
v
x
x...
... cosin lẻ). Tính tíchphân
2
5
0
I cos xdx
p
=
ò
.
Hướng dẫn:
Đặt
t sinx=
ĐS:
8
I
15
=
.
3
Ví dụ 8. Tính tíchphân
e
1
I sin(lnx)dx=
ò
.
ĐS:
(sin1 cos1)e 1
I
2
- +
=
.
III. TÍCHPHÂN CHỨA GIÁ ... 2 1
+ +
£ £
+ -
ò
.
V. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
A. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1. Diện tích hình thang cong
Cho hàm số
f(x)
liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các ...
t tanx 1= +
ĐS:
3
I
8
=
.
Ví dụ 9. Tính tíchphân
3
1
2
dx
I
(1 x) 2x 3
=
+ +
ò
.
Hướng dẫn:
Đặt
t 2x 3= +
ĐS:
3
I ln
2
=
.
Ví dụ 10. Tính tíchphân
1
0
3 x
I dx
1 x
-
=
+
ò
.
Hướng dẫn:
Đặt...
... PHÁP GIẢI TOÁN :
VẤN ĐỀ 1 : CÁCH TÌM TÍCHPHÂN XÁC ĐỊNH
I./Cơng thức tính tích phân:
∫
b
a
dxxf ,3*
= F(x)
a
b
= F(b) - F(a)
VẤN ĐỀ 2 : CÁCH VIẾT VI PHÂN HOÁ TRONG TÍCHPHÂN
1
46. ... b thì t =
ϕ
(b)
Bước 3 : Khi đó tíchphân I được viết lại I =
∫
,*
,*
,3*
b
a
dttf
ϕ
ϕ
là tíchphân cần tìm.
II/ Bài tập áp dụng :
Câu 1 : Tìm các tíchphân sau :
a/
∫
−
A
A
3
π
π
dxtgx
b/ ... các tíchphân sau:
6
Cho tíchphân : I =
[ ]
dxxxf
b
a
,3*C3,*
ϕϕ
∫
(1)
Để tính tích phân...
...
__________________________________________________________
Chủ đề 4
CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN
Để chứng minh một đẳng thức tíchphân ta vận dụng các tính chất của
tích phân, các phương pháp tính tíchphân và các phép biến đổi đồng nhất
hoặc ... đẳng thức tíchphân ta vận dụng các tính chất
của tích phân, các phương pháp tính tích phân, các phép biến đổi thông
thường về bất đẳng thức, cũng như vận dụng các bất đẳng thức khác. Cần
phân biệt ... sao cho tíchphân
b
a
u '(x).v(x)dx
∫
đơn giản hơn.
3. Nhận xét :
• Nếu hàm dưới dấu tíchphân có dạng P(x).lnx (với P(x) là đa thức) thì
chọn u(x) = lnx
• Nếu hàm dưới dấu tíchphân có...
... dx
∫
= F(x) + C (C: hằng số)
∫
: được gọi là dấu tích phân
ƒ
(x): hàm số dưới dấu tích phân.
d(x): vi phân biến x.
ƒ
(x)d(x): biểu thức dưới dấu tích phân.
F(x): nguyên hàm của hàm
ƒ
(x).
Ví dụ:Tìm ... HÀM:
1. Phương pháp phân tích: Là phương pháp dùng phép biến đổi để đưa các hàm số cần tìm
nguyên hàm về các nguyên hàm quen thuộc.
Nếu hàm số dưới dấu tíchphân có dạng tích và có hằng đẳng ...
+
= + + = + + =
÷
÷
∫ ∫ ∫
Nếu hàm số dưới dấu tíchphân có dạng phân thức thì thông thường ta sử dụng chia đa thức
hoặc phântích bằng cách thêm bớt.
Ví dụ: Tính:
1) A =
3 2 3
2 2
3...
... Phöông phaùp giaûi tích phaân
3. Tính các tíchphân sau:
A=
3
3 cos
0
sin
x
e xdx
π
∫
B=
4
1
ln
e
x
dx
x
∫
C
*
=
2 3
2
5
4
dx
x x
+
∫
D
*
=
2
1
1 -1
x
dx
x
+
∫
4. Tính các tíchphân sau:
I=
1
sin(ln ... )
x
dx
x
π
+
∫
5. Tính các tíchphân sau:
A=
1
2
0
4 -
dx
x
∫
B=
3
2
3
3
dx
x
+
∫
C=
4
2
0
16-
dx
x
∫
D=
ln 2
0
1-
1
x
x
e
dx
e
+
∫
E=
3
2
2
2
1
dx
x −
∫
6. Tính các tíchphân sau:
A=
2
1
ln
e
x
dx
x
∫
B
*
=
2
0
sin
1 ... đường y=tanx, x=0, x=π/3, y=0.
a. Tính diện tích hình phẳng D.
b. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng D quay quanh trục Ox.
11. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình...
... Công thưc trên cho phép thay việc tính
dvu
b
a
∫
.
phức tạp bằng một tíchphân
∫
b
a
vdu
đơn giản hơn.
3.Hai dạng tíchphân từng phần thường gặp
Dạng1: I =
( )
dx
x
x
e
xp
x
b
a
∫
cos
sin
...
1
sin2
dx
x
∫
Bài 5 : TÍCHPHÂN XÁC ĐỊNH
1.Định nghóa: Giả sử hàm số f(x) liên tục trên
[ ]
ba,
và F(x) là một nguyên hàm của f(x) .
Hiệu f(b) –f(a) được gọi là tíchphân từ a đến b của hàm ... tiếp tuyến tại các điểm A(0,-3) và B(3,0)
BÀI 9 : THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY
22
p dụng tính :
∫
+
π
0
2
cos1
sin
dx
x
xx
Bài 7: TÍCHPHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN
1.Công thức từng phần :...
... = =
II. PHƯƠNG PHÁP TÍCHPHÂN TỪNG PHẦN
Tíchphân các hàm số dạng P(x)sinax; P(x)cosax; P(x)e
ax
trong đó P(x) là một đa thức Đặt
( )
u P x
dv
=
=
Tíchphân các hàm số dạng ...
3
2
4
sin
xdx
I
x
π
π
=
∫
Đặt
2
cot
sin
u x
du dx
dx
v x
dv
x
=
=
⇒
= −
=
Áp dụng công thức tính tíchphân từng phần
( )
3 3
2
4 4
9 4 3
1 1 3
3 3
cot cot . ln sin ln
sin 3 36 2 2
3
4 4
xdx
I x x ... xdx
π
=
∫
Đặt
os sin
x x
u c x du xdx
dv e dx v e
= = −
⇒
= =
Áp dụng công thức tính tíchphân từng phần
1
2 2
0 0
cos sin
2
0
x x x
I
I e xdx e cosx e xdx
π π
π
= = +
∫ ∫
1 42 43
Tính...